直线方程几种形式1、2

1、1已知过点已知过点P(1a，1+a)和和Q(3，2a)的的直线的倾斜角为钝角，则实数直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范的取值范围是围是 .(2，1) 课前练习题：课前练习题：直线方程的几种形式（1、2）一、直线的点斜式方程：已知直线已知直线l l经过已知点经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是），并且它的斜率是k求直线求直线l的方程。的方程。Oxyl.P1 设点设点P（x，y）是直线）是直线l上不同于上不同于P1的任意的任意一点。根据经过两点的直线斜率一点。根据经过两点的直线斜率公式，得公式，得11xxkyy可化为11xxyyk新课：新课：P .特殊情况特殊情况:, 00)1(0 k时

2、时斜斜率率当当直直线线的的倾倾斜斜角角为为)(1如图如图的方程为的方程为直线直线yyl xyOl1P,90)2(0不不存存在在时时斜斜率率当当直直线线的的倾倾斜斜角角为为k)(1如如图图的的方方程程为为直直线线xxl xyOl1P应用：应用：例例1：一条直线经过点：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角），倾斜角=450，求这，求这条直线的方程。条直线的方程。解：这条直线经过点P1（-2，3）， 斜率是 k=tan450=1代入点斜式得y3 = x + 2， 即xy + 5 = 0.), 0(,求求直直线线的的方方程程轴轴的的交交点点是是与与的的斜斜率率为为已已知知直直线线bykl解解: 由直

3、线的点斜式由直线的点斜式,得得)0( xkbybkxy 即即.叫叫做做直直线线方方程程的的斜斜截截式式方方程程bkxy .轴轴上上的的截截距距在在叫叫做做直直线线ylbyolxb斜斜-斜率斜率截截-y轴上的截距轴上的截距直直线线的的斜斜截截式式方方程程二二.例例2解解:),1 , 0()1( 因因为为直直线线过过点点.21),1 , 0(的的直直线线的的方方程程斜斜率率为为求求过过点点 , 1轴轴上上的的截截距距为为所所以以直直线线在在 y,21 k又又因因为为直直线线的的斜斜率率由由直直线线的的斜斜截截式式方方程程得得, 121 xy022 yx即即为所求为所求练习练习.by轴上的截距在和直

4、线求斜率直线kyx0623. 1解解:0623 yx由由323 xy. 3,23 bk.,21求求直直线线的的方方程程且且xx ),(),(222111yxPyxPl经经过过两两点点已已知知直直线线三三.直线的两点式方程直线的两点式方程解解:).(,211212xxxxyyk 依题意依题意代入点斜式代入点斜式,得得)(112121xxxxyyyy 可可以以得得时时当当,12yy 121121xxxxyyyy 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.直线的两点式方程直线的两点式方程 经过直线上两点经过直线上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1), P), P

5、2 2(x(x2 2,y,y2 2) )（其中（其中x x1 1xx2 2, ,y y1 1yy2 2 ）的直线方程叫做直线的）的直线方程叫做直线的两点式方程两点式方程，简称，简称两点式两点式. .1112122121(,)yyxxxxyyyyxx特别地特别地当当x x1 1=x=x2 2时时, ,直线直线l的方程是的方程是 ; ;当当y y1 1=y=y2 2时时, ,直线直线l的方程是的方程是 .x=xx=x1 1y=yy=y1 1叫叫做做直直线线的的两两点点式式方方程程121121xxxxyyyy 例题：例题：)3, 0(),1 , 2(21 PP已知直线经过两点已知直线经过两点则直线的

6、方程为则直线的方程为202131 xy032 yx即即四四.直线的截距式方程直线的截距式方程轴轴的的交交点点为为与与轴轴的的交交点点为为与与已已知知直直线线yaxl),0 ,(., 0, 0), 0(的方程的方程求直线求直线其中其中lbab 解解:得得代代入入两两点点式式方方程程把把点点,), 0(),0 ,(baaaxby 0001 byax称称直直线线方方程程式式的的截截距距式式1 byax轴上的截距xa 轴上的截距yb 直线的截距式方程直线的截距式方程1.xyab直线方程由直线在直线方程由直线在x x轴和轴和y y轴的截距确定轴的截距确定, ,所以叫做直线所以叫做直线方程的方程的截距式方

7、程截距式方程. .在在y y轴上轴上的截距的截距在在x x轴上轴上的截距的截距截距式适用于横、纵截距都存在且都不为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0 0的直线的直线. .例：例： 求经过点求经过点P(-5P(-5，4)4)，且在两坐标，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程轴上的截距相等的直线方程. .oxy分析：分析：截距均为截距均为0 0时，设方程为时，设方程为y=kx,y=kx,截距不为截距不为0 0，设截距式求解，设截距式求解. .例例)2 , 0(),3, 3(),0 , 5(CBA三角形的顶点是.的的直直线线方方程程求求这这个个三三角角形形三三边边所所在在)5(3)5(030 xy

8、01583 yx0635 yx解解:得代入两点式把,BA得代入两点式把,CB303323xy例例3)2 , 0(),3, 3(),0 , 5(CBA 三角形的顶点是三角形的顶点是.的的直直线线方方程程求求这这个个三三角角形形三三边边所所在在解解:得得代代入入两两点点式式把把,CA)5(0)5(020 xy01052 yx另解另解:轴轴在在两两点点的的坐坐标标得得直直线线由由yxACCA,. 2, 5 ba上上的的截截距距为为由截距式得由截距式得125yx01052 yx五五.直线方程的一般式方程直线方程的一般式方程都都有有一一对对于于任任何何一一条条直直线线在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中

9、,., 的的二二元元一一次次方方程程个个表表示示这这条条直直线线的的关关于于yx证明证明:形式为形式为的二元一次方程的一般的二元一次方程的一般关于关于yx,)0,(0不同时为BACByAx.的直线方程的直线方程轴上的斜距为轴上的斜距为在在BCy ,0)1(BABCxBAyB 这这是是斜斜率率为为有有时时当当., 0, 0,0)2(ACxABAB 故故不不同同时时为为因因时时当当.轴轴平平行行或或重重合合的的直直线线它它表表示示一一条条与与y.,线线一次方程都表示一条直一次方程都表示一条直的二元的二元任何关于任何关于在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中yx叫做直线方程的一般式叫做直线方程的一般式

10、(A,B不同时为不同时为0) 0CByAx.式式方方程程求求直直线线的的点点斜斜式式和和一一般般,34),4, 6(. 4 斜斜率率为为已已知知直直线线经经过过点点例例A解解:)6(344: xy点斜式方程式为点斜式方程式为01234: yx化化成成一一般般式式得得.,0632上的截距轴求出它的斜率和它在截距式截式化成斜把直线方程yxyx例例解解:. 232 xy斜斜截截式式为为.123 yx截截距距式式为为.32 k斜斜率率,3 ax轴轴上上的的截截距距为为.2 by轴轴上上的的截截距距为为小结小结: (直线五式直线五式) 1.点斜式方程点斜式方程:)(11xxkyy 2.斜截式方程斜截式方

11、程:bkxy 3.两点式方程两点式方程:121121xxxxyyyy 4.截距式方程截距式方程:1 byax5.一般式方程一般式方程:0 CByAx1直线方程几种形式的比较直线方程几种形式的比较方程方程名称名称确定条件确定条件直线方程直线方程局限性局限性点斜点斜式式已知一点已知一点P0(x0，y0)和和斜率斜率kyy0k(xx0)不能表示与不能表示与x轴垂直轴垂直(即斜率不存在即斜率不存在)的直的直线线斜截斜截式式已知斜率已知斜率k和在和在y轴上轴上的截距的截距bykxb不能表示与不能表示与x轴垂直轴垂直(即斜率不存在即斜率不存在)的直的直线线2.确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线确定

12、直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在直线在y轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距无论使用截距式需要直线在两坐标轴上的截距无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后后没有特殊说明没有特殊说明，应将直线方程化为，应将直线方程化为AxByC0的形式的形式例例1, 1),1 ,2(:)1(:1 kl过过点点直直线线求求下下列列直直线线的的方方程程解解:,1),1 ,2()1(1 kl 过过点点

13、直直线线代入点斜式代入点斜式,得得).3, 3()1 , 2(:)2(2 和和点点过过点点直直线线l),2( 11xy03:1 yxl 的的方方程程为为整整理理得得,54)2(313)2(2 kl 的的斜斜率率直直线线由由点点斜斜式式方方程程得得又又因因为为过过点点),1 , 2( ),2(541 xy的的方方程程整整理理得得2l0354 yx练习练习.)1,3(,4113的直线方程的直线方程且过点且过点的倾斜角的的倾斜角的求倾斜角是直线求倾斜角是直线 xy解解:,313 kxy的的斜斜率率直直线线,1200 倾倾斜斜角角,301204100 角角依依题题意意所所求求直直线线的的倾倾斜斜3330tan01 k斜斜率率)1,3( 又又所所求求直直线线过过点点所求直线方程为所求直线方程为0633 yx)3(331 xy例例3：斜率