泰勒级数及洛朗级数

1、泰勒泰勒 级数级数泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数级数 洛朗洛朗 级数级数洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)级数级数张红英张红英& 1. 问题的引入问题的引入4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数& 2. 泰勒级数展开定理泰勒级数展开定理& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式& 4. 小结小结 一个幂级数的和函数在它的一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。收敛圆内部是一个解析函数。1. 问题的引入问题的引入DKz.内任意点内任意点, )( 内内解解析析在在区区域域设设函函数数Dzf如图如图:r0z.K.rz 0 圆圆周周 0: Kzr：定

2、理（泰勒级数展开定理）定理（泰勒级数展开定理）000( ),f zDzD RzDzzR设在区域 内解析为到的边界上各点的最短距离，则当时级数的处在Taylorzzf0)(2. 泰勒泰勒(Taylor)级数展开定理级数展开定理00( )0( )()(1)1:()0,1,2,!nnnnnf zczzcfznn其中Dk 0z( )010011( )( )!2:nnnkfcfzdnizkzr 代入代入(1)分析：分析：( )00000( )()()!nnnnnnfzc zzzzn01001( )()2()nnknfdzziz01001( )()(I)2()nnknfzzdizDk 0z0100()()

3、() (*)()nnnffzzzz需证1( )( )(II)2kff zdiz又z000001111,()1zzzzzzzz001,zzqz联合联合(I),(II)20000000111()()(2)nz zz zz zzzzzz 0000()()()()nnnzzffzzz故(*)式式0100()()()nnnfzzz证明：证明：00:,:kzrzrDzkCauchy 设为 内任一点由积分公式001,zzqz000001111()1zzzzzzzz0100()(3)()nnnzzz1( )( )2kff zdiz0020010( )00001( )1( )( )22( )2()()( )2(

4、)()()()()!kkknnknnfff zddizizzzfdizzzfdizfzf zfzzzn #0( )f zzTalor函数在 处的级数00( ).f zzTaylorzD在解析点 处的级数收敛半径至少等于从 到 的边界上各点的最短距离000( )Rzf zzRz为从 到的距最近的一个奇点之间的距离，即该奇点在收敛圆周上。( (1 1) )注注：(2) 展开式的唯一性1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010分析：分析：设f (z)用另外的方法展开为幂级数:幂级数逐项求导( )01()0,1,2,!

5、nnafznn直接法直接法间接法：间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数由展开式的唯一性，运用级数的代数 运算、分析运算和运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法级数的方法：00( )( )f zzDf zzD 在点(区域解析在(3的邻域 (区域内可以展开成)幂级数。( )0023()1(0,1,2,)12!3!.znzzznzzeenzzzezneR 在复平面上解析 该级数的收敛半径3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解：解：直

6、直接接法法001()()sin22!zizinnnneeziziziinn242cos(sin) 1( 1)2!4!(2 )!nnzzzzzn 又sin ,coszzR 故在全平面上解析，它们的半径21211211112( 1)2(21)!(21)!kkkkkkizzikk间间接接法法例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:211(1)( )(2)( )(3)( )ln(1)1(1)f zf zf zzzz解：解：21(1)111nzzzzz 111( 1)111 ()nnzzzzz (2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：212211111( 1)(1)

7、11 23( 1)1nnnnddzzzzdzzdzzznzz (3)10(1):zz zcc在收敛圆内任意取一条从的曲线 ，沿 逐项积分得2131ln(1)( 1)1231nnzzzzzzn 0000( 1)1zzzznndzdzzdzz dzz注注:通过奇点判断收敛范围通过奇点判断收敛范围。0(1)( )f zz 在点 的某一邻域内可导。4. 小结：小结：F(z)在在z0点解析点解析0(2)( )f zzCR 的实部和虚部在点 的某一邻域内有连续偏导数且满足方程。0(4)( )f zz 在点 的某一邻域内可展成幂级数。0(3)( )0f zz 在点 的某一邻域内连续且沿邻域内的任一条正向封闭

8、路线的积分为 。& 1. 引入引入 4.4 罗朗罗朗(Laurent)级数级数& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. Laurent级数展开定理级数展开定理& 4. 函数的函数的Laurent级数展开式级数展开式& 5 小结小结回顾：回顾：f (z) 在在z0解析解析思考思考：若若 f (z) 在在z0点不解析点不解析，但在圆环域，但在圆环域 : R1z - z0R2 内解析，那么，内解析，那么，f (z)能能 否用否用级数表示呢级数表示呢？1. 1. 引入引入 f (z)在z0的某一个 圆域z - z0R 内展开成 z - z0的幂级数。例：例：1( )0,1(1):01011f zzzzz

9、zz在都不解析，但在圆环域及内处处解析。1211znzzzz 01,111( )(1)1zf zzzzz当时011,111( )(1)11(1)zf zzzzz当时 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 内解析内解析, , f (z) 可可以展开成含有负幂次项的级数以展开成含有负幂次项的级数,即即2111(1)(1)(1)111(1)(1)1nnzzzzzzz 1 1z 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数

10、表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。2. 双边幂级数双边幂级数-含有负幂项的级数含有负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数都都是是常常数数及及其其中中), 2, 1, 0(0 nczn负幂项部分负幂项部分正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分 是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 收敛域：收敛域：z - z0R2 。01zz令1nnncRR设收敛半径为

11、，收敛域：。011()nnnnnnczzc00111()nnnczzzzRR收敛域：收敛。00()nnnc zz收敛域：收敛域：z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 121020()nnnRRRzzRczz当且仅当时，两个级数有公共收敛区域即圆环域：，称收敛。.)()4(2010以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且且可可内内的的在在级级数数RzzRzzcnnn 注注： 02100)3(zzRR：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以。，发发散散处处处处称称时时当当 nnnzzcRR)()1(021(

12、2)在圆环域的边界在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。点点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(03. 洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理定理定理1020100( ):,( )()(5)1( ):(0, 1, 2,) (5)2().nnnnncf zD RzzRf zczzf zcdz nizzcDz设在内解析 则其中系数是 内绕 的任何一条简单闭曲线级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不

13、是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把的去心邻域内解析，需要把f (z)展成洛朗展成洛朗 （ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。(3)(3) 展开式的唯一性展开式的唯一性 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含有的函数展开为含有正、负幂项的级

14、数是唯一的，这个级数就是正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。分析：分析：)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0101(),()PPzc为任一整数并沿 的正向积分得：Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent

15、 nnnzaf)()(0 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要级数，主要用间接法用间接法。例例1解解210sin1( 1)(21)!nnnzzzzn0z 3524113!5!3!5!zzzzzzsin0zzz求在展开成洛朗级数。4 4 函数的函数的LaurentLaurent级数展开式级数展开式2333011(1)!2!znnnezzzzzznzn例例2解解例例3解解21112!tnetttn 在复平面上，121111,12!zntezzzn z令)0( z3211112!3!4!nzzzzzn30zezLaurentz将在 内展开成级数。10zezLauren

16、t 将 在内展成级数。例例4xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（01( )(1)(2) 01;( )12;() 20f zzziziiziiizzLaurent 将在以下圆环域（内展开成点的级数。解解:11( )12f zzz111( )1212f zzz故( )0112ziz 2101371(1)2482nnnzzz221(1)(1)224nzzzzz 无无奇奇点点111111( )1122112f zzzzzz 212zz 又1( )121iizz 221101111(1)(1)22412nnnnnzzzzzzz 2()21iiizz 111 11

17、 1( )121211f zzzzzzz1221nnnz2223411112411137zz zzz zzzz 注意首项注意首项解解 (1) 在(最大的)去心邻域例例5yxo121( )(1)(2)1,2f zzzzzLaurent将在以点的去心邻域内展开成级数。021(1)111 (1)(2)1nnzzzzz 011z (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域021zxo121111( )122 1 (2)f zzzzz021( 1) (2)211(2)(2)2nnnzzzzz 2225( )(2)(1)(1)12(2) 025zzf zzzzz将在以下区域； 内展开成幂级数。练习：练习：(2) 同一个函数有不同的级数展式，这是因为在不同 的区域上的展式，这与唯一性并不矛盾。 (1) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求收敛半径R, 找出收敛域。 Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心 奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环域，在环域上展成级数。5 5 小结小结(3)(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )级数。