函数一致连续性的判断及应用毕业论文

1、题 目：函数一致连续性的判断及应用 毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目：函数一致连续性的判断及应用作者单位：数学与统计学院作者签名： 2014年 5月17日 目 录摘

2、要1 引言21. 函数连续与函数一致连续的关系31.1函数连续性与函数一致连续性的区别31.2 函数连续性与函数一致连续性的联系52. 一元函数一致连续的判断和应用62.1 一元函数在有限区间上的一致连续性62.2 一元函数在无限区间上的一致连续性82.3 一元函数在任意区间上的一致连续性103. 二元函数一致连续性153.1 二元函数一致连续的概念153.2 二元函数的一致连续性的判断及应用15结束语16参考文献16致谢18 函数一致连续性的判断与应用摘 要：本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发，对函数的一致连续的定义进行了深入的分析，之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和

3、应用，还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识. 关键词：连续；一致连续；连续函数 The judgment and Application of Uniformly Continuous Function Abstract: This article from the concept of uniformly continuous function is continuous and relation. the definition of uniformly continuous of function carried on the

4、thorough analysis, then we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function of two variables in different region. Key words: Continuity; Uniformly Continuity; Continuity Function 引言 函数一致连续性是数学分析的一个

5、重要概念，理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础，而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系所以，找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容.因此，本文探讨了函数一致连续性的判定方法，基本性质及其应用，并且对函数一致连续性的判定方法，基本性质及各个应用进行了深入研究，目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识.数学概念对数学的发展是不可估量的，函数的概念对于数学发展的影响，可以说是贯穿古今函数概念的发展历史，不仅有助于我们提高对函数概念来龙去

6、脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助17世纪中叶，笛卡尔引入变数的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；19世纪中期，法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨，达郎贝尔和欧拉的成果，第一次提出了函数的定义；随后，牛顿，莱布尼茨分别独立的建立了微分学说这期间，随着数学的发展，各种函数大量出现，但函数还没有给出一个一般的定义国内的主要理论成书于十九世纪它逐步形成一门逻辑严密，系统完整的学科，而且在各个方面获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量基础的强有力的工具文献1,2,5作为论文的基础，主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。文献3，4，6主要

7、从例题的角度给出大量判断函数一致连续和非一致连续的判别方法。文献7讨论了函数一致连续的几个充分条件。文献8就几种特殊函数的一致连续性进行了详细的探讨，得到了满足Lipchitz条件的函数，周期函数等一些特殊函数的一致连续性的判别方法。文献9讨论了函数一致连续性的几个判别方法，比如康拓定理以及定义在不同区间上的函数一致连续性的判别方法。文献10讨论了二元函数的一致连续性的概念及一些判别方法。1. 函数连续与函数一致连续的关系 1.1函数连续与函数一致连续的区别 1.1.1函数连续的局部性 定义1 函数在某内有定义，对于，使得当时，有 ，那么称函数在点处连续. 这里不仅和有关,而且还和点有关,即对

8、于不同的,一般来说是不同的.这样是不是意味着 在点的邻域内连续呢?或者说它的图象在此邻域上连绵不断呢？ 答案是否定的，如函数只在连续；函数仅在两点连续；又如函数 容易证明这个函数在任意点是连续的. 上面的例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，而不能从字面意思去理解 在点连续.当且仅当 在的邻域内每一点都连续，才能说在的邻域内连续.因此，函数在点处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这的确是个遗憾.但是，如果在连续点处函数值，那么上述例外情形就不会发生了.有如下定理： 定理1 设在连续，且，则一定存在的某个邻域，使 在此邻域内连续. 证明 因在点连续，即，都有 现对，由上式显然有 又，当充分

9、小时，由局部保号性有 0, 即，从而有 可见在连续，由的任意性，知在的邻域内连续. 因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映的是函数在区间上一点附近的局部性质，而不能判断在某一区间上的整体性质. 1.1.2函数一致连续的整体性 定义2 设函数在区间上有定义，若对，只要，就有 则称函数在区间上一致连续. 定义中的“一致”指的是什么意思呢？与函数在区间上连续的定义进行比较，不难发现，在函数连续定义中的，不仅仅依赖于，还依赖于点在区间中的位置，即.而在上一致连续是指，存在这样的它只与有关而与在区间中的位置无关，即.可以说，如果函数 在区间上连续，即对于任意给定的正数，对上的每一点，都能分

10、别找到相应的正数，使得对上的任意一点，只要，就有，其中；而对于函数的一致连续性来说，对于同一个而言，当在上变动时，的大小不变，即仅仅依赖于.可见，“一致”指的是存在在I上所有点的公共，与有关，与无关. 函数一致连续的实质是指当在这个区间的任意两点越靠近，它们对应函数值差的绝对值就越小.更直观的是说，可以任意小,即对于任意的 ,只要时,就有. 这里可能会产生这样的疑问：既然对中每一个点都能找出相应的，那么取这些的最小者或者是下确界作为正数，不就使其与点无关了吗？事实上，这不一定能办到.因为区间中有无穷多个点，从而也对应着无穷多个正数，这无穷多个正数却未必有最小的正数或下确界. 所以，在区间上一致

11、连续反映出在上各点的“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体的性质. 1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系 定理2 函数在区间上一致连续，则在上连续. 这个定理显然成立，只须将其中的一个点（或）固定即可，但是在上连续，函数在区间上却不一致连续. 例1 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）. 证明 取，对（充分小，不妨设），取， 则虽然有 ， 但 由函数一致连续的定义，函数在内不一致连续. 那么应具有什么样的条件，函数在上连续才能在上一致连续呢？ 定理3 若函数在闭区间上连续，则函数在上一致连续. 这就是著名的G.康托（Con tor）定理.函数在闭区间上连续的这一性质对于研究函

12、数一致连续性是非常重要的，由它我们可以推出许多重要结论. 注1 对于函数的一致连续性的掌握应该注意以下两点： （1）一致连续的函数必连续，连续函数不一定一致连续. （2）函数一致连续的否定叙述：设函数在区间上有定义，若，使，虽然有 但有 ， 称函数在区间上非一致连续. 因此，我们可以在某一点讨论函数的连续性，却不能在这一点讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质，它们是两个不同的概念，既有联系又有区别. 2. 一元函数一致连续的判断和应用 2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性 定理3 康托定理：若函数在闭区间上连续，则在上

13、一致连续. 这个定理的证明可应用实数的连续性命题中的有限覆盖定理或致密性定理来证明，下面用致密性定理来证明. 证明 若不然，即对,在区间 内至少存在两点 及 , 虽然 ,但是 .现取 ,那么在 内存在两点 及 . 虽然 ,但是有 . 应用致密性定理,在有界数列中存在一个收敛的子列 ,这里 ,再由于 , 所以 , 亦即 .因为 ,所以 , 并且 对一切 成立；另一方面,由于 在 连续,亦即 由函数极限与数列极限的关系,有.所以 . 这同 对一切 成立相矛盾.故假设不成立.从而原命题成立. 注2 G.康托定理对于开区间不成立，如例1中所示. 由G.康托定理可知，函数在闭区间上一致连续在上连续，所以

14、在闭区间上连续的函数必定一致连续，而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立.这就需要在有限开区间的端点或无穷远点处加上一定的条件，一致连续性才能成立，这就有下面的定理. 定理4 函数在内一致连续在连续，且与都存在. 证明充分性令 则 在上连续,从而在上一致连续，所以在内一致连续. 必要性 因为在 内一致连续，所以在 内连续，即对于 ,当时, 有 于是当 时，有 根据柯西收敛准则,极限 存在.同理可证 也存在. 根据定理4，可以得到结论：推论1 若在区间（或）上连续，且（或）存在且有限函数在（或）上一致连续. 在有限区间上有一个重要的性质：函数在上一致连续,又在上一致连续, .则在上一致连续

15、. 2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性 定理5 在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在. 证明 ,当 时,有 从而若 时, 有 所以在上一致连续.同理可证：由知，当 时,有 , 即知 在 上一致连续. 又 在上连续，则在上一致连续,当 时，有 , 故 在 上一致连续.取 ,当 时便有 即 在上一致连续. 根据定理5还可以得到以下结论：推论2 函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且存在.推论3 函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在.推论4 函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且存在.推论5 函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在. 对于周期函数我们有以下定理：

16、 定理6 设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续. 证明 必要性显然.下证充分性. 因为在上连续，所以在上也连续，因而一致连续. 因此对，使得对，且，有 . ，且，不妨假设且，即 . （1） 若，则 ， 有. （2） 若，则有， 且 ，故有 . 综上所述，函数在上一致连续.注3 运用定理6，可知三角函数等周期函数在上是一致连续的.还可以运用其他方法来判定. (利用渐近线）函数在连续,且有斜渐近线,即有数 与 ,使 ,则在一致连续. 若函数在可导,且（常数或）,则在 一致连续的充要条件是为常数. 例2 证明：在上一致连续.证明 由于，故在该区间有渐近线，所以 在上一

17、致连续.2.3 一元函数在任意区间上的一致连续性定理7 若函数 在区间上满足Lipchitz条件,即存在常数 ,使对任何 ,都有 ,则函数 在区间 上一致连续. 依定义可立即得证. 该定理常常与中值定理结合在一起运用. 定理7仅仅是函数在区间上一致连续的充分非必要条件，如下例：例3 证明在上一致连续但不满足Lipchitz条件.证明 在上连续，由Contort定理知在上一致连续. 取 显然，且有 ， ， 从而，对任意充分大的正整数，总存在使得 ， 即 . 故在上一致连续，但在上不满足Lipchitz条件.由Lipchitz条件启发，还可以得到： 推论6 设存在，使对任意，都有 成立，且在区间上

18、一致连续，则在区间上一致连续. 定理8 函数 在上一致连续对区间上任意两个数列,当时,有证明必要性因为在 上一致连续,所以,当时有 .任取上的两数列 与 并且满足 .则对0 ,当时有 于是,即 充分性假设在上不一致连续，则 ,但 .特别,取 ,则,但,这与已知条件矛盾.所以原命题成立. 注4这个定理主要来判断函数的非一致连续性. 注5 利用定义证明函数在上的非一致连续的关键是确定，并且找出使得.而要做到这一点，对于某些函数来说是比较困难的，但是根据前面判定函数一致连续的充要条件容易得到函数在区间上非一致连续的两个比较简单的充分条件：（1）连续函数在区间内非一致连续的充分条件是和至少有一个不存在

19、.（2）连续函数在区间非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，使得，但 . 利用上面两个判定方法可以证明以下几个题目：（1） 函数在上非一致连续；（2） 函数在上非一致连续；（3） 函数在R上非一致连续；（4） 函数在上非一致连续（提示：可以取，）.定理9 函数在区间上一致连续时有 . 该定理根据定义可以很容易的证明. 例4 讨论函数在上一致连续性.解 在上连续.设（1） 当时，设，则，且 . 所以在上一致连续.（2） 当时， ， 且 . 所以在上一致连续.由（1）（2）可得在上是一致连续的.例5 证明= 在 上非一致连续.证明方法1 有.所以=在上非一致连续.根据一直连续性定义证得.方法

20、2取 , 且.但 .所以= 在 上非一致连续.综上所述，一元函数主要是运用函数的定义或所满足条件的定义区间来证明或判断的，上述给出了几种判定方法，但并不全面，我们还可以进行深入的讨论和研究.下面再给出几种判别方法，由于篇幅有限，仅给出判定定理，自己证明.(利用导数)若在区间上存在有界导函数,即,有，则在上一致连续.（利用拟可导）定义3(凸函数) 设函数在区间上有定义,若,有(或).则称为定义在区间上的上凸(或下凸)函数,上、下凸函数统称为凸函数.定义4(拟可导函数)若函数在有定义,且极限存在,则称函数在拟可导,记为. 引理凸函数在任意开区间（有限或无穷）上连续.定理10若在开区间（有限或无穷）

21、上单调，且在内处处存在有界，则在上一致连续.推论7若是开区间（有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则在上一致连续.推论8若在开区间（有限或无穷）上满足条件：，有； ，和都存在； 在上处处拟可导，且拟导数有界， 则在上一致连续.3. 二元函数一致连续性3.1 二元函数一致连续的概念定义5 设为定义在区域上的二元函数，（它或者是的聚点或者是的孤立点）若，即对，使得当 时，有 ， 则称函数 关于区域在点连续.若二元函数在区域上任意一点都连续，则称在区域上连续.定义6 函数在区域上，如果对，（仅与有关），当且时，有 ， 则称函数在上一致连续.3.2 二元函数的一致连续性的判断及应用 下面我们将

22、一元函数的一致连续的一些结论推广到二元函数中去.定理11（柯西收敛准则）平面点列收敛使得当时，对，都有. 定理12（归结原则） 设二元函数在有定义.存在对任何含于且以为极限的点列，极限都存在且相等.定理13 若函数在有界闭区域上连续，则在上一致连续.定理14函数在有界开区域上一致连续的充要条件是在上连续，且存在.（记为的边界）定理15函数在上连续，且存在，其，则在上一致连续.定理16函数在区域上满足：，都有（为正常数），则在上一致连续.定理17函数在凸区域内存在有界偏导数，则在上一致连续.定理18函数在区域上一致连续对，恒有.定理19函数在有界区域上一致连续的充要条件是函数将中的柯西列变成中的

23、柯西列.总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理18中的条件要求为凸区域.结束语文章比较全面的总结了一元函数判断的一致连续性的方法，并结合实例对这些方法加以应用，同时将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续性的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析上册(第四版) M.北京：高等教育出版社.2010.7.81-862华东师范大学数学系.数学分析下册(第四版) M.北京：高等教育出版社.2010.6.111-1133裴礼文.数学分析中的典型问题及方法M.北京.高等教育出版社.2001.93-103,106-1084钱吉林. 数学分析题解精粹M.武汉.崇文书局.2003.122-124.5傅沛仁.刘玉琏.数学分析讲义（第二版）M.北京：高等教育出版社,.2003:135-144.6周