浅析数学分析一致连续性

1、一 引入“一致性”的意义 数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。 弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续

2、的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中 的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函

3、数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物发展过

4、程。这也是初学者无法理解分析中定义的原因。而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最基本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地发展学生的思维能力。本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法。此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然。它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究。通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着

5、密切的关系。探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系。掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据。 二 对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小。函数一致连续的概念一直是数学分析学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。1 从连续的概念引出一致连续

6、的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。也就是说：对于任给的正数，要求存在一个与x 无关的正数，使对自变量的任意2 个值x，x，只要它们的距离 x-x ，对应的函数值f（x）-f（x ），。显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中 的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含

7、的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念。下面我们从函数f（x）在区间I 上连续的定义出发，通过2 个例子，快速建立函数f（x）在区间I 上一致连续的定义。定义1 （函数f（x）在区间I 上连续） 设f（x）为定义在区间I 上的函数，若对0，对于每一点xI，都存在相应=（，x）0，只要xI，且x-x ，就有f（x）-f（x），则称函数f（x）在区间I 上连续。给出以下2 个例子。例1 考查函数f（x）=在区间（0，1上的连续性。解 对（0，1，因为x=0，则存在邻域U（，），使得xU（，），有x，所以有 -=2。对0，取=min，就有 -。这里 与有关，有时特记为（，）。注意

8、本例中不存在可在区间（0，1上通用的，即不存在最小的（正数）。强调：的位置不同， 的取值也随之产生变化。例2 考查函数f （x）=在区间上c，+）（c0）的连续性。解 对c，+）（c0），存在邻域U（，），使得xU（，）时，有 -= 0 ,存在只依赖于的正整数N () ,当n N () 时,不等式Sn ( x) - S ( x) 0 , v 0 , x1 , x2 I :| x1 - x2| ,有| f ( x1) - f ( x2) | ,称函数f ( x) 在I 一致连续。对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题:(1) 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。比较

9、函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的不仅与有关,而且还与点x0 有关,即对于不同的x0 ,一般来说是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的仅与有关,与x0无关,即对不同的x0 ,是相同的。这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲,而且对于某一点x0 ,取决于x0和,而一致连续必须以区间为对象,只取决于,与点x0 的值无关) 。在区间I 一致连续的函数在这个区间一定是连续的,事实上,由一致连续性定义将x1 固定,令x2 变化,即知函数f ( x )在x1 连续,又x1 是

10、I 的任意一点,从而函数f ( x) 在I 连续。但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如f( x) = 1/ x 在区间(0 ,1) 就是如此。(2) 函数一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差, 就绝对值来说, 可以任意小, 即 x1 , x2 I ,当| x1 - x2| 时,就有| f ( x1) - f ( x2) | 0 , 0 , x1 , x2 I :| x1 - x2| 0 , 0 , x1 , x2 ( a , b) 且| x1 - x2 | 时,有| f ( x1) - f ( x2) | ,此时对端点a ,当x1 , x2满足0

11、x1 - a / 2 ,0 x2 - a / 2 时,就有| x1 - x2| | x1 - a| + | x2 - a| ,于是| f ( x1) - f ( x2) | 0 , 1 0 ,由f ( x)= A , b 0 ,当x b 时,有| f ( x ) - A | b 且| x1 - x2 | 1时,有| f ( x1) - f ( x2) | | f ( x1) - A | + | f ( x2) - A | 由此可知f ( x) 在 b , + ) 上一致连续。同理可证当| x1 - x2| 2时,有| f ( x1) - f ( x2) | 0 当| x1 - x2| 3时有|

12、 f ( x1) - f ( x2) | ,故f ( x) 在 a , b 上一致连续。取= min1 ,2 ,3 , 当| x1 - x2| 时便有| f ( x1) - f ( x2) | 0 ( n ) , x= l n( n + 1) , x= l n n R :| x- x| =| l n ( n + 1) l n n| = l n (1 + 1/ n) 1/ 2 =所以f ( x) = 在R 非一致连续。利用定义证明函数f ( x) 在I 非一致连续的关键在于确定 0 ,找出x, x”I 使得| f ( x) - f ( x”) | ,而做到这一点,对于某些函数来说并非易事。根据函

13、数的一致连续性的充要条件,容易得出证明函数在区间I 非一致连续的较简便的两个充分判别法。(1) 连续函数f ( x) 在区间( a , b) 内非一致连续的充分条件是f ( a + 0) 和f ( b - 0) 至少有一个不存在。(2) 连续函数f ( x) 在区间I 非一致连续的充分条件是在区间I 上存在两个数列 x n 、 y n ,使得( x n y n) = 0,但 f ( x n) - f ( y n) 0现在利用判别法(2) 证明例2 :证明:取x n = l n ( n + 1) , y n = l n n R ,且( x n y n) = (l n( n + 1) l n n)

14、 = l n(1 +) = 0但 f ( x n) - f ( y n) = (-) = ( n + 1 - n) = 1 0所以由判别法(2) 知f ( x) = e x 在R 非一致连续。利用这两个判别法证明函数f ( x ) 在区间上非一致连续性的优点是显而易见的:不用直接确定 0 找x1 , x2 I 满足| f ( x1) - f ( x2) | ,而只须观察f ( a + 0) 和f ( b - 0) 的存在性或找出两个数列 x n 和 y n 满足判别的条件即可。例3 证明下列函数在所示区间内非一致连续f ( x) = cos, x (0 , 1)证明: 因为cos不存在,所以f

15、 ( x) 在(0 , 1) 内不一致连续。五 关于函数列的一致连续性的研究一、关于一致性的几个定义一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。本文就从这里人手展开讨论,对于函数的一致连续性我们知道有如下定义定义1 :函数f ( x) 在数集E 上一致连续是指:对P 0 ,存在 0 ,使得当: x1 , x2 E ,且| x1- x2 | 时,有| f ( x1) - f ( x2) | 0 ,总存在 0 ,使得当: x1 , x2E ,且|

16、 x1 - x2| 时,对一切的n N ,都有| fn (x1) - f n (x2) | 0 ,总存在某个自然数N ,使得当n N 时,对一切x E ,都有| f n ( x) - f ( x) | 0 ,存在N N ,使得当n N ,有|f n (x) - f (x) | ( x1 ,x2 E) ,同时有| f n ( x 1) - f n ( x 1) | 和| f n ( x2) - f n ( x2) | N ,我们考察f n ( x ) 在E 上也是一致连续的。对上述 0 , v 0 ,使得当( x1 , x2 E) , | x 1 - x2 | 时,就有| f n ( x1) -

17、 f n ( x2) | 于是只要x 1 , x2 E 时,当| x 1 - x2 | N 时,函数列 f n ( x) 皆连续?这是不成立的。因为: f n ( x) =D ( x ) 处处不连续,但f n ( x) = 0 = f ( x ) 处处连续,且有| f n ( x) - 0 | 知收敛为一致收敛。注3 :如下逆命题也不成立:即:若函数列 f n ( x) 在区间I 上收敛于f ( x ) , f n ( x) 与f ( x) 均连续,则收敛为一致收敛。这是不可能的。例如: f n =在(0 ,1) 单调趋于0 ,但不一致收敛。上述命题3 将条件适当的改变也可以得到新的命题,例如

18、:命题3 在区间上成立同时在数集E 上也成立,因此有如下命题:命题3若函数列 f n ( x) 在数集E 上一致收敛于f ( x) ,且每一项f n ( x) 都在数集E 上连续,则极限函数f ( x) 在数集E 上连续。当然,我们也可以把函数列 f n ( x) 在E 上一致收敛于f ( x) 的条件适当的减弱,又得到下面的命题:命题3若函数列 f n ( x) 在数集E 上内闭一致收敛于f ( x ) ,且每一项f n ( x ) 都在数集E 上连续,则极限函数f ( x) 在数集E 上连续。进一步可得到下面的命题。命题4 若函数列 f n ( x) 在区间I 上一致收敛于f ( x )

19、,且f n ( x) 在区间I 上都是一致连续,且 f n ( x) 与f ( x) 均存在,则极限函数f ( x ) 在区间I 上一致连续。(其中I = ( a , b) )从命题4 可以看出,命题4 实际上等价命题1 。三、连续与一致收敛D in i 定理设函数列 f n ( x) 在区间 a , b 上收敛于连续函数f ( x ) ,对 x a , b 都有f n ( x ) f n+1 ( x) 或f n ( x) f n+1 ( x) 成立,且每个f n ( x ) 在 a , b 上连续,则函数列 f n ( x ) 在区间 a ,b 上一致收敛。D i n i 定理给出了函数列

20、f n ( x ) 在闭区间 a , b 上一致收敛的充分条件。因此可以判别函数列的一致收敛性。例如: f n ( x) = 在 a , b 上,f n ( x) = n (-1)在1 ,10 上,如果将Di ni 定理定义在数集上我们又可以得到下面的命题。命题:设函数列 f n ( x) 在数集E 上收敛于连续函数f ( x) ,又存在自然数N ,当n N ,对x E 都有f n ( x ) f n+1( x ) 或f n ( x ) f n+1 ( x ) 成立,且每个f n ( x) 在数集E 上连续,则函数列 f n ( x) 在数集E 上内闭一致收敛于f ( x ) 。六 一致连续的

21、几个等价命题及其应用函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，笔者在教学过程中给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。一致连续定义：设函数（ ）在区间I（开、闭、半开都可）上有定义，若对任给正数，总存在某一个正数（），只要， 属于I，且 ，便有（）（） ，则称（ ）在区间 上一致连续。定理可以证明下述四个命题和一致连续定义是相互等价的：（1）若对任给正数，总存在某一个正数k，只要， 属于I，且xx ，且满足 k，（）便有（）（）（）， k=k（）。（2）对区间 中满足（-）=0 的任何两个数

22、列 ， ，（ ）-（ ）=0。（3）对区间I 中的任何cauchy 列，（）也是cauchy列。（4）（ x）在区间（a，b）内连续，（ a+0）及（ b-0）存在且连续。证明：一致连续定义命题 （1）。因为原命题正确，其逆否命题也一定正确，二者是等价的。因此可以用它们的逆否命题来证明。一致连续定义的逆否命题是：对任给正数，存在某一个正数（），使得对任意， 属于，如果（）（） ，就有- 。命题（1）的逆否命题是：对任意正数，存在某一个正数k，使得对任意， 属于， 如果（）（） ， 就有 k。如果由一致连续定义的逆否命题能得到命题（1）的逆否命题，则命题（1）得证。现在证明这个结论。由于- ，故

23、存在正整数k，使得k - （k+1）。不妨设，将，进行（k +1）等分，记为，其中，。由上不等式知 = ，故有（ ） （ ） 。（ =1，2， k+1），从而 。根据定义的逆否命题式知，若 ，则（ ）（ ）。如果取k=，由上述推论知：对任何， 属于，当（ ）（ ） 时 ，必有 k。即证明了命题（1）。命题（1）命题（2）利用反证法。设有数列 ， 均属于I，且（ -），但（ ）-（ ）0，即存在某个0，对任何自然数j，都有某个j，使得（）（） （a）当j=1，2，3，时，得到数列，它是数列的一子列，故（）0。由（1）知，对任给正数，总存在某一个正数k，只要， 属于，当 k，（xx）时，有（ ）（

24、 ） 。又由（）0 知，对0，存在有N0，当jN 时，有 故当jk 时，由上式及（a）式知 =k。所以由（1）知（）（ ） ，但这与（a）式矛盾，故必有（ ）-（ ）0。命题（2）命题（3）利用反证法，设为区间I 中的某一cauchy 列，但（ ）不是cauchy 列，因此，有某个，对任意自然数k，总存在有k 及相应在（ ）中的两项（ ），（），使得（ ）-（） （b）当k=1，2，3，时，可得到的两个子列 ， ，由于收敛，所以， 也收敛，且收敛于同一极限 ，因此（），由（2）知，（ ）-（ ）=0，但这与(b)式矛盾，故（ ） 必为cauchy 列。命题（3）命题（4）首先证明（ ）在（a，

25、b）内连续，任取（a，b），又设，n是（a，b）内任一收敛于的数列，令Y n= 即：，。则，由题设知（ ）存在。因此由子列定理知（） ， （） 均收敛于相同的极限，从而（） =（ ） =（） =（） （ ）又因为（ ）存在，故由收敛数列的子列定理有：（）=（ ） 。所以（ ） （），由收敛于x0的数列的任意性，根据归结原理知 （）（ ），这就是说（）在（a，b）处连续。又由（a，b）的任意性知（）在（a，b）内连续。再证（ a+0）存在且有限。设， ，为（a，b）内均收敛于a的任意两数列，令= k=1，2，。则 ，从而（ ）存在，所以（ ）=（） 。又因为（）及（ ）也都存在，故（） =（）

26、=（ ）， （ ）=（ ）=（） 。从而有（） （ ），由归结原理知极限（）存在且有限，其值为（ a+0），同理可证（ b-0）存在且有限。命题（4）一致连续定义由于（）在区间（a，b）上连续，且极限（ a+0），（ b-0）存在，因此可补充定义（ a）=（ a+0），（ b）=（ b-0），可得函数：（）=则称（）为（）在闭区间a， b上的延拓，（）在闭区间a， b上连续且一致连续，即对任意0，存在有0，使得只要， a， b，且- ，便有F（）F（） ，从而只要， 属于I=（a，b），且- ，便有（ ）（ ） 。本定理实际给出了函数一致连续的四个充要条件，因此应用上述等价命题可以证明函数是一

27、致连续的或不是一致连续的，且往往比较简单。例证明函数（）= 在任一有限区间（-a，a）（a0）内一致连续。证明 设为（-a，a）中的任意cauchy 列，因此，对任意0，存在N0，当nmN0 时有- 从而（） （ ） = = -.=故（） 也是cauchy 列，所以由（1）与（4）等价知，（）在任一有限区间（-a，a）（a0）内都一致连续。七 函数列一致收敛性的推广1 预备知识定义1 设 (x ) 是实数集E上的实值函数列，若对任意 0，存在 0，当xE ，yE时，有f (x) f ( y) （n =1, 2, ），则称（）在E 上同等连续定义2 设(X , d)是量度量空间， 是任意正数，Y

28、 X ，若任给x X ，至少存在一个点yY ，使d(x, y) 0都存在 0 ，取x, yE ，且x y 时，有(x) ( y) 0，存在有限 -网y1，y2，y k， (x )收敛，对每个i (i =1, 2, L, k)，都存在 n i，当 m, n ni 时，有 (y i ) (y i ) 时，对每个i (i =1, 2, k)，有 (y i ) (y i ) 时，有 (x ) (x ) = (x) ( yi ) + ( yi ) ( y i) + ( yi ) (x) (x) ( yi ) + ( yi ) ( y i) + ( yi ) (x) 0，都存在 0，当x y ，x, yE

29、 时，f (x) f ( y) 0，都存在 0， 0 x, yE ，当x y / 3时，有fn (x) f n( y) 取x, yE，且x y / 3，因E0 在E 中稠，存在 E 0中的数列 xn, yn ，使得x n x, yn y由于 fn (x) n 在E上连续，所以对于任意i（i =1,2, ），有fi (xn ) fi(x) ， f i( y n) fi(y ) ，从而fi(x) fi(y”) fi(xn) fi(yn)（当n充分大时， xn-yn 0及每个自然数N ，都存在E 的有限 网 x1, ,xk 及k 个大于N 的自然数n1 , , n k ，使f (x) f (x) 0

30、 ，存在自然数N ， n N 时，（）-（），而 (x ) 在E上一致收敛于f (x)，所以对上述的 0及N ，存在有限 网x1，xk及k个大于N 的自然数n1，n k，使f (x) f (x) ，（x U（，）E）设U（，）E ，则f ( ) - ( ) 0 ，x U（，） 时f ( x) - f ( ) ，不妨使U（，） U（，），于是xU（，）时，有f（x）-f()=f（x）- f ( x)+ f ( x)- f ( )+ f ( )-f()=f（x）- f ( x)+ f ( x)- f ( )+ f ( )-f() N 时， fn (x) 在a, b上可积，则f (x)在a, b上可积证明 对任意的 0及自然数N ，都存在有限 -网 x1, ,xk 及k个大于N 的自然数n1,nk，有f (x) f (x) /4(b a)，x U（，）a, b 显然，可找出k个闭区间覆盖a, b，且每个闭区间含于某一个U（，）(i =1, 2, , k)中，不妨设第i个闭区间是 , ， f (x