微积分产生的社会背景与数学渊源

1、1.1.微积分产生的社会背景和数学渊源微积分产生的社会背景和数学渊源 微积分诞生在微积分诞生在1717世纪，主要来自政治，经济世纪，主要来自政治，经济和社会发展对数学的巨大推动。和社会发展对数学的巨大推动。1616世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪 运动学，动力学等的研究运动学，动力学等的研究1515世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣 流体力学、天文学、几何光学、流体力学、天文学、几何光学、 天文仪器的发展天文仪器的发展 数学家面临问题：数学家面临问题：求面积，求体积，求速度，求面积，求体积，求速度，求加速度，求行程等求加速度，求行程

2、等古时中国古时中国刘徽刘徽、祖冲之祖冲之的割圆术求的割圆术求 和希腊和希腊阿基米德阿基米德等穷竭法求圆面积等，出现了等穷竭法求圆面积等，出现了极限极限和和无穷小思想无穷小思想。 1717世纪初，微积分的铺垫和前期准备世纪初，微积分的铺垫和前期准备 工程师工程师S.Stevin(1548-1620)S.Stevin(1548-1620)和意大利数学家和意大利数学家Valerio(1552-1618)Valerio(1552-1618)求水闸所受压力求水闸所受压力 积分思想的萌芽积分思想的萌芽 KeplerKepler第二行星定律中椭圆面积的计算第二行星定律中椭圆面积的计算微分学的起源要比积分学起

3、源晚得多微分学的起源要比积分学起源晚得多 切线问题与极值问题切线问题与极值问题2 2NewtonNewton和和leibnizleibniz的功绩的功绩 前期工作没有通过无穷小量分析来定义导数和前期工作没有通过无穷小量分析来定义导数和通过分割求和取极限来建立积分的明确概念，更未通过分割求和取极限来建立积分的明确概念，更未给出两者之间的联系。给出两者之间的联系。 17 17世纪后半叶，世纪后半叶，Newton Newton 和和 Leibniz Leibniz 独立地独立地发现了高等数学意义上的微积分。发现了高等数学意义上的微积分。 Issac Newton(1642-1727) Issac N

4、ewton(1642-1727)，英国大物理学家，英国大物理学家和数学家。和数学家。16421642年，伽利略去世，年，伽利略去世，NewtonNewton诞生在诞生在EnglandEngland的一个农民家庭。的一个农民家庭。 1661 1661年年 Newton Newton 入剑桥大学三一学院，拜著名数入剑桥大学三一学院，拜著名数学家巴罗（学家巴罗（BarrowBarrow）为师，）为师，16691669年，巴罗宣布年，巴罗宣布Newton Newton 的学识水平已超过自己，推荐的学识水平已超过自己，推荐2727岁的岁的NewtonNewton代替自己代替自己任任“卢卡斯数学教授卢卡斯

5、数学教授”。这是历史上有名的巴罗让贤。这是历史上有名的巴罗让贤。 Newton Newton受巴罗的受巴罗的“巴罗微分三角形巴罗微分三角形”启发发明微启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。 Newton Newton从从16651665年到年到16951695年，对微积分的创造性年，对微积分的创造性成果为：成果为： 16651665，“正流数术正流数术” 微分学；微分学； 16661666，“反流数术反流数术” 积分学；积分学； 16661666，“流数简论流数简论” 标志微积分的诞生；标志微积分的诞生； 16691669，“分析学分析学”

6、由此后人称以微积分为由此后人称以微积分为 主要内容的学科为数学分析主要内容的学科为数学分析 16711671，“流数法流数法” 16871687，“自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理”简称简称“原原理理” 16911691，“求积术求积术”在在量量x因因流流动动变变成成x的的同同时时，nx 变变成成nx)( Cxnnxnxnnn&2221 NewtonNewton求导（流数）的大概思想是：求导（流数）的大概思想是：增量增量 与与 Cxnnxnnn&2221之比等于之比等于 Cxnnnxnn&2:1221现令增量消失，它们的最终比为现令增量消失，它们的最终比为 11nnx求求 的流数的流数 n

7、x这段话用今天的微积分可改写成：这段话用今天的微积分可改写成： 0 xCxxnnnxxxxxnnnn&2) 1()(21然后令然后令 0 x 的导数（流数）为的导数（流数）为 nx1nnx Newton Newton的成果受到一片欢呼和歌颂。的成果受到一片欢呼和歌颂。 17271727年，年，NewtonNewton因肺炎与痛风去世。他遗留的因肺炎与痛风去世。他遗留的手稿中，仅数学部分就有手稿中，仅数学部分就有50005000多页。多页。 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716), Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),德国大

8、数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门德国大数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门第，幼年表现出超常才智。第，幼年表现出超常才智。 15 15岁考入莱比锡大学，岁考入莱比锡大学，16671667年获法学博士学年获法学博士学位，次年任驻法大使，在巴黎生活了位，次年任驻法大使，在巴黎生活了4 4年。年。 20 20岁发表岁发表论组合的艺术论组合的艺术的数学论文（使的数学论文（使其成为其成为“数理逻辑奠基人之一数理逻辑奠基人之一”）。）。Leibniz Leibniz 很很多重大的成就包括微积分都是在巴黎的多重大的成就包括微积分都是在巴黎的4 4年中完年中完成的。成的。 在在 Paris, Leibni

9、zParis, Leibniz 结交了荷兰著名数学家和物理结交了荷兰著名数学家和物理学家学家 HuygensHuygens，在他的指导下，在他的指导下，钻研了笛卡尔钻研了笛卡尔、费马、费马、帕斯卡的著作，它制造出能进行加、减、乘、除和开方帕斯卡的著作，它制造出能进行加、减、乘、除和开方运算的计算机。运算的计算机。 他曾写信给中国的康熙皇帝建议成立北他曾写信给中国的康熙皇帝建议成立北京科学院，他主持出版了中国近况一书，他是最早京科学院，他主持出版了中国近况一书，他是最早关心中国科学事业的西方朋友。关心中国科学事业的西方朋友。 他在他在ParisParis的主要成果的主要成果： 1675 1675

10、年给出积分号年给出积分号“ ”，同年引入微分号，同年引入微分号“d d” 1676 1676年给出公式年给出公式 ，dxaxdxaa1111aaxadxx 1677 1677年，表述微积分基本定理：年，表述微积分基本定理：)()(azbzdxyba 1684 1684，“求极大与极小值和求切线的新方法求极大与极小值和求切线的新方法” 1686 1686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析深奥的几何与不可分量的无限的分析”3 3第二次数学危机与微积分的第二次数学危机与微积分的 发展和完善发展和完善 N-L N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混

11、乱，引起不少科学家的批评。小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。 英国哲学家、牧师英国哲学家、牧师 G.BerkeleyG.Berkeley（1685-17531685-1753）：）：分析学家，或致一位不信神的数学家分析学家，或致一位不信神的数学家矛头直指矛头直指牛顿的流数法。牛顿的流数法。 Berkeley悖论 这就导致了这就导致了第二次数学危机第二次数学危机 由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到1919世纪，才开始真正解决问题。世纪，才开始真正解决问题。 第一个

12、为补救第二次数学危机提出真正有见地第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见的是意见的是达朗贝尔达朗贝尔（D DAlembertAlembert）。但他未提供理论。）。但他未提供理论。 后经后经 LagrangeLagrange，BolzanoBolzano（捷克），（捷克），CauchyCauchy（分析学奠基人），（分析学奠基人），WeirstrassWeirstrass（法）等人的努力，（法）等人的努力，奠定了微积分严格的基础，解决了第奠定了微积分严格的基础，解决了第2 2次数学危机。次数学危机。 Cauchy Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极限的贡献在于将微积分的基础建立在极限基础上，基础上，WeirstrassWeirstrass的贡献是建立了分析基础的的贡献是建立了分析基础的逻辑顺序：实数系逻辑顺序：实数系极限论极限论微积分。微积分。 微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学，旧数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学，旧数学是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态的，两者的关系就旧数学是静态的，新数学是动态的，两者的