必修2空间角与空间距离(理科)

1、空间角和空间距离空间角(1) 两条异面直线所成的角： 两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线ca，db，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。 注意：两条异面直线a，b所成的角的范围是（0，90两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围（2）直线与平面

2、所成的角1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为 显然，直线与平面所成的角的范围为 4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。（3）二面角(1)二面角的定义 一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面(2)二

3、面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角注意：二面角的平面角两边必须都与棱垂直二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；相交时；共面时平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)二面角的平面角的确定与求法直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影

4、面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么空间距离（1）两条异面直线间的距离：两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得aAB，bAB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。注意：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，才是两条异面直线间的距离，它是确定的值。任意两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。求两条异面直线间的距离：先找到公垂线，再确定公垂线短的长度即可。（2）点到平面的距离：平面外一点到平面的距离是从这一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离

5、，叫做这个点到这个平面的距离。 点到平面的距离的确定和求法：直接法：通过做垂线找到这个距离，再算出或确定它的大小即可。等体积法：在某个具体图形中将这个点到平面的距离视作某个几何图形的高，再通过体积变换求出这个几何图形的体积，从而算出高确定距离。（3） 与平面平行的直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 求法：转化成点到平面的距离。（4）两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，叫做这两个平行平面间的距离。 求法：转化成点到平面的距离。典型例题剖析例1已知：a、b是两条异面直线，直线

6、a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5求异面直线a、b所成的角例2正方体中，求与平面所成的角.例3.在正四棱柱ABCDABCD中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D到平面BEF的距离例4如图，已知中，平面ABC，PB与平面ABC成角，求二面角APBC的正弦值例5（2016年新课标1）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，,，则m，n所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）例6.在正方体中，与对角面所成角的大小是（）AB CD例7.在中，AB=AC=5，BC=6，平面ABC，PA=8，则P到

7、BC的距离是（）AB CD在线测试1.如图，长方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角余弦值是（ ）A. B C D02.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B）4 （C）4 （D）63.已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（A） （B） （C） （D）4（2017年新课标3）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABC D5. (2015高考新课标2)已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64

8、C.144 D.2566.P是边长为的正三角ABC所在平面外一点，PAPBPC， E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（ ） A B C D 第7题图7如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则（A） （B） （C） （D）8 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A） （B） （C） （D）9已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是（A） （B） （C） （D）10. 【2014大纲高考理第11题】已知二面角为， ，A为垂足，则异面直

9、线与所成角的余弦值为（ ）A B C D11已知正四棱椎的体积为12，底面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为_.12.在正方体ABCD-ABCD中，AC和AB成角为 13. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是_.14.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形,若PA=2,则OAB的面积为_.15.已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.16(2013课标全国)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_17在正方体中，和平面A

10、BCD所成的角的度数是_和平面所成的角的度数是_ 18.（2017年新课标1）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直 径。若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面 积为_. 19.已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，点A到面BDC1的距离为_20.(2014年湖南)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_, 21如图，多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中

11、的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）22如图，平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）23如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面 的距离为。ABCDA1 21题图 22题图 23题图 24正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 _ 25.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4， AB2，

12、以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，则点N到平面ACM 的距离为_ 26如图264，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心， 则O到平面ABC1D1的距离是_27在直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，则异面直线BC1与DC夹角的余弦值是_28已知二面角为，点棱a，则的取值范围是_29已知二面角为，a，b是异面直线，且，则异面直线a与b所成的角等于_30正方体中，(1)求与平面AC所成的角；(2)设BD与AC交点为O，求与平面ABCD所成角的正弦值 31.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， 底面

13、，且，分别为、的中点。（）求证：；（）求与平面所成的角。32.(2017年天津)如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.33.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 34. 如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.35. 如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的

14、侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（）的值；（）二面角SBCA的大小；（）正三棱锥SABC的体积 36如图310，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形图310(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值37如图311，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点图311(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正

15、弦值38如图312，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.图312(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值39.2016全国卷 如图14，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积图1440.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。41.如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。 （）求直线