第三章水动力学基础7-8

1、 本章学习基本要求：本章学习基本要求：了解描述流体运动的两种方法；理解流动类型和流束与总流等相关概念；掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用；理解量纲分析法。第三章第三章 水动力学基础水动力学基础3.1 描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法3.2 液体运动液体运动的基本的基本概念概念3.3 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程3.4 恒定元流恒定元流的的能量方程能量方程3.5 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程3.6 能量方程的应用能量方程的应用3.7 恒定恒定总流的动量方程总流的动量方程3.8 量纲分析与量纲分析与 定理定理第三章第三章 水动力学基础水动力学基础 3.7

2、 恒定总流的动量方程 质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量冲量在同一方向上投影的代数和。3.流段内动量的变化 应等于1-2与1-2流段内液体的动量 M1-2和 M1-2之差。2.经微小时段 后，设原流段1-2移至新的位置1-2。M 3.7.1 恒定总流动量方程dt1.在恒定总流中，取出某一流段来研究。该流段两端过水断面为1-1及2-2。1 21 2MMM1 21 112MMM1 21 22 2MMM2 21 1MMM有而故有任取一微小流束MN，微小流束1-1流段内液体的动量同理对断面A1积分有111d Auu td111 1111111AAud

3、 AduAu td tu dM222 2222222AAud AduAMutd tu d采用断面平均流速v代替u，有 动能修正系数动能修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值比值。0 . 1，因为故有：常采用其中2AA2u ddvu AuAvAv A2211d (vv )MQ t 12QQQ111111111QvdtdAuudtMA 222222222QvdtdAuudtMA 2211(vv )FQ 221 1221 1221 1()()()xxxyyyzzzQ FQ FQ

4、 F于是得恒定总流的动量方程为：总流的动量方程是一个矢量方程式。为了计算方便，在直角坐标系中的投影为：实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式11221122t时刻t+t时刻依动量定律依动量定律： MFt 即：单位时间内，物体动量即：单位时间内，物体动量的增量等于物体所受的合外力的增量等于物体所受的合外力t t时段内，动量的增量：时段内，动量的增量：121 2MMM2 21 1MMdA1u1u2dA2u1t11dmu dtdA1111dMu dmuu dtdA21222111AAuu dtdAuu dtdA22221111Vdt U d AVdt U d A2221112211

5、()dtQ VdtQ VdtQVV 2211()FQVV代入动量定律，整理得：代入动量定律，整理得：即为实际液体恒定总流的动量方程式即为实际液体恒定总流的动量方程式21222111AAVu dtdAVu dtdA在均匀流或渐变流过水断面上uV作用于总流流段上所有作用于总流流段上所有外力的矢量和外力的矢量和单位时间内，通过所研究流段单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上游断下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差面流入的动量之差动量方程的投影表达式：动量方程的投影表达式：2211()xxxFQVV2211()yyyFQVV2211()zzzFQVV适用条件：适用条件：不可压缩液体、恒

6、定流、过水断面为均匀流或不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。2223331 1 1FQVQVQV 如图所示的一分叉管路，动量如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2 上游水流作用于断上游水流作用于断面面A1上的动水压力上的动水压力P1，下下游水流作用于断面游水流作用于断面A2上的上的动水压力动水压力P2，重力重力G和总和总流侧壁边界对这段水流的流侧壁边界对这段水流的总作用力总作用力R。其中只有重其中只有重力是质量力，其它都是表力是质量力，其它都是表面力。面力。Fvv)(Q1

7、122 FFvv)AvAv(11112222 一维化的恒定总流动量方程一维化的恒定总流动量方程或或GA1A2P1P2Rv1v2 水流对侧水流对侧壁的作用力壁的作用力 R 是是 R 的的反作用力反作用力恒定恒定总流动量方程建总流动量方程建立了流出与流进控制体立了流出与流进控制体的动量流量之差与控制的动量流量之差与控制体内流体所受外力之间体内流体所受外力之间的关系，避开了这段流的关系，避开了这段流动内部的细节。动内部的细节。对于有对于有些水力学问题，能量损些水力学问题，能量损失事先难以确定，用动失事先难以确定，用动量方程来进行分析常常量方程来进行分析常常是方便的。是方便的。xxxF)vv(Q112

8、2 yyyF)vv(Q1122 zzzF)vv(Q1122 恒定总流动量方程是矢恒定总流动量方程是矢量方程，实际使用时一般量方程，实际使用时一般都要写成分量形式都要写成分量形式水排水排动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利用用水流动量原理水流动量原理，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，再带动旁边的绳轮冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，

9、再带动旁边的绳轮和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动，和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动，即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂米、磨面、纺纱和提水扬水工具。米、磨面、纺纱和提水扬水工具。 水排简介水排简介 东汉初（公元东汉初（公元31年）杜诗制造的年）杜诗制造的“水排水排”，利用溪水流作原动力，利用溪水流作原动力，转转应用动量方程时要注意以下各点：1 1建立坐标系：建立坐标系：动

10、量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向标明正方向，其选择以计算方便为宜。2 2取脱离控制体：取脱离控制体：控制体一般取整个总流的边界作为控制控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一般都是取过水断面。体边界，横向边界一般都是取过水断面。3 3动量方程式的左（右）端，必须是输出的动量减去输入的动量方程式的左（右）端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。动量，不可颠倒。或或（下游断面的动量）（下游断面的动量）-（上游断面的动量）（上游断面的动量）FP1FP2FRFGxzy22设设1 1，1 1。 22FP1FP2FRFGxzy4正确分析受力，未知力设定方向：正确分析

11、受力，未知力设定方向：对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若求得的该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。6动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。解。应用动量方程时要注意以下各点：ApFApF22P11P,3.7.2 恒定总流动量方程式应用举例应用实例（应用实例（1）: 弯管内水流对管壁的作用力 弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液体对管壁的作用力。但弯弯管以外的渐变流段管以

12、外的渐变流段 p静静= =p动动 取如图所示控制体，作用于控制体上的力包括两端断面上的动水压力，还有管壁对水流的反作用力和重力。211122R(cos )cosxQ p Ap AF11QA22QA2R1122211cos()cosxFQp Ap AAA111R0(sin )sinzQp AGF 沿x轴方向动量方程为因代入上式可解出沿z轴动量方程由上式可解出 液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。2R111sinsinzFQp AGA弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的

13、作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置1122P1=p1A1P2=p2A2RGxzyV1V2RzFx沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)xp ARQV1111xRp AQV 沿沿z方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)zp AGRQV2222zRp AGQV 沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)xp ARQV1111xRp AQV 沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)yRp AQV2222yRp AQV P1=p1A1P2=p2A2RV1V2RyRxxy)m(181OH2gp)m(7 .172O

14、H2gp弯管水平转过弯管水平转过60度度d = 500mmQ = 1m3/s已知已知RxP1P2RyRv2oyx112260o水流对弯管的水流对弯管的作用力作用力R求求 水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力v1例例 1RxP1P2RyRv2oyx112260oxxxRPcosP)vv(Q201112260 yyyRsinP)vv(Q01112260 22yxRRRxyRR),tan( xR241dAAQvv2101160cosvvx01160sinvvyApP11ApP2202yv22vvx代入解得代入解得xRyRR为为R的反作用力的反作用力v10112. 上下游断面取上下游断面取在渐变流段上

15、。在渐变流段上。 动量方程是矢量式，式中动量方程是矢量式，式中作用力、流速都是矢量。作用力、流速都是矢量。动量动量方程式中流出的动量为正，流方程式中流出的动量为正，流入为负。入为负。 分析问题时，首先要标清流速和作用力分析问题时，首先要标清流速和作用力的具体方向，然后选取合适的坐标轴，将各的具体方向，然后选取合适的坐标轴，将各矢量向坐标轴投影，把动量方程写成分量形矢量向坐标轴投影，把动量方程写成分量形式求解。在这个过程中，要注意各投影分量式求解。在这个过程中，要注意各投影分量的正负号。的正负号。本例要点本例要点312 本例中流体水平转本例中流体水平转弯，铅垂方向无动量变弯，铅垂方向无动量变化，

16、重力不出现。化，重力不出现。 对于未知的边界作用力可先对于未知的边界作用力可先假定一个方向，如解出结果为正假定一个方向，如解出结果为正值，说明原假设方向正确；如解值，说明原假设方向正确；如解出结果为负值，则作用力方向与出结果为负值，则作用力方向与原假设方向相反。原假设方向相反。 方程中应包括作用于控制方程中应包括作用于控制体内流体的一切外力：两断面体内流体的一切外力：两断面上的压力、重力、四周边界对上的压力、重力、四周边界对水流的作用力。不能将任何一水流的作用力。不能将任何一个外力遗漏。个外力遗漏。 动量方程中出动量方程中出现的是弯管对水流现的是弯管对水流的作用力，水流对的作用力，水流对弯管的

17、作用力是其弯管的作用力是其反作用力。反作用力。54567 例3 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为90o,起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差 为2m，已知1-1断面中心处动水压强 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量 为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。z1pQw2221202hggpggpz2p解：（1）求管中流速（2）求2-2断面中心处动水压强以2-2断面为基准面，对1-1与2-2断面写能量方程为 220.060.061.91m /s3.140.244QvAd将hw=0.

18、1 m， =117.6 kPa代入上式可求出：1p于是2117.69.8(20.1)136.2kN/m9.8w12hgpzgp)(w12hgpzgp（3）求弯头内水重（4）计算作用于1-1断面与2-2断面上动水总压力 令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力为 及 zFRxFR1222P122P23.14(0.2)11.763.7 kN443.14(0.2)13.624.28kN44dFpdFpkN9804(0.2dLggVG1PR(0)xQFF（5）对弯头内水流沿x、z方向分别写动量方程式沿x方向动量方程：沿z方向动量方程：2PP(0)zQFGFzFRkN815

19、391106011731PR.QvFFxP4.280.98110.061.913.415kNzFGQ RRtan0.895zxFFo41 48管壁对水流的总作用力令反作用力FR与水平轴x的夹角为 ，则水流对管壁的作用力与FR大小相等，方向相反。kN.FFFRzRxR125415381532222 水流对直立弯头的作用力水流对直立弯头的作用力r = z , , p1 ， hw1-2 ，d，Q 水流对直立弯头水流对直立弯头的作用力的作用力xoz1122v2v1p1p2rz例例已知已知求求xoz1122v2v1p1p2rz212222211122whgvgpgvgpz2214dQvvxRdpvQ42

20、111 连续方程连续方程能量方程能量方程动量方程动量方程24422222rdgRdpvQz 重力对水流动量变化有贡献。重力对水流动量变化有贡献。 1，2两断面之间有水头损失，并两断面之间有水头损失，并不影响动量方程的应用。这正是动量不影响动量方程的应用。这正是动量方程的优势。方程的优势。12本例要点本例要点应用实例（2） 水流对溢流坝面的水平总作用力 液体流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方法来确定坝面上的动水总压力。 取如图所示控制体，并把1-1和2-2断面取在符合渐变流条件位置。目的是使两断面的p动=p静。 作用在控制

21、体积上的外力在x轴方向上的投影，包括1-1断面上的动水压力FP12-2断面上的动水压力FP2坝体对水流的反作用力FPx液体的重力在x方向投影为0，动量在x方向有变化21P21gbhF2t2P21gbhFxxxFhhgbFFFFR2t2R2P1P21)(2 21 1()xxxQ F11xQbh2ttxQbh21222Rt2t1211()2xQFb ghghbhh因沿x轴方向动量方程式为 因令可解出应用实例（应用实例（3）：）：水流对水工建筑物（平板闸门）水流对水工建筑物（平板闸门）的作用力的作用力RP1122xP1=bh12/2P2= bh22/2R沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：

22、12221 1()PPRQVV12221 12212212221221()11()221111()22RPPQVVQQbhbhQAAQbhbhbhh 水流对矩形平板闸门的推力水流对矩形平板闸门的推力例例 2 闸门宽闸门宽 B=6m，闸前水深闸前水深 H = 5m，闸闸后收缩断面水深后收缩断面水深 hc = 1m，Q = 30m3/s已知已知 水流对矩水流对矩形 平 板 闸形 平 板 闸门的推力门的推力R求求本例不计本例不计水底摩擦水底摩擦oHccohcP0PcRxzoBHQv 0ccBhQv 010.c BHgP2021BhgPcc221代入代入 解得解得R , R为为R的反作用力的反作用力o

23、HccohcP0PcRxzo 为什么取闸后收缩断为什么取闸后收缩断面为下游断面？面为下游断面？ 若本例计水底摩擦，若本例计水底摩擦，所得结果还是闸门推力所得结果还是闸门推力吗？吗？ 重力对水流动量重力对水流动量变化无贡献。变化无贡献。 渐变流断面上压强渐变流断面上压强为静压分布，平均压为静压分布，平均压强为断面形心处的压强为断面形心处的压强，应按此规律计算强，应按此规律计算断面压力合力断面压力合力。本例要点本例要点 与大气相通的自由与大气相通的自由液面上压强为零。液面上压强为零。3问题问题12 设从喷嘴中喷出的水流，以 速度射向一与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面壁阻挡以后，对称地分开。

24、沿壁面的流速为v，若考虑的流动在一个水平面上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。00R(0)0Q FR00F Q应用实例（4） 射流对垂直固定平面壁的冲击力故故0v射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：00(0)RFQV00RFQV 整理得：整理得：例例4 4：设有一股自喷嘴以速度：设有一股自喷嘴以速度v v0 0喷射出来的水流，冲击在喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成一个与水流方向成角的固定平面壁上，当水流冲击到平角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动面壁

25、后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力力，试推求射流施加于平面壁上的压力F FP P，并求出，并求出Q Q1 1和和Q Q2 2各为多少？各为多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：0000(sin)sinRFQVQV 对对0-0、1-1断面列能量方程为：断面列能量方程为：22010000022VVgg可得：可得：01VV同理有：同理有：02VV依据连续性方程有：依据

26、连续性方程有：12QQQFP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿x方向列动量方程方向列动量方程为：为：1 12200cosQVQ VQV整理得：整理得：12cosQQQ所以：所以：11 cos2QQ21 cos2QQ 理想不可压缩流体密度理想不可压缩流体密度 ，进口断面进口断面积积 A，出口断面积出口断面积 A/4，进出口上参数均进出口上参数均匀，进口压强匀，进口压强 p1 ，出口压强为零。出口压强为零。已知已知 通过总管通过总管的流量；流的流量；流体对分岔管体对分岔管作用力作用力 R求求112233 p1v1v2v3xyo 应用实例（应用实例（5）

27、：）：流体对水平分岔管的作用力流体对水平分岔管的作用力例例 5112233 p1v1v2v3xyo连续方程连续方程能量方程能量方程 求解须要通过求解须要通过三大方程的联用。三大方程的联用。112233 p1v1v2v3动量方程动量方程xRApvQ)cosvv(Q11133222 yRsinvQ 332xyo)cos321(1ApRx01132. sin321ApRyR为为R的反作用力的反作用力本例本例要点要点 管壁摩擦阻力管壁摩擦阻力例例 6rr0oUxlu已知已知证明证明)()(220rrCrup0，pl 均匀均匀)31(2020UpprDl管壁摩擦阻力管壁摩擦阻力应用实例（应用实例（6）：

28、）：管壁对水流的摩擦阻力管壁对水流的摩擦阻力连续方程连续方程动量方程动量方程DrpprUrulr20020202)(dr20rr0oUxlu 若断面速度分布给出，应精确计算断面若断面速度分布给出，应精确计算断面动量通量。也就是说，断面动量修正系数动量通量。也就是说，断面动量修正系数由计算获得。本例下游断面的动量修正系由计算获得。本例下游断面的动量修正系数为数为4/3，前面我们提到在一般的渐变流，前面我们提到在一般的渐变流中动量修正系数的值为中动量修正系数的值为 1.02-1.05，对此应，对此应如何解释？如何解释？ 根据断面旋转抛物面速度分布的最大速根据断面旋转抛物面速度分布的最大速度等于平均

29、速度的两倍，即知度等于平均速度的两倍，即知本例注解本例注解UCr220本例要点本例要点流体对平板的斜冲击流体对平板的斜冲击b0v0 二元流束，理想流体，忽二元流束，理想流体，忽略重力，已知略重力，已知 v0 ，b0， . 求流束对单位宽度平板的求流束对单位宽度平板的冲击力。冲击力。本题要点本题要点v 理解二元流束含义。理解二元流束含义。v 选好坐标系。选好坐标系。v 注意上下流股厚度不同。注意上下流股厚度不同。练习题练习题 什么是系统和控制体？按照拉格朗日观点对系统应如什么是系统和控制体？按照拉格朗日观点对系统应如何表述动量守恒定律？与欧拉观点对控制体表述相比何表述动量守恒定律？与欧拉观点对控

30、制体表述相比哪个更简明？为什么人们常用欧拉观点表述和处理流哪个更简明？为什么人们常用欧拉观点表述和处理流体力学问题？体力学问题？关于动量方程的思考问题关于动量方程的思考问题3 恒定条件下建立的动量方程给我们带来了什么便利？恒定条件下建立的动量方程给我们带来了什么便利？为什么？为什么？ 恒定总流的动量方程能告诉我们边界和流体之间作用恒定总流的动量方程能告诉我们边界和流体之间作用力的分布情况吗？力的分布情况吗？123 恒定总流的动量方程能告诉我们边界和流体之间作用恒定总流的动量方程能告诉我们边界和流体之间作用力的作用点吗？若想知道该怎么办？力的作用点吗？若想知道该怎么办？ 恒定总流的动量方程对流体

31、是理想流体，还是粘性流恒定总流的动量方程对流体是理想流体，还是粘性流体有什么限制吗？体有什么限制吗？56 应用恒定总流的动量方程时，计算过流断面压力合力应用恒定总流的动量方程时，计算过流断面压力合力应该用相对压强积分，还是用绝对压强积分？为什应该用相对压强积分，还是用绝对压强积分？为什么？么？4关于动量方程的思考问题关于动量方程的思考问题三大三大守恒定律守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程恒定总流三大方程课程重点3.8 求解恒定总流问题的几点说明112233 p1v1v2v3xyo 恒定总流的三大方程，在实际计算时，有一个联用恒定总流的三大方程，在实际计算时

32、，有一个联用的问题，应根据情况灵活运用。的问题，应根据情况灵活运用。 在有流量汇在有流量汇入或分出的情入或分出的情况下，要按照况下，要按照三大方程的物三大方程的物理意义正确写理意义正确写出它们的具体出它们的具体形式。形式。p2p3112233 p1v1v2v3xyop2p3 连续方程：连续方程：332211AvAvAv 动量方程（以动量方程（以 x 方向为例）：方向为例）：xxxxxxxxRPPPG)v(Av)v(Av)v(Av321101113033320222 112233 p1v1v2v3xyop2p3 能量方程：能量方程：21222222111122whgvgpzgvgpz312333

33、32111122whgvgpzgvgpz 表达能量表达能量方程时要注方程时要注意，不要将意，不要将单位重量流单位重量流体能量（水体能量（水头）误认为头）误认为能量流量。能量流量。 总能量平衡总能量平衡)2()2()2(3123333321222222211111wwhgvgpzgQhgvgpzgQgvgpzgQ 本章对总流所加的恒定条件是非本章对总流所加的恒定条件是非常重要的，有了这个限定，系统质常重要的，有了这个限定，系统质量、动量和能量的守恒才与控制体量、动量和能量的守恒才与控制体内的流动情况无关，完全可以在边内的流动情况无关，完全可以在边界上表达。否则三大方程不会给我界上表达。否则三大方

34、程不会给我们带来如此大的便利。们带来如此大的便利。 流量、动量和流量、动量和能量分配相互耦能量分配相互耦合。关键在于确合。关键在于确定水头损失。定水头损失。问题的实问题的实质和关键质和关键本章小结一一运动理想流体的应力只有压应力，而无切应力。压应力的运动理想流体的应力只有压应力，而无切应力。压应力的大小与作用面方位无关，称为动压强。大小与作用面方位无关，称为动压强。二二运动粘性流体的应力既有压应力，又有切应力。过同一点运动粘性流体的应力既有压应力，又有切应力。过同一点三个互相正交的作用面上的压应力之和是不随作用面的方三个互相正交的作用面上的压应力之和是不随作用面的方位而改变的，定义它们的平均值

35、为流体的动压强。位而改变的，定义它们的平均值为流体的动压强。三三伯努利方程即适用于总流、也适用于元流，称为理想流体伯努利方程即适用于总流、也适用于元流，称为理想流体恒定总（元）流能量方程，它体现了机械能沿程守恒。恒定总（元）流能量方程，它体现了机械能沿程守恒。 四四. 理想流体理想流体恒定总流能量方程的实质也是机械能沿程守恒，恒定总流能量方程的实质也是机械能沿程守恒，与元流能量方程不同之处在于要将在过流断面上分布不均与元流能量方程不同之处在于要将在过流断面上分布不均匀的单位重量流体总能量（水头）的积分用断面流动要素匀的单位重量流体总能量（水头）的积分用断面流动要素表示。在渐变流断面上，容易实现

36、这样的一元化表达，其表示。在渐变流断面上，容易实现这样的一元化表达，其中测压管水头本身就是均匀的，而断面速度水头的平均值中测压管水头本身就是均匀的，而断面速度水头的平均值可以用平均流速对应的速度水头乘上动能修正系数表示。可以用平均流速对应的速度水头乘上动能修正系数表示。五五. 采取补上流体在流动过程中机械能损耗（每单位重量流体采取补上流体在流动过程中机械能损耗（每单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失）的方法，将理想流体的所损耗的机械能，称为水头损失）的方法，将理想流体的能量方程推广到实际流体。能量方程推广到实际流体。六六. 水头线将恒定总流能量方程的各项水头几何表示出来，使水头线将恒定总流

37、能量方程的各项水头几何表示出来，使沿程能量的转换和变化情况更直观、更形象。沿程能量的转换和变化情况更直观、更形象。七七. 恒定总流动量方程恒定总流动量方程建立了通过总流管两断面净流出的动量建立了通过总流管两断面净流出的动量流量与这段总流管内流体所受外力之间的关系，方程中断流量与这段总流管内流体所受外力之间的关系，方程中断面动量流量的表达也作了一元化处理，涉及到动量修正系面动量流量的表达也作了一元化处理，涉及到动量修正系数。总流动量方程是矢量方程。数。总流动量方程是矢量方程。八八. 恒定总流连续方程、能量方程和动量方程统称恒定总流三恒定总流连续方程、能量方程和动量方程统称恒定总流三大方程，是课程

38、重点内容。在实际计算时，三大方程有一大方程，是课程重点内容。在实际计算时，三大方程有一个联用的问题，应根据情况灵活掌握。个联用的问题，应根据情况灵活掌握。3.9 3.9 量纲分析与量纲分析与定理定理 解决水力学问题时仅靠三大基本方程是远远不够的，还需要借助其他科学试验的手段。在研究某些水流运动规律过程中量纲分析量纲分析常常可给予很大的帮助。什么是量纲呢？什么是量纲呢？每个物理量都包括有量的数值及量的种类量的种类。量的种类量的种类即称为量纲量纲。同一种类的物理量可有不同的单位，单位不同，量的数值也不同。（1）量纲）量纲 是表征各种物理量性质和类别，是表征各种物理量性质和类别，是指是指物物理量所属

39、的种类。（质的表征）理量所属的种类。（质的表征）（2）单位）单位 是人为规定的量度标准，量度各种物理是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。（量的表征）量数值大小的标准量。（量的表征）（1）量纲与单位）量纲与单位物理量物理量量纲（属性）量纲（属性）单位（量度标准）单位（量度标准）3.9.1 量纲分析的基本概念（dimension）一、基本单位一、基本单位（2）量纲的分类：）量纲的分类：（1）基本量纲（独立量纲）基本量纲（独立量纲）不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。（2）导出量纲（非独立量纲）导出量纲（非独立量纲）可由基本量纲导出的量纲。可

40、由基本量纲导出的量纲。 如：如： 速度量纲：速度量纲： L T 1 ； 流量量纲：流量量纲： L3 T 1 。如：如：时间量纲：时间量纲： T长度量纲：长度量纲： L质量量纲：质量量纲： M温度量纲：温度量纲： 物理量的量纲又可分为基本量纲和诱导量纲基本量纲和诱导量纲两类。长度L、时间T、质量M这三个量纲属于基本量纲基本量纲，流速的量纲 属于诱导量纲诱导量纲。1LT对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度 dimv=LT-1； 加速度 dima=LT-2力 dimF=MLT-2； 动力粘度 dim=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量

41、纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。（3）导出量纲公式：）导出量纲公式：dimq=M a L b Tc 1 当当 a = 0， b 0， c = 0 时：时： 为几何学量纲。为几何学量纲。2 当当 a = 0， b 0， c 0 时：时： 为运动学量纲。为运动学量纲。3 当当 a 0， b 0， c 0 时：时：为动力学量纲。为动力学量纲。（4）无量纲量（纯数、无因次量）：）无量纲量（纯数、无因次量）：（1 1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0a=b=c=0时时, ,则则dimqdimq=1=1 ，这个物理量即无量纲量。，

42、这个物理量即无量纲量。 可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到； 也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。量的量纲指数为零得到。（2）特点：）特点：2 其大小与所选单位无关，其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制。不受运动规模的限制。3 除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。指数、三角函数等超越函数运算。1 客观性。客观性。物理方程中各项物理量的量纲之间存在着下列规律性：1物理方程中各项的量纲应当相同。称为量纲量纲和谐性

43、（或齐次性）和谐性（或齐次性）。2任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性。其各项均为长度的量纲同除以H不改变其规律2211 122212w22pvpvzzhgggg二、量纲和谐原理二、量纲和谐原理 （3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。（2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；（1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关；）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关； 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲

44、必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。成立。量纲和谐原理量纲和谐原理是量纲分析的基础。是量纲分析的基础。2、量纲的主要特性：、量纲的主要特性：1、定义、定义3、量纲分析的具体应用：、量纲分析的具体应用：（1）量纲分析法）量纲分析法即应用即应用量纲和谐原理量纲和谐原理，来推求各物理量，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。之间的函数关系的方法。 （2）应用：）应用：1 检查所建立的物理方程是否正确；检查所建立的物理方程是否正确；2 可用于同一量纲的单位换算；可用于同一量纲的单位换算； 3 确定各物理量之间的合理形式；确定各物理量之间的合

45、理形式；4 设计系统实验及分析实验结果。设计系统实验及分析实验结果。在量纲和谐原理的基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利法瑞利法，适用于比较简单的问题；另一种是 定理定理，是一种具有普遍性的方法。 其中：其中：定理又称布金汉定理又称布金汉定理定理(Buckingham Pi Theorem). 。瑞利瑞利 Lord Rayleigh （1842-1919），英国科学家），英国科学家1904年第四届诺贝尔物理学奖得主年第四届诺贝尔物理学奖得主美国物理学家布金汉（美国物理学家布金汉（Edgar Buckingham）1915 提出提出三、量纲分析法三、量纲分析法1、瑞利法：、瑞利法：（1）

46、特点：）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；（2）适用范围：）适用范围： 方程中物理量较少（一般方程中物理量较少（一般45个），各量纲个），各量纲间的关系较易确定。间的关系较易确定。（3）基本原理和步骤：）基本原理和步骤： 对于某一物理过程，通过观察、实验、分析，对于某一物理过程，通过观察、实验、分析， 从而找出影响该物理量的主要因素：从而找出影响该物理量的主要因素： y, x1 , x2 , x3 , xn写成指数形式：写成指数形式：y = f (x1 , x2 , x3 , xn ) 表示。表示。可用函数式：可用函数式：量纲表示式：量纲表示式：n

47、nnncbacbacbacbaMTLMTLMTLMTL22221111 据量纲和谐原理据量纲和谐原理有有:L:1a12a2nan+a =T:1b12b2nbn+b =M:1c12c2ncn+c =123n.，解出：解出：)dim(dimnnxxxy 21211 其指数关系式：其指数关系式：321HQkN （4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度重度 ， 流量流量Q，扬程，扬程 H 。求水泵输入功率。求水泵输入功率N 的表达式。的表达式。M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L32 量纲表达式：量纲表达式：3 据量纲

48、的和谐原理有：据量纲的和谐原理有：M：1 =+ 0 + 0 1L：212 = 2+ 3+3T：213 = 2+ 03=12=11=1M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L3故得：故得： N = k Q H2、定理（布金汉定理）定理（布金汉定理）是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对 较多的情况。较多的情况。（1）基本原理：）基本原理：设某一物理过程包含设某一物理过程包含 n个物理量：个物理量： f (x1，x2，xn) =0，其中有其中有 m 个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由量），则该物理过程可由n个物理量构成的个物理量构成的 (n- m)个个 无量纲无量纲项来描述。项来描述。F（1，1，n-m）= 0 即：即：因是用因是用来表示无量纲量，故称来表示无量纲量，故称定理。可由数学方法证明，这里从略。定理。可由数学方法证明，这里从略。 m个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来判断，若其判断，若其0，则独立。，则独立。（2）m 个相互独立量纲的物理量选择：个相互独立量纲的物理量选择： 一般可选一般可选