李贤平-概率论基础-Chap5

1、第五章第五章 极限定理极限定理第一节第一节 收敛性收敛性第二节第二节 大数定律大数定律第三节第三节 中心极限定理中心极限定理5.1 收敛性收敛性一一 、分布函数弱收敛、分布函数弱收敛二、二、 连续性定理连续性定理 三、三、 随机变量的收敛性随机变量的收敛性例例1 1 令令0,1/( )1,1/nxnF xxn 这是一个退化分布，它可以解释为一个单位质量全部集中这是一个退化分布，它可以解释为一个单位质量全部集中在在 的分布。的分布。 1/xn 当当 时，我们自然认为时，我们自然认为 应该收敛于一个单位应该收敛于一个单位质量全部集中在质量全部集中在 这一点的分布，即这一点的分布，即n ( )nF

2、x0 x 0,0( )1,0 xF xx(0)1nF但是，但是， ，而，而 , ,显然，显然， . .(0)0Flim(0)(0)nnFF 因此，看来要求分布函数列在所有的点都收敛到极限分因此，看来要求分布函数列在所有的点都收敛到极限分布函数是太严了。布函数是太严了。一、分布函数弱收敛一、分布函数弱收敛定义定义 对于分布函数列对于分布函数列 , ,如果存在一个非降函数如果存在一个非降函数 使使( )nF x( )F xlim( )( )nnF xF x在在 的每一连续点上都成立，则称的每一连续点上都成立，则称 弱收敛弱收敛于于( )F x( )F x( )nF x并记为并记为( )( ).Wn

3、F xF x 这样得到的极限函数是一个有界的非降函数，我们也这样得到的极限函数是一个有界的非降函数，我们也可以选得它是左连续的可以选得它是左连续的, ,但下例说明它不一定是一个分布但下例说明它不一定是一个分布函数函数. . 上例中不收敛的点是极限分布函数上例中不收敛的点是极限分布函数F(x)的不连续点，的不连续点，于是我们提出如下定义。于是我们提出如下定义。0,( ),1,nxnF xxn例例2 2 取取显然显然, , 对一切对一切 x 成立。成立。lim( )0nnF x( )0F x 但但 不是分布函数。不是分布函数。分布函数列的弱收敛极限不一定是分布函数分布函数列的弱收敛极限不一定是分布

4、函数. . 当然，当当然，当F(x) 是一个分布函数时是一个分布函数时,分布函数的左连续分布函数的左连续性保证了性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是唯一的唯一的.引理引理. . 设设 是实变量是实变量x 的非降函数序列，的非降函数序列，D是是R上的上的稠密集稠密集. 若对于若对于D中的所有点中的所有点, 序列序列 收敛于收敛于F(x), ( )nF x则对则对F(x)的的一切连续点一切连续点 x 有有lim( )( ).nnF xF x 以下我们

5、研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。( )nF x下面是海莱下面是海莱( (HellyHelly) )得到的两个重要定理。得到的两个重要定理。定理定理 5.2.1 （海莱第一定理）（海莱第一定理） ( )nF x( )F x任一任一一致有界的非降函数列一致有界的非降函数列 中必有一子序列中必有一子序列弱收敛弱收敛于某一于某一有界的非降函数有界的非降函数 . .( )knFx注：注：证明用证明用对角线法对角线法。定理定理 5.2.2 （海莱第二定理）（海莱第二定

6、理） 设设f(x)是是a,b上的上的连续函数连续函数，又，又 是在是在a,b上弱收上弱收 敛于函数敛于函数F(x)的的一致有界非降函数序列一致有界非降函数序列，且，且a 和和b是是F(x)的连续点，则的连续点，则( )nF xlim( )d( )( )d ( )bbnaanf xF xf xF x设设 在在 上上有界连续有界连续，又，又 是是 上上弱弱收敛收敛于函数于函数 的的一致有界非降函数序列一致有界非降函数序列，且，且( )f x(,) (,) ( )nF x( )F xlim()(), lim()()nnnnFFFF 则则lim( )d( )( )d ( )nnf xF xf xF x

7、定理定理 5.2.3 （推广的海莱第二定理）（推广的海莱第二定理） 下面我们将导出一个下面我们将导出一个分布函数列弱收敛到一个极限分布函数列弱收敛到一个极限分布的充要条件分布的充要条件。这个结果同时说明了。这个结果同时说明了存在于分布函存在于分布函数和特征函数之间的对应是连续的数和特征函数之间的对应是连续的，这个性质对于特，这个性质对于特征函数成为研究极限定理的主要工具有基本的重要性。征函数成为研究极限定理的主要工具有基本的重要性。二、连续性定理二、连续性定理(Levy-Cramer)(Levy-Cramer)定理定理5.2.45.2.4（正极限定理）（正极限定理）设设分布函数列分布函数列 弱

8、收敛于某一分布函数弱收敛于某一分布函数F(x)，则相，则相应的特征函数列应的特征函数列 收敛于特征函数收敛于特征函数 f(t)，且在，且在t 的任的任一有限区间内收敛是一致的。一有限区间内收敛是一致的。( )nF x( )nf t定理定理2 2（逆极限定理）（逆极限定理）设特征函数列设特征函数列 收敛于某一函数收敛于某一函数f(t) ，且，且f(t)在在 t = 0连连续，则相应的分布函数列续，则相应的分布函数列 弱收敛于某一分布函数弱收敛于某一分布函数 F(x) ，而，而f(t)是是F(x)的特征函数。的特征函数。( )nf t( )nF x连续性定理连续性定理 (Levy-Cramer)(

9、Levy-Cramer)分布函数列分布函数列 Fn(x) 弱收敛到某一个分布函数弱收敛到某一个分布函数 F (x) ，当且，当且仅当仅当Fn(x) 对应的特征函数列对应的特征函数列 fn(t) 在任意有限区间内一在任意有限区间内一致收敛到某个函数致收敛到某个函数 f (t)。通常把正逆极限定理合称为连续性定理。通常把正逆极限定理合称为连续性定理。三、随机变量的收敛性三、随机变量的收敛性定义定义1.(1.(依分布收敛依分布收敛) )( )( )dn 设随机变量设随机变量 的分布函数分别为的分布函数分别为 及及 如果如果( ), ( )n ( )nF x( )F x( )( )WnF xF x (

10、 )n ( ) 则称则称 依分布收敛于依分布收敛于 ，记为，记为( )( )Ln 或或定义定义2 2 ( (依概率收敛依概率收敛) )lim |( )( )|0nnP 如果对任意如果对任意 ，有下式成立：，有下式成立：0则称则称 依概率收敛于依概率收敛于 ，并记为，并记为( )n ( ) ( )( )Pn lim|0rnnE设对随机变量设对随机变量 及及 有有 ，n|,|rrnEE 其中其中 为常数，如果为常数，如果0r 则称则称 n r 阶（矩）收敛阶（矩）收敛于于 ，并记为，并记为rn 定义定义3 (r3 (r阶矩收敛阶矩收敛) ) 在在r阶收敛中，最重要的是阶收敛中，最重要的是r=2的情

11、况，称为的情况，称为均方收敛均方收敛。lim( )( ) 1nnP 如果如果. .( )( ).a sn 则称则称 以概率以概率1收敛收敛于于 ，又称，又称 几乎处处几乎处处收敛收敛于于 ，记为，记为 ( ) ( )n ( ) ( )n 定义定义4 (4 (几乎处处收敛几乎处处收敛) )()()()().PLnn 定理定理1 1证明证明: :因为，对因为，对 , , 有有xx, ,nnxxxxx ,nnxxx所以，我们有所以，我们有( )( ),nnF xF xPxx因为因为 依概率收敛于依概率收敛于 ，则，则 n,|0nnPxxPxx因而有因而有( )lim( )nnF xF x ( )li

12、m( )nnF xF x同理，对同理，对 ,xx lim( )()nnF xF x所以对所以对 ，有，有xxx( )lim( )lim( )()nnnxF xF xF xF x如果如果 是是 的连续点，则令的连续点，则令 趋于趋于 可得可得x( )F xx,x x定理证毕。定理证毕。, ,nnxxxxx, nnxxx类似可得类似可得: : (2)例例3 若样本空间若样本空间 ，定义，定义12121, ()()2PP 随机变量随机变量 如下：如下： 则则 的分的分布列为布列为( ) 12()1, ()1, ( ) 111/ 21/ 2( )( )Ln 若对一切若对一切 , ,令令 , ,显然显然

13、 的分布列也是的分布列也是 ，因此，因此 。n( )( )n ( )n (2)但是但是, , 对任意的对任意的 ，因，因02|( )( )|( )1nPP 因此，因此， 不依概率收敛于不依概率收敛于 。( )n ( ) 定理定理1 1逆命题不成立逆命题不成立. .但是在特殊场合却有下面的结果。但是在特殊场合却有下面的结果。定理定理2 2 设设 是常数，则是常数，则 C( )( ).PLnnCC 证明：证明：由前面的定理可知只须证明由依分布收敛于常由前面的定理可知只须证明由依分布收敛于常数可推出依概率收敛于常数。事实上，对任意数可推出依概率收敛于常数。事实上，对任意 0,0,|nnnPCPCPC

14、1()()1()()1 1 00.nnnF CF CF CF C |rnnrEPr 阶收敛与依概率收敛的关系阶收敛与依概率收敛的关系。定理定理3 3.rPnn 证明证明: :先证对于任意先证对于任意 ，成立，成立0 这个不等式是这个不等式是Chebyshev不等式的推广，称作不等式的推广，称作Markov不等式不等式。|rrECPC 事实上事实上, ,若以若以 记记 的分布函数，则有的分布函数，则有( )F xn| | |d( )d( )rnrxxxPF xF xrr| |1| d ( )rrnxExF x 定理定理3逆命题不成立逆命题不成立. 下例说明：由依概率收敛或几乎下例说明：由依概率收

15、敛或几乎处处收敛不能推出以处处收敛不能推出以r阶收敛。阶收敛。0n 显然对一切显然对一切 ，又对于任意的，又对于任意的,( )( )n 0,1|( )( )|:01/ nPPnn 因此因此( )( ).Pn 但是但是1/1|( )( )|()1.rrrnEnn 1/,01/( )0,1/1rnnnn 例例4 4 取取=(0,1 , F 为为(0,1 中博雷尔点集全体所构成的中博雷尔点集全体所构成的 域域, P为勒贝格测度为勒贝格测度。定义。定义 及及( )0 证明证明: : 见（见（p329334p329334，第，第4 4节节“强大数定律强大数定律”）.( )( )( )( ).a sPnn

16、 定理定理4 4下例说明：下例说明：由依概率收敛或矩收敛不能推出几乎处处收敛由依概率收敛或矩收敛不能推出几乎处处收敛. .反例反例: : 依概率收敛不能导致几乎处处收敛依概率收敛不能导致几乎处处收敛l kN，把，把 (0,1 k 等分，定义等分，定义 k 个随机变量：个随机变量：11,( ),1,2, .0,otherwisekiiiikkk10,(|( )|),1,2, .(*)kiPikk取取 P 为勒贝格测度，则为勒贝格测度，则将将依次记为依次记为 如图如图: :11 21 22 31 32 33 1 ki ,n 2 3 4 5 6 即即.2)1(, )()( kkinkin . 0)|

17、 )(|lim)| )(|lim kiknnPP由（由（*）式，）式，,0 从而从而，.0)(Pn 同时，同时，, 1 ,0( , 1 ki 总有无数个总有无数个所以所以n 处处不收敛处处不收敛.以及无数个以及无数个,0 ki 可见，可见，矩收敛也不能蕴涵几乎处处收敛矩收敛也不能蕴涵几乎处处收敛.u上述上述满足满足,n 1|0,rrnkiEEas nk .0)(rn 即即小结：小结：r.v.的收敛性的收敛性一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景事件发生的频率稳定于某一常数大量随机试验中测量值的算术平均值具有稳定性大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率生产过程生产过程中的废品率中

18、的废品率文章中字文章中字母使用频率母使用频率 5.2 大数定律大数定律 (The law of large numbers)二、二、BernoulliBernoulli大数定律大数定律: : 概率的频率定义的理论基础概率的频率定义的理论基础定理定理( (伯努利大数定律伯努利大数定律) ) 设设n 是是 n 重重Bernoulli试试验中事件验中事件A发生的次数，发生的次数，p 是事件是事件A发生的概率，发生的概率，则对任给的则对任给的 0 ，1|lim pnPnn或或0|lim pnPnnBernoulli定理定理 ( (切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律) ) 设设 是是两两不相关的随机变量序

19、列，它们都有有限的方两两不相关的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即差，并且方差有共同的上界，即 D( i ) C，i = 1,2, ，则对任意的则对任意的 ，皆有，皆有切比雪夫12,n 01111lim1nnkknkkPEnn三、三、ChebyshevChebyshev大数定律大数定律: :1121111()( ),11()( )nniiiinniiiiEEnnCDDnnn因明：为证1221111Chebysherv1()110()11lim()0ninniiiiinniiniiDCnPEnnnPEnn由不等式，对于任意的正实数 有所以作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有

20、下面的推论作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的推论. .1|1|lim1 niinnP推论推论1 (独立同分布下的大数定律）独立同分布下的大数定律） 设设 1, 2, 是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且E i = , D i = , i =1,2, 则对任给则对任给 0,2 如果在一个如果在一个独立试验序列独立试验序列中，事件中，事件 在第在第 次试验中次试验中出现的概率等于出现的概率等于 ，以，以 记在前记在前n次试验中事件次试验中事件A 出出现的次数，则对任意现的次数，则对任意 ，都有，都有Akkpn012lim 1nnnpppPnn证明证明：定义定义 为第为

21、第k次试验中事件次试验中事件A出现的次数，则出现的次数，则k1,(1),4kkkkkEpDpp再利用再利用切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律立刻推出结论。立刻推出结论。推论推论2 (泊松泊松大数定律）大数定律）1=nnkk，明显，明显，当当 泊松大数定律泊松大数定律即为即为伯努利大数定律伯努利大数定律. .,kpp马尔可夫注意到在切比雪夫的论证中，只要马尔可夫注意到在切比雪夫的论证中，只要2110nkkDn则大数定律就能成立，通常称这个条件为则大数定律就能成立，通常称这个条件为马尔可马尔可夫条件夫条件，这样我们也就得到了下面的，这样我们也就得到了下面的马尔可夫大马尔可夫大数定律数定律。1111l

22、im 1nnkknkkPEnn则对任意的则对任意的 ，皆有，皆有0定理定理 ( (马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律) )2110nkkDn 切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出;更重要的是马尔可夫大数定律已经没有任何关于独立性更重要的是马尔可夫大数定律已经没有任何关于独立性的假定。的假定。对于随机变量列对于随机变量列 如果成立如果成立12,n Exp(1/)nnXX设是同分布于的随机变量序列且序列中每一项仅与相邻两项相关，而与其它项不相关。判定该随机变量序列是否服从大例 数定律？2112211112222221122221 Exp(1/)1,

23、2,()1,2,11()()2(,)1122(1)11()2(1)0nnnnniiiiiiinniinniiXnD XnDXD XCov XXnnnnnnDXnnnn解：由于，从而有于是有四、四、KhintchinKhintchin大数定律大数定律 我们前面已经通过切比雪夫不等式建立起多种大数我们前面已经通过切比雪夫不等式建立起多种大数定律，定律，在那里都假定了方差的存在性在那里都假定了方差的存在性，但是，但是在独立同分在独立同分布场合，并不需要有这个要求布场合，并不需要有这个要求，这就是有名的，这就是有名的辛钦大数辛钦大数定律定律告诉我们的。告诉我们的。12,n 定理定理 ( (辛钦大数定律

24、辛钦大数定律) ) 设设 是相互独立的随是相互独立的随机变量序列机变量序列, ,它们服从相同的分布它们服从相同的分布, ,且具有有限的数学期望且具有有限的数学期望 ，则对任意的，则对任意的 ，有，有naE011lim1.niniPan即即.11anniPi 证明证明：由于：由于 具有相同分布，故有相同的特具有相同分布，故有相同的特征函数，设为征函数，设为 f (t) ，因为数学期望存在，故，因为数学期望存在，故 f (t) 可展开成：可展开成：12,n ( )(0)(0)( )1( )f tffto tiato t 而而 的特征函数为的特征函数为11niin( )1( )nntttfiaonn

25、n对于固定的对于固定的 t, ( )()niattfenn 极限函数极限函数 是连续函数，它是退化分布是连续函数，它是退化分布 所对应的特所对应的特征函数。由逆极限定理，有征函数。由逆极限定理，有iate( )aIx最后最后由依分布收敛和依概率收敛的关系定理知由依分布收敛和依概率收敛的关系定理知： 依概率收敛于常数依概率收敛于常数 a , 从而证明了定理。从而证明了定理。11niin11.nLiian 利用对随机变量利用对随机变量“截尾截尾”的技巧，的技巧，Kolmogrov 在在Khintchine 大数定律的条件下，把结论加强为强收敛；大数定律的条件下，把结论加强为强收敛；即独立同分布时只

26、要期望存在，序列即独立同分布时只要期望存在，序列部分和的算术平均部分和的算术平均几乎处处收敛。几乎处处收敛。12,n 定理定理 ( (Kolmogrov大数定律大数定律) ) 设设 是独立是独立同分布同分布(i.i.d)的随机变量序列的随机变量序列, , 则则当且仅当数学期望当且仅当数学期望 Ei 存在，且存在，且.iEa.11naskkan Khintchin大数定理大数定理 Bernoulli大数定理大数定理11()nniiXnnXE Xn充分大这一定理表明：同一量 在相同条件下观测 次，当观测次数 充分大时，“观测值的算术平均值接近期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：( )nA

27、nnAfP A充分大这一定理表明：在相同条件下重复同一随机试验次，当试验次数 充分大时，“事件 发生的频率接近其概率”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：寻找随机事件概率提供寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径了一条实际可行的途径为寻找随机变量的为寻找随机变量的期望值提供了一条期望值提供了一条实际可行的途径实际可行的途径小结：小结： 大数定律的意义大数定律的意义( )dbaJg xx五、大数定律的应用五、大数定律的应用例例1 (用蒙特卡洛方法计算定积分用蒙特卡洛方法计算定积分) 为计算积分为计算积分可以通过下面的概率方法实现。可以通过下面的概率方法实现。 任取一列相互独立的，都具有任取一

28、列相互独立的，都具有 中均匀分布的随机变量中均匀分布的随机变量 ， 则则 也是一列相互独立同分布的随机变量，而也是一列相互独立同分布的随机变量，而且且 , a b ()igi1()( )dbiaJEgg xxbaba既然既然()()iJbaEgJ因此只要能求得因此只要能求得 ，便能得到，便能得到 的数值。的数值。()iEg 为求为求 ，自然想到大数定律，因为，自然想到大数定律，因为()iEg12()()()()PnigggEgn 这样一来，只要能生成随机变量序列这样一来，只要能生成随机变量序列 就能对前面的就能对前面的积分进行数值计算。积分进行数值计算。 ()ig 而生成而生成 的关键是生成相

29、互独立同分布的的关键是生成相互独立同分布的 ，这，这里的里的 服从服从 上的均匀分布。上的均匀分布。 ()igii , a b()dKIg PP 这种通过概率论的想法构造模型从而实现数值计算的方法这种通过概率论的想法构造模型从而实现数值计算的方法，随着电子计算机的发展，已形成一种新的计算方法，随着电子计算机的发展，已形成一种新的计算方法-概概率计算方法，亦称率计算方法，亦称蒙特卡洛蒙特卡洛(Monte Carlo)方法方法。它在原子物。它在原子物理、公用事业理论中发挥了不少作用，这个方法的理论根据理、公用事业理论中发挥了不少作用，这个方法的理论根据之一就是大数定律。之一就是大数定律。至于计算积

30、分，蒙特卡洛方法的实用场合是计算重积分至于计算积分，蒙特卡洛方法的实用场合是计算重积分其中其中P是是 m维空间中的点。维空间中的点。 现在已经可以把上述想法变成现实。这就是在电子计算机现在已经可以把上述想法变成现实。这就是在电子计算机上产生服从均匀分布上产生服从均匀分布 的随机数的随机数 。 , a b i强大数律保证了这种算法失效的概率为强大数律保证了这种算法失效的概率为0. 一、中心极限定律的客观背景一、中心极限定律的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和合（或和) )影响所形影响所形成。例如：炮弹射成。例如：炮弹

31、射击的落点与目标的击的落点与目标的偏差，就受着许多偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布呢呢 ？5.3 中心极限定理中心极限定理(The central limit theory)定理定理 (Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理)122,:()()(1,2,)niiXXXE XD Xix 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有

32、数学期望和方差，则对于任意的实数 ，有2121lim2nxtiinXnPxedtn1,(0,1).niLiXnNn即 其中1(0,1)niaiXnNnn 定理表明：, 。1221,(,)nnaiinXXXXN nn这就是说：当 充分大时，只要独立同分布，无论他们服从什么分布，一定有即: 一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，其概率分布一定是近似正态分布。量，其概率分布一定是近似正态分布。21(,).naiiXN nn由正态分布的性质, 有 11( )(),( )()nnniiiinnnf tXnXnntf tfn设X的特征函数为，则由于则其

33、特征函数为证明：22222222(0)()0(0)0(0)(0)()(0)( )Taylor(0)( )(0)(0)( )1( )2!2nnfE XfiffD Xff tff tfftto tto t 又由于，知知而展开为所以所以, ,222/2112nntttftoennt2/ 2te由于由于 是连续函数，它对应的分布函数为是连续函数，它对应的分布函数为N(0,1)N(0,1)，因此由逆极限定理知因此由逆极限定理知lim( )nnPxx 证毕证毕. .用这个定理可推出用这个定理可推出棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理拉普拉斯积分极限定理。定理定理 (De Moivre-Laplace中心极限

34、定理中心极限定理)22( ,)1lim2xtnXB n pxXnpPxedtnpq设随机变量，则对于任意的实数 ，有1( ,)(1,)niiiXB n pXXXBpX因为，则有，其中，且相互独立, 即 为独立证明：和. 易知(,).aXN np npq在定理条件下，总有理解：()()E Xnp D Xnpq，22Lindeberg-Levy1lim2xtnXnpPxedtnpq由中心极限定理知 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理211,(,)nniiniiXnXN nnX近似对于独立同分布随机变量序列不管他们服从什么分布，只要存在有限数学期望和方差，当 充分大时，就有所以，的

35、有关概率问题可利用正态分布求解。 De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理( , )(,)nXB n pXN np npqn对于随机变量，总有，因此，当 充分大时，二项分布的概率问题可利用正态分布解决。小结：小结： 中心极限定理的意义中心极限定理的意义 LindebergLindeberg-Levy-Levy中心极限定理有着广泛应用。在实际中心极限定理有着广泛应用。在实际工作中，工作中，只要只要 n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量足够大，便可以把独立同分布的随机变量之和当作是正态变量之和当作是正态变量。此做法在数理统计中用得很普遍。此做法在数理统计中用得很普遍。例例 (

36、 (正态随机数的产生正态随机数的产生) )12n 设设 是相互独立、均服从是相互独立、均服从0,10,1均匀分布的均匀分布的随机变量，这时随机变量，这时LindebergLindeberg-Levy-Levy中心极限定理中心极限定理的条件得到的条件得到满足，故满足，故 渐进于正态变量。渐进于正态变量。12,n 一般一般n 取不太大的值取不太大的值就可满足实际要求就可满足实际要求, 在在蒙特卡洛方法中蒙特卡洛方法中, 一般一般取取 n=12.u 在二项分布计算中的应用在二项分布计算中的应用 由积分极限定理由积分极限定理, , 当当p不太接近于不太接近于0 0或或1,1,而而n又不太小时又不太小时

37、, ,对二项分布的近似计算有下面的公式：对二项分布的近似计算有下面的公式：21knpknpnpqnpq实际计算中，往往用下面的修正公式计算效果更好。实际计算中，往往用下面的修正公式计算效果更好。21120.50.5nknpknpP kknpqnpq1212nnnpknpknpP kkPnpqnpqnpq2000200(0.6) (0.4)0.999rkkPrk例例2 （用电问题）（用电问题） 某车间有某车间有200200台车床，它们独立地工作着，开工率各为台车床，它们独立地工作着，开工率各为 0.6 0.6 ，开工时耗电各为，开工时耗电各为1 1千瓦，问供电所至少要提供给这千瓦，问供电所至少要

38、提供给这个车间多少电力才能以个车间多少电力才能以99.9%99.9%的概率保证这个车间不会因的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？供电不足而影响生产？解解: 这是实验次数这是实验次数 的伯努利实验的伯努利实验, ,若把某台车床若把某台车床在工作看作成功在工作看作成功, ,则出现成功的概率为则出现成功的概率为0.6.0.6.200n 0.6p 记某时工作着的车床数为记某时工作着的车床数为 ，则，则 是随机变量，服从是随机变量，服从 的二项分布，问题是要求的二项分布，问题是要求 ，使，使r 我们可以利用中心极限定理来计算这个概率。我们可以利用中心极限定理来计算这个概率。2000200(0.6) (0.4)rkkk200 0.60.5200 0.60.5200