信号及系统第3章

1、第三章连续时间信号的频域分析第三章连续时间信号的频域分析第三章连续时间信号的频域分析3.1 信号的正交分解信号的正交分解3.2 周期信号的傅里叶级数分解周期信号的傅里叶级数分解3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.7 帕塞瓦尔定理与功率谱、能量谱帕塞瓦尔定理与功率谱、能量谱3.8 连续时间信号频域分析的连续时间信号频域分析的MATLAB实现实现第三章连续时间信号的频域分析由第二章的讨论可知, 连续信号可以分解为一系列冲激函数或阶跃函数的线性组合, 这种分解的方法不仅

2、是信号时域分析的基础, 同时也为求解连续信号通过系统的零状态响应带来了很大的方便。 信号分解的方法不是唯一的, 本章将介绍信号的另一种分解方式, 即将连续信号分解为一系列正交函数的线性组合。 当正交函数是正弦函数或虚指数函数时, 这种分解方式称为信号的傅里叶分解。 由于分解后的变量是频率, 因此这种信号分解方式也称为信号的频域分析或傅里叶分析。 傅里叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。 第三章连续时间信号的频域分析1822年, 法国数学家傅里叶 (J.Fourier, 17681830)在研究热传导理论时提出并证明了将周期信号展开为正弦级数的原理, 奠定了傅里叶级数的理论。 其后, 泊松(

3、Poisson)、高斯(Gauss)等人把这一成果应用到电学中。 如今, 傅里叶分析作为信号与系统分析的最强有力的工具之一, 广泛地应用于电子工程、 无线电、 力学、 光学、 量子物理等众多科学和工程领域。本章首先介绍了信号的正交分解原理, 周期信号的傅里叶级数分解, 由此引出傅里叶变换及信号频谱的概念。 然后, 重点讨论了典型信号的频谱及其傅里叶变换性质, 研究信号的频域特性。 最后还简要介绍了帕塞瓦尔定理及功率谱和能量谱的概念。 第三章连续时间信号的频域分析3.1信号的正交分解信号的正交分解把信号分解为某些基本信号的线性组合, 是分析线性系统的基本出发点, 而信号的正交分解在某种意义上与矢

4、量的正交分解有相似之处。 本节首先从矢量的正交分解入手, 再用类比的方法介绍信号的正交分解。 3.1.1矢量的正交分解矢量的正交分解两个矢量正交, 在几何意义上是指两个矢量相互垂直, 如图3.1(a)所示。 两矢量V1和V2相互正交时, 其夹角为90, 点积为零, 即V1V2=|V1|V2| cos90=0 (3.1)第三章连续时间信号的频域分析在二维空间上, 相互正交的矢量V1和V2构成一个正交矢量集， 而且是完备的正交矢量集, 这样, 平面空间上的任意矢量A就可以精确地分解为V1和V2的线性组合, 如图3.1(b)所示, 用数学表示为A=C1V1+C2V2 (3.2)式中, V1V2=0,

5、 C1、 C2为各分量的加权系数, 且为(3.3)(3.4)11111cosVAVVVAC1=22222cosVAVVVAC2=第三章连续时间信号的频域分析同样, 对于一个三维空间的矢量A可以用一个三维正交矢量集V1，V2, V3中各分量的线性组合来表示, 即A=C1V1+C2V2+C3V3 (3.5)如图3.1(c)所示。 这里应该注意的是, 对于一个三维的空间矢量, 要准确无误地表示它, 就不能只用一个二维的正交矢量集, 而必须用一个三维的正交矢量集。 在三维空间中, 三维的正交矢量集是一个完备的正交矢量集, 而二维的则不是完备的。 111121cosVVVVVV第三章连续时间信号的频域分

6、析图 3.1正交矢量与矢量分解第三章连续时间信号的频域分析依此类推, 对于n维矢量空间, n个互相正交的矢量组成一个n维的完备正交矢量集V1, V2, , Vn, n维空间中的任意矢量A, 都可以精确地表示为这n个互相正交的矢量的线性组合, 即A=C1V1+C2V2+CnVn (3.6)式中, ViVj=0(ij), 且第i分量的加权系数为(3.7)iiiiiVAVVVAcosCi=第三章连续时间信号的频域分析上述空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间。 在信号空间中, 若能够找到若干个相互正交的信号作为基本信号, 使得任意信号都可以表示成这些基本信号的线性组合, 那么就可以实现信号的正交分

7、解。 第三章连续时间信号的频域分析3.1.2正交函数与正交函数集正交函数与正交函数集 仿照上述两个矢量正交的概念, 可以按照如下的方式来定义两个信号的正交。 若有定义在(t1, t2)区间的两个实信号g1(t)、g2(t)满足(3.8)则称g1(t)、 g2(t)在区间(t1, t2)内正交。 0d)()(2121ttttgtg第三章连续时间信号的频域分析与空间矢量的正交分解类似, 要将任意信号f(t)进行正交展开, 仅有两个正交函数是不够的, 必须建立一个正交函数集, 而且若要使得信号能够精确、 无误差地展开, 还必须要求这个函数集是完备的。 下面给出正交函数集与完备正交函数集的概念。 设有

8、n个实函数g1(t), g2(t), , gn(t)构成一个函数集g1(t), g2 (t), , gn(t), 这个函数集在区间(t1, t2)内满足如下的正交特性：(3.9)jiKjittgtgittji， 0d)()(21第三章连续时间信号的频域分析式中Ki为常数, 则称此实函数集为正交函数集。 如果Ki=1(i=1, 2, , n), 则此函数集为归一化正交函数集。 区间(t1, t2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间。 若在正交函数集g1(t), g2(t), , gn(t)之外, 不存在函数(t), t（t1, t2） ( ), 满足(3.10)21d)(02tttt), 2

9、, 1(0d)()(21nitttgtti第三章连续时间信号的频域分析则称此函数集为完备正交函数集。 此定义意味着定义于(t1, t2)上的所有平方可积函数均可用该函数集线性表出。 除了实函数集之外, 信号还可以展开为复变正交函数集的线性组合。 复变的正交函数和正交函数集的定义如下: 若在(t1, t2)区间内, 两个复变函数g1(t)、g2(t)正交, 则g1(t)、 g2(t)满足(3.11)0d)()(d)()(21212*1*21ttttttgtgttgtg第三章连续时间信号的频域分析若复变的函数集g1(t), g2(t), ，gn(t)在区间(t1, t2)内满足(3.12)则称此复

10、变函数集为正交函数集。 jikjittgtgittji， 0d)()(21*第三章连续时间信号的频域分析3.1.3信号的正交分解信号的正交分解设n个函数g1(t), g2(t), , gn(t)在区间(t1, t2)构成一个正交函数集, 将任意一个函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似, 可以表示为(3.13)这种近似表示的误差函数为 (3.14)nrrrnntgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()(nrrrtgCtf1)()(第三章连续时间信号的频域分析22通常采用误差函数的均方值来描述式(3.13)近似表示的误差大小, 用符号 表示, 即(3.15) 为使 为最小,

11、系数Cr应满足即(3.16)ttgCtftttttttnrrrttd )()(1d121212112212202rC0d )()(2121ttgCtfCttnrrrr第三章连续时间信号的频域分析展开式(3.16)中的被积函数, 注意到由序号不同的正交函数交叉相乘产生的各项, 其积分都为零, 而且所有不包含系数Cr的各项对Cr求导也等于零, 这样, 式(3.16)中只剩下两项不为零, 即(3.17)交换微分和积分次序, 得到(3.18)于是求得Cr为(3.19)0d )()()(22122ttgCtgtfCCttrrrrrttgCttgtfttrrttrd )(d )()(21212ttgtfK

12、ttgttgtfCttrrttrttrrd )()(1d )(d )()(2121212第三章连续时间信号的频域分析此时的最小均方误差为(3.20)当n时, 若, 则函数集g1(t), g2(t), , gn(t)是完备的正交函数集, 此时, 信号f(t)可以精确地表示为无限多个正交函数的线性组合, 即(3.21)21122122d)(1ttnrrrKCttftt0212211)()()()()(rrrnntgCtgCtgCtgCtf第三章连续时间信号的频域分析以上讨论可以推广到复变的正交函数集理论中, 即信号f(t)可以分解为无限多个复变的正交函数的线性组合。 同样, 利用上述方法可以得到第

13、r个最佳分量系数Cr为 (3.22)ttgtfKttgtgttgtfCttrrttrrttrrd )()(1d )()(d )()(212121*第三章连续时间信号的频域分析3.2周期信号的傅里叶级数分解周期信号的傅里叶级数分解上一节介绍了信号的正交分解, 如果完备正交函数集gi(t)中的每个函数gi(t)在区间(t0, t0+T1)内两两正交, 则周期为T1的周期信号f(t)可以在此区间内展开成该正交信号集的无穷级数。 如果该完备正交函数集是三角函数集或指数函数集, 那么周期信号所展开的级数就分别称为“三角形式的傅里叶级数”或“指数形式的傅里叶级数”, 统称为傅里叶级数。 下面来介绍这两种形

14、式的傅里叶级数。 第三章连续时间信号的频域分析3.2.1三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数不难证明, 三角函数集1, cos(1t), cos(21t), , cos(n1t), , sin(1t), sin(21t), , sin(n1t)在区间 内组成正交函数集。 各函数的正交性如下:(3.23)2)(,(11100TTtt)0( )0(2)( 0d)cos()cos(1111100nmTnmTnmttntmTtt，第三章连续时间信号的频域分析(3.24) (3.25)0(2)( 0d)sin()sin(111100nmTnmttntmTtt，),(, 0d)sin()cos(100

15、11为任意整数nmttntmTtt第三章连续时间信号的频域分析)cos()2cos()cos()(112110tnatataatfn)sin()2sin()sin(11211tnbtbtbn1110)sin()cos(nnntnbtnaa当所取函数无限多时, 上述三角函数集是一个完备的正交函数集。 由式(3.21)可知, 对于任一个周期为T1的周期信号f(t), 可在区间(t0, t0+T1)内表示为上述三角函数集中各正交函数的线性组合, 即(3.26)第三章连续时间信号的频域分析式中, a0、 an、bn为各分量系数, 也称为傅里叶系数。 由式(3.19)可得各分量系数分别为(3.27)10

16、0100100d)sin()(2d)cos()(2d)(1111110TttnTttnTttttntfTbttntfTattfTa第三章连续时间信号的频域分析式中, t0可以任意选取, 通常为了计算方便, 选择t0=0或 。 显然, an是n1的偶函数, bn是n1的奇函数, 即满足 (3.28)210Ttnnnnbbaa第三章连续时间信号的频域分析需要指出的是, 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数分解, 能够被展开的周期信号应满足如下的狄里赫利(Dirichlet)条件: (1) 在一个周期内, f(t)是绝对可积的, 即 。 (2) 在一个周期内, f(t)的最大值和最小值的数目是有限的。

17、 (3) 在一个周期内, f(t)或者为连续的, 或者只有有限个间断点, 而且在这些间断点上, 函数值必须是有限的。 通常我们遇到的周期信号大都能满足该条件, 因此以后除非特别说明, 一般不再考虑这一条件。 21)(Ttf第三章连续时间信号的频域分析将式(3.26)中同频率项合并, 可以得到另一种形式的傅里叶级数, 即(3.29)上式称为余弦形式的傅里叶级数展开式。 式中, A0为直流分量, A1cos (1t+1)为基波或一次谐波, A2cos (21t+2)为二次谐波, Ancos (n1t+n)为n次谐波, An是n次谐波的振幅, n是n次谐波的初始相位。 因此, 式(3.29)表明,

18、任意周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解为直流分量及一系列谐波分量之和。 110)cos()(nnntnAAtf第三章连续时间信号的频域分析， ， 比较式(3.26)和式(3.29)可以得到各系数之间的关系为(3.30)(3.31)且由式(3.28)及式(3.30)可知, An是n1的偶函数, n是n1的奇函数, 即满足(3.32),22nnnbaA)arctan(nnnab,cosnnnAannnAbsinA0=a0，nnnnAA第三章连续时间信号的频域分析例例3.1将图3.2所示的周期矩形脉冲信号f(t)展开为三角形式的傅里叶级数。 解解根据式(3.27), 这里选取t0=0, 得2d1

19、d)(120101011EtETttfTaTT0)sin(12 d)cos(2d)cos()(2201112011011111TTTntnnTEttnETttntfTa第三章连续时间信号的频域分析图 3.2例3.1中的周期矩形脉冲信号第三章连续时间信号的频域分析201111)cos(12TtnnTE)cos(1 nnE6 , 4 , 20, 5 , 3 , 1 2nnnE，201101111d)sin(2d)sin()(2TTnttnETttntfTb第三章连续时间信号的频域分析将上述系数代入式(3.26), 得f(t)的傅里叶级数展开式为(3.33)sin(1)5sin(51 )3sin(3

20、1)sin(22)(1111tnntttEEtf, 5 , 3 , 1n第三章连续时间信号的频域分析), 2, 1, 0(e1jntn)2)(,(11100TTtt3.2.2指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数复变函数集 在区间 内是完备的正交函数集。 各函数正交性如下(3.34)()(0d)e (e1*jj10011nmTnmtTtttntm，第三章连续时间信号的频域分析由式(3.21), 对于任意周期为T1的周期信号f(t), 可在区间(t0, t0+T1)内表示为上述函数集中各正交函数的线性组合, 即 (3.35)ntnnttttFFFFFFtf11111j2 j2j102 j2j1

21、e eeee)(各分量系数由式(3.22)得到, 则(3.36)1001de )(1j1TtttnnttfTF第三章连续时间信号的频域分析式(3.35)称为周期信号的指数形式的傅里叶级数展开式。 通常, Fn为复数, 称其为复傅里叶系数, 简称傅里叶系数。 指数形式的傅里叶级数还可以从三角形式的傅里叶级数直接导出。 根据欧拉公式)ee (21)cos(11jj1tntntn)ee (j21)sin(11jj1tntntn第三章连续时间信号的频域分析式(3.26)可以写为(3.38)1jjjj0)ee (2) j()ee (2)(1111ntntnntntnnbaatf1jj011e2je2jn

22、tnnntnnnbabaa(3.37)2jnnnbaF令 )3 , 2 , 1(n第三章连续时间信号的频域分析由于an是n的偶函数, bn是n的奇函数, 即an=a-n, bn=-b-n, 所以(3.39)将上述结果代入到式(3.37)中, 得到令F0=a0, 考虑到 22nnnnnjbajbaF1jj011ee)(ntnntnnFFatf1j1j11eentnnntnnFF第三章连续时间信号的频域分析则由式(3.40)得到指数形式的傅里叶级数为(3.41)比较式(3.30)、 (3.31)、 (3.38)和式(3.39)可以看出, Fn与其他系数之间的关系为(3.42)ntnnFtf1je)

23、(, 2, 1e22, 2 , 1e22jj000nAjbaFnAjbaFaAFnnnnnnnnnn，第三章连续时间信号的频域分析在指数形式的傅里叶级数中, 当n取负数时, 出现了负的n1, 但是这并不意味着存在负频率, 而只是将第n次谐波的正弦分量写成两个指数项之和后出现的一种数学形式, 只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来, 才是实际的频谱函数。 第三章连续时间信号的频域分析3.2.3函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系在求解周期信号的傅里叶系数时, 需要进行三次积分, 以求得a0、 an和bn, 计算相当麻烦, 若f(t)是实信号而且它的波形满足某种对称性

24、, 那么通过利用f(t)的对称性将会简化上述计算过程。第三章连续时间信号的频域分析0d)cos()(4d)(22011201011nTnTbttntfTattfTa1. f(t)为偶函数为偶函数若周期信号f(t)是时间t的偶函数, 即f(t)=f(-t), 波形对称于纵轴, 如图3.3所示, 由于f(t)cos(n1t)是t的偶函数, f(t) sin(n1t)是t的奇函数, 所以由式(3.27)得偶函数的傅里叶系数分别为 (3.43)3 , 2 , 1(n第三章连续时间信号的频域分析即偶函数的傅里叶级数中不含正弦分量, 只含有直流分量和余弦分量。 例如图3.3所示的周期偶信号, 其傅里叶级数

25、展开式如下: )5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112tttEEtf第三章连续时间信号的频域分析图 3.3偶函数第三章连续时间信号的频域分析2. f(t)为奇函数为奇函数若周期信号f(t)是时间t的奇函数, 即f(t)=-f(-t), 波形对称于原点, 由于f(t)cos (n1t)是t的奇函数, 而f(t) sin(n1t)是t的偶函数, 所以由式(3.27)得奇函数的傅里叶系数分别为(3.44)20111d)sin()(40TnnttntfTba)3 , 2 , 1(n第三章连续时间信号的频域分析即奇函数的傅里叶级数中不含有余弦分量, 只含有正弦分量。 例如图3.4所示

26、周期奇信号, 其傅里叶级数展开式如下:)5sin(51)3sin(31)2sin(21)sin()(1111ttttEtf函数的奇、 偶性不仅与信号的波形有关, 也与坐标原点的选择有关, 当坐标原点移动时, 可以使奇、 偶关系互相转变。 例如将图3.3所示偶函数的坐标原点移至时, 该函数变为奇函数。)2,4(1ET第三章连续时间信号的频域分析图 3.4奇函数第三章连续时间信号的频域分析因此, 适当地选择坐标原点有时候会使函数的分解简化。 3. f(t)为奇谐函数为奇谐函数若周期信号f(t)的前半个周期波形沿时间轴平移后， 与后半个周期波形对称于横轴, 即(3.45)则f(t)称为奇谐函数或半波

27、对称函数, 如图3.5所示。 )2()(1Ttftf21T第三章连续时间信号的频域分析图 3.5奇谐函数第三章连续时间信号的频域分析 这类函数的傅里叶级数展开式中, 只含有基波和奇次谐波的正弦、 余弦项, 而不包含偶次谐波项, 级数中的系数分别为(3.46)20112011011d)sin()(4d)cos()(400TnTnnnnttntfTbnttntfTanbaa为奇数）（为奇数）（）为偶数（第三章连续时间信号的频域分析下面给出an的推导过程。2011021122111111d)cos()(2d)cos()(2 d)cos()(2TTTTnttntfTttntfTttntfTa第三章连续

28、时间信号的频域分析第一个积分计算如下: 2011111021111d)2(cos)2(22d)cos()(2TTTnTfTTtttntfT201111d)cos()2(2TnnTfT第三章连续时间信号的频域分析)2()(1Ttftf由于f(t)是奇谐函数, 即f(t)= , 所以上式可写为 20112011111d)cos()cos()(2 d)cos()2(2TTnnfTnnTfT201111d)cos()(2) 1(TnttntfT第三章连续时间信号的频域分析将上式 入an中可得201111d)cos()() 1(1 2TnnttntfTa20111d)cos()cos()(40Tnntn

29、fTn为奇数为偶数bn的推导过程与an相同。第三章连续时间信号的频域分析例如图3.5所示的奇谐函数, 可以求得其傅里叶级数展开式如下:显然, 它只含有奇次谐波分量, 不含有直流分量和偶次谐波。)5cos(251)3cos(91)cos(4)(1112tttEtf)5sin(51)3sin(31)sin(2111tttE第三章连续时间信号的频域分析4. f(t)为偶谐函数为偶谐函数若周期信号f(t)的波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠, 即(3.47)则f(t)称为偶谐函数或半波重叠函数, 如图3.6所示。 )2()(Ttftf第三章连续时间信号的频域分析图 3.6偶谐函数第三章连续时间

30、信号的频域分析这类函数的傅里叶级数展开式中, 只含有偶次谐波的正弦、 余弦项, 而不包含奇次谐波项, 级数中的系数分别为(3.48)201120112010111d)sin()(4d)cos()(4d)(40TnTnTnnnttntfTbnttntfTattfTanba为偶数）（为偶数）（）为奇数（第三章连续时间信号的频域分析an、 bn的推导过程与式(3.46)中的相同。 例如， 图3.6所示的偶谐函数, 可以求得其傅里叶级数展开式如下: 显然它只含有偶次谐波分量, 而不包含奇次谐波分量。 通过上面的讨论可以看出, 当波形满足某种对称关系时, 傅里叶级数中的某些项将会不出现, 熟悉傅里叶级数

31、的这种性质后, 可以对波形应包含哪些谐波成分迅速作出判断, 以便简化傅里叶系数的计算。 )6sin(31)4sin(21)2sin(2)(111tttEEtf第三章连续时间信号的频域分析3.3周期信号的频谱周期信号的频谱由上一节讨论可知, 一个周期信号与另一个周期信号的区别, 在时域中表现为波形的不同, 而在频域中的区别表现为其基本频率1的不同、 各谐波分量的幅度An(|Fn|)和相位n的不同。 采用周期信号的傅里叶级数分解虽然能详尽而确切地表示信号分解的结果, 但往往不够直观。 为了既方便又明白地表示出周期信号中包含哪些频率分量, 各频率分量的比重怎样, 可将其各频率分量的振幅和相位随频率变

32、化的关系用曲线的形式表示出来, 从而得到一种谱线图, 并称之为“频谱图”。 第三章连续时间信号的频域分析3.3.1周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱包括幅度频谱(简称幅度谱)和相位频谱(简称相位谱)两个部分。 其中幅度谱描述的是各次谐波振幅随频率变化的关系, 相位谱描述的是各次谐波相位随频率变化的关系。 根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式可分为单边频谱和双边频谱。 1. 单边频谱单边频谱将周期信号f(t)展开为余弦形式的傅里叶级数, 即110)cos()(nnntnAAtf第三章连续时间信号的频域分析式中, n只能取正整数, 这样得到的频谱总是位于0的半个平面上, 因此称为单边频谱。

33、 例如图3.2所示的周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为式(3.33), 将其化为余弦形式的傅里叶级数为)27cos(72 )25cos(52)23cos(32)2cos(22)(1111tEtEtEtEEtf第三章连续时间信号的频域分析其幅度谱和相位谱如图3.7所示。 在幅度谱和相位谱中, 每条线代表每一频率分量的幅度和相位的大小, 称其为谱线。 连接各谱线顶点的曲线(如图3.7中虚线所示)称为包络线, 它反映了各分量的幅度和相位的变化情况。 可见, 频谱图清楚而且直观地反映了各频率分量的幅度和相位的相对大小。 第三章连续时间信号的频域分析图 3.7周期方波信号的单边频谱第三章连续时间信号的

34、频域分析2. 双边频谱双边频谱将周期信号f(t)展开为指数形式的傅里叶级数, 即式中, n可取-到的整数, 这样, 变量=n1也是从-到整个轴变化, 因此称此时的频谱为双边频谱。 ntnnFtf1je)(第三章连续时间信号的频域分析例如图3.2所示的周期矩形脉冲信号, 将其三角形式的傅里叶级数写成指数形式的傅里叶级数为周期方波信号的双边频谱图如图3.8所示。ee 3ee 2)()23( j)23( j)2( j)2( j1111ttttEEEtfee 7ee 5)27( j)27( j)25( j)25( j1111ttttEE第三章连续时间信号的频域分析图 3.8周期方波信号的双边频谱第三章

35、连续时间信号的频域分析比较图3.7和图3.8可以看出， 这两种频谱表示方法实质上是一样的, 其不同之处在于图3.7中的每条谱线代表一个频率分量的幅度, 而图3.8中每个分量的幅度一分为二, 在正、 负频率相对应的位置上各为一半, 所以只要把正、 负频率上对应的这两条谱线矢量相加起来就可以代表一个分量的幅度。 第三章连续时间信号的频域分析3.3.2周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱在周期信号的频谱分析中, 周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义。 下面以图3.9所示周期矩形脉冲为例， 说明周期信号频谱的特点以及信号频带宽度的概念。 设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为, 脉冲幅度为E,

36、 重复周期为T1, 如图3.9所示。 第三章连续时间信号的频域分析图 3.9周期矩形脉冲第三章连续时间信号的频域分析f(t)在一个周期内的表达式为(3.49)将f(t)展开成指数形式的傅里叶级数, 由式(3.36)得: 202)(ttEtf221j122j122j111111ede1de )(1jnTEtETttfTFntnTTtnn)2(Sa2)2sin()2sin(211111111nTEnnTEnnTE第三章连续时间信号的频域分析10TEF由上式得到, f(t)的直流分量为, 幅度谱为, 相位谱为n=0(Fn0)或n=(Fn0)。 图3.10画出了当T1=4时f(t)的双边频谱图。 考虑

37、到Fn是实数, 把幅度谱|Fn|和相位谱n合画在一幅图上。 若Fn是复数的话, 则幅度谱和相位谱应分别画出。 )2(11nSaTEFn第三章连续时间信号的频域分析图 3.10周期矩形脉冲信号的频谱图第三章连续时间信号的频域分析由以上分析及图3.10可以看出: (1) 周期矩形脉冲信号的频谱是离散的, 两谱线间隔为, 脉冲的重复周期T1越大, 谱线越密集。 (2) 直流分量、 基波和各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度E和脉冲宽度, 反比于周期T1, 各谱线幅度按包络线的规律而变化。 112T)2(Sa1n第三章连续时间信号的频域分析(3.50)(3) 当, k=1, 2, 时, 谱线的包络线过零,

38、 因此称为零分量频率。 (4) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线, 也就是说它可以分解为无限多个频率分量。 随着频率的增大, 谱线幅度变化的总体趋势收敛于零。 其主要能量集中在第一个零分量频率之内。 实际上, 在允许一定失真的情况下, 可以舍弃的频率分量, 而只要传送频率较低的那些分量就够了。 通常把这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频带宽度, 记作B, 于是有21k2k220)rad/s(2B)Hz(1fB 或 第三章连续时间信号的频域分析显然, 有效频带宽度B只与脉冲宽度有关, 而且成反比关系。 信号持续时间越长, 其频带越窄, 反之, 信号持续时间越短, 其频带越宽。 下面来讨论当周期矩

39、形脉冲的周期T1及脉宽变化时, 其频谱结构的变化规律。 (1) 周期T1不变, 而脉宽变化时。周期T1不变时, 谱线间隔不变。 当脉宽变小时, 频谱的幅度减小, 频谱包络线第一个过零点频率增大, 信号的频带宽度增大, 频率分量增多, 频谱幅度的收敛速度相应地变慢。 图3.11画出了当T1不变, 和变化时两种情况下的频谱图。 112T251T101T第三章连续时间信号的频域分析图 3.11脉冲宽度与频谱的关系第三章连续时间信号的频域分析(2) 脉宽不变, 而周期T1变化时。脉宽不变, 频谱包络线第一个过零点频率不变。 当周期T1增大时, 谱线间隔减小, 谱线变密, 信号有效频带宽度内谐波分量增多

40、, 同时频谱的幅度减小。 图3.12画出了不变时, 周期分别为T1=5和T1=10时两种情况下的频谱图。 2112T第三章连续时间信号的频域分析图 3.12周期与频谱的关系第三章连续时间信号的频域分析由图3.12不难看出, 当周期T1无限增大时, 频谱的谱线无限密集, 而各谐波分量的振幅趋于无穷小量, 此时周期信号将趋于单脉冲的非周期信号, 而频谱则由离散过渡到连续, 而有关非周期信号的频谱将在下一节讨论。 由以上对周期矩形信号的频谱分析, 可以得到周期信号的频谱具有以下特点: (1) 离散性。 频谱由不连续的谱线组成, 每一条谱线代表一个频率分量, 谱线间隔为1。 第三章连续时间信号的频域分

41、析(2) 谐波性。 谱线只在基波频率的整数倍上出现, 只有n的频率分量。 (3) 收敛性。 幅度谱中各谱线的高度, 也即各次谐波的振幅的总体趋势是随着谐波次数n的增大而逐渐减小。 这些特性虽然是从一个特殊的周期信号得出的, 但是它具有普遍的意义, 对于其他周期信号, 也具有这样的特性。 第三章连续时间信号的频域分析3.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱在3.3节中指出, 当周期矩形脉冲信号的重复周期无限增大时, 信号就转化为非周期的单脉冲信号。 此时, 相邻谱线间隔无限小, 谱线密集, 离散频谱变成了连续频谱, 同时, 各频率分量的振幅无限趋小。 虽然这些振幅都是无穷小量, 但是它们并不是同样

42、大小, 其相对值仍有差别。 为了表示这种振幅之间的相对差别, 我们引入了傅里叶变换。 第三章连续时间信号的频域分析3.4.1傅里叶变换傅里叶变换对于非周期信号, 不能再采用傅里叶级数的复振幅来表示其频谱, 而必须引入一个新的量“频谱密度函数”。 下面我们从周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换, 并说明频谱密度函数的意义。 设周期为T1的周期信号f(t), 其指数形式的傅里叶级数为ntnnFtf1je)(第三章连续时间信号的频域分析复振幅为若对上式两端同乘以T1, 则有(3.51)22j1111de )(1TTtnnttfTF22j11111de )(2TTtnnnttfFTF第三章连续时间信号

43、的频域分析当T1趋于无限大时, 谱线间隔1趋近于无穷小量d, 离散频率n1变成连续频率。 在这种极限情况下, Fn趋于无穷小量, 但可以不趋于零, 而趋近于有限值, 且变为一个连续函数, 通常记为F(j), 即(3.52)12nF112limlim)j (11nTnTFTFF第三章连续时间信号的频域分析1nF式中, 表示单位频带的频谱值, 因此称其为原函数f(t)的频谱密度函数, 简称频谱函数。 这样, 式(3.51)可以写为(3.53)22j1111de )(lim)j (TTtnTttfFttfFtde )()j (j即第三章连续时间信号的频域分析同样对于f(t), 其指数形式的傅里叶级数

44、展开式可改写为如下的形式: (3.54)(3.55)1j1j11ee)(ntnnntnnFFtf当周期T1趋于无限大时, 1d, n1, )j (211FFn上式求和运算转化为积分运算，从而得到de )j (21)(j tFtf第三章连续时间信号的频域分析 式(3.53)是非周期信号的频谱表达式, 称为傅里叶正变换, 式(3.55)称为傅里叶反变换。 为了书写方便, 习惯上采用下述符号: 傅里叶正变换傅里叶反变换)()(tfFjFttftde )(j)j ()(1FFtfde )j (21j tF 第三章连续时间信号的频域分析f(t)和F(j)构成了一对傅里叶变换, 二者的关系可以简记为f(t

45、)F(j)一般来说, 频谱函数F(j)是关于的复函数, 可以写成(3.56)式中, |F(j)|为F(j)的模, 它表示信号中各频率分量幅度的相对大小, ()是F(j)的相位, 它表示信号中各频率分量的相位。 与周期信号的频谱相对应, 通常将|F(j)|的关系曲线称为非周期信号的幅度谱, 而将()曲线称为相位谱, 它们都是的连续函数。 )(je)j ()j (FF第三章连续时间信号的频域分析同周期信号一样, 也可以将f(t)写成三角函数的形式de )j (21)(j tFtfdejFtj)()(21d)(sin)j (2d)(cos)j (21tFjtF 第三章连续时间信号的频域分析当f(t)

46、为实函数时, |F(j)|和()分别是的偶函数和奇函数, 则上式的第二个积分为零, 于是有(3.57)d)(cos)j (1 d)(cos)j (21)(0tFtFtf第三章连续时间信号的频域分析可见, 非周期信号也可以看做是由不同频率的余弦分量组成的。 与周期信号相比, 非周期信号的基波频率趋于无穷小量, 这样它就包含了从零到无穷大的所有频率分量, 而各个余弦分量的振幅趋于无穷小。 所以, 频谱不能用振幅表示, 只能用频谱密度函数F(j)来表示各分量的相对大小。 d)j (F第三章连续时间信号的频域分析和周期信号展开成傅里叶级数一样, 对非周期信号进行傅里叶变换也需要满足狄里赫利条件, 这时

47、, 绝对可积条件表现为, 其中, |f(t)|是信号f(t)的绝对值。 但是必须指出, 狄里赫利条件是对信号进行傅里叶变换的充分条件而非必要条件。 在本书后面章节引入广义函数的概念后可以看到, 一些函数并不满足绝对可积条件, 但是其傅里叶变换却存在。 ttfd)(第三章连续时间信号的频域分析3.4.2典型非周期信号频谱典型非周期信号频谱1. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号矩形脉冲信号也称为门函数门函数。 脉冲宽度为、 幅度为1的门函数通常用符号g(t)表示 (3.58)其频谱函数为)2()2()(tttg22jjdede )()j (tttgFtt)2(Sa2)2sin()ee (j12j2j第三章

48、连续时间信号的频域分析（3.59)图3.13画出了矩形脉冲信号的频谱图, 由于F(j)是的实函数, 通常将这种实函数的频谱用一条F(j)曲线同时表示幅度谱和相位谱。 当F(j)为正数时, 其相位为0; 当F(j)为负数时, 其相位为或-。 )(tg)2(Sa第三章连续时间信号的频域分析图 3.13矩形脉冲信号及其频谱第三章连续时间信号的频域分析20)2(Sa2B1fB 由图3.13可以看出, 矩形脉冲信号在时域持续时间有限, 但其频谱以的规律变化, 分布在无限的频率范围内, 其主要能量集中在零频到第一个过零点之间, 即之间, 因此, 通常认为矩形脉冲信号的有效频带宽度为或第三章连续时间信号的频

49、域分析2. 单边指数信号单边指数信号单边指数信号f(t)的表达式为f(t)=e-t(t),0其频谱函数为(3.60)j1deee )()j (0jjtdttfFttt第三章连续时间信号的频域分析其幅度谱和相位谱分别为单边指数信号及其频谱如图3.14所示。 221)j (F)arctan()(第三章连续时间信号的频域分析图 3.14单边指数信号及其频谱第三章连续时间信号的频域分析3. 双边指数信号双边指数信号双边指数信号f(t)的表达式为f(t)=e-|t|，0其频谱函数为(3.61)220j0j2j1j1 deedee)j (ttFtttt第三章连续时间信号的频域分析其幅度谱和相位谱分别为双边

50、指数信号及其频谱如图3.15所示。 222)j (F0)(第三章连续时间信号的频域分析图 3.15双边指数信号及其频谱第三章连续时间信号的频域分析0101)sgn(ttt4. 符号函数符号函数符号函数表达式为显然, 这种信号不满足绝对可积条件, 但其傅里叶变换存在。 它可以看做是两个单边指数信号在趋于零的极限情况, 即)(e)(e lim)sgn(0ttttt)0(第三章连续时间信号的频域分析则其频谱函数为(3.62)j2)2j(lim )j1j1(lim)j (2200F第三章连续时间信号的频域分析幅度谱和相位谱分别为符号函数及其频谱如图3.16所示。 2)j (F02/02/)(第三章连续

51、时间信号的频域分析图 3.16符号函数及其频谱第三章连续时间信号的频域分析 5. 单位冲激函数单位冲激函数(t)单位冲激函数(t)的频谱函数为(3.63)即 (t)11de )( )()j (jtttFFt 第三章连续时间信号的频域分析可见, 单位冲激函数的频谱是常数1。 也就是说， (t)中包含了所有的频率分量, 而各分量的频谱密度都相等。 显然, 信号(t)实际上是无法实现的。 (t)的频谱如图3.17所示, 常称为“均匀谱”或白色频谱。 第三章连续时间信号的频域分析图 3.17单位冲激函数及其频谱第三章连续时间信号的频域分析6. 单位直流信号单位直流信号单位直流信号表达式为f(t)=1显

52、然, 这种信号不满足绝对可积条件, 但其傅里叶变换存在。 它可以看做是双边指数信号e-|t|(0)在趋于零的极限情况, 即则其频谱函数为)(e)(e lim)(0tttftt0002lim)()j (220tfFF第三章连续时间信号的频域分析由上式可见, F(j)具有冲激函数的性质, 其冲激强度由下式确定:2)arctan(2lim )(d)(12lim d2lim020220第三章连续时间信号的频域分析所以即 12() (3.64)单位直流信号及其频谱如图3.18所示。 可见直流信号在频域中只包含=0的直流分量, 而不含其他频率分量。 )(2 1 )j ( FF 第三章连续时间信号的频域分析

53、图 3.18单位直流信号及其频谱第三章连续时间信号的频域分析7. 单位阶跃函数单位阶跃函数(t)显然单位阶跃函数(t)不满足绝对可积条件, 但是它可以看成是单边指数信号e-t(0)在趋于零的极限情况, 因此可对单边指数信号的频谱函数取极限得到(t)的频谱函数。 此外, 单位阶跃函数可以表示为对上式两边做傅里叶变换得)sgn(2121)(tt)sgn(2121)(tFFtF第三章连续时间信号的频域分析j1)()(tF由式(3.62)和式(3.64)可得即(3.65)单位阶跃函数及其频谱如图3.19所示。 j1)()(t 第三章连续时间信号的频域分析图 3.19单位阶跃函数及其频谱第三章连续时间信

54、号的频域分析可见, 单位阶跃函数(t)的频谱在=0处存在一个冲激, 这是由于(t)中含有直流分量。 此外, 由于(t)不是纯直流信号, 它在t=0点处有跳变, 因此频谱中还含有其他频率分量。 表3.1给出了常见信号的傅里叶变换, 以便查阅。 第三章连续时间信号的频域分析表表3.1常见信号的傅里叶变换常见信号的傅里叶变换 第三章连续时间信号的频域分析3.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换揭示了时域函数f(t)和与之对应的频谱函数F(j)之间的内在联系。 它说明了任一信号既可以在时域中描述, 也可以在频域中描述。 本节将讨论傅里叶变换的性质, 这些性质从不同角度描述了当信号在某一个域改变

55、时在另一个域所引起的效应, 同时, 这些性质也为信号在时域和频域之间的相互转换提供了方便。 第三章连续时间信号的频域分析3.5.1线性性质线性性质若f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)则af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)(3.66)式中, a和b是任意常数。 利用傅里叶变换的定义容易证明上述结论。 线性性质包含奇次性和叠加性, 它表明两个(或多个)信号的线性组合的傅里叶变换等于各个信号傅里叶变换的线性组合。 这个性质虽然简单, 但很重要, 它是频域分析的基础。 在3.4节中求单位阶跃函数(t)的频谱函数时已经应用了此性质。 第三章连续时间信号的频域分析例例3.2求图3.

56、20(a)所示信号的傅里叶变换。 解解图3.20(a)所示信号可以看成是两个门函数之和, 如图3.20(b)、 (c)所示。 即f(t)=g2(t)+g(t)可以求得g2(t)2Sa()g(t)Sa 所以)2(Sa)(tg)2(Sa)(Sa2)()j (tfFF第三章连续时间信号的频域分析图 3.20例题3.2图第三章连续时间信号的频域分析tttfttftde )()(j003.5.2时移性质时移性质若f(t)F(j)则 f(t-t0)F(j)e-jt0(3.67)证明证明:令x=t-t0, 则上式可以写为)j (ede )( d)()(000jj)(0FxxfexexfttfFtxtjtxj

57、第三章连续时间信号的频域分析同理可得F f(t+t0)=ejt0F(j) 式(3.67)表明, 若信号在时域中沿时间轴右移t (即延时t0), 则在频域中所有频率分量滞后一相位t0, 而其幅度保持不变。 例例3.3求图3.21(a)所示矩形脉冲信号的傅里叶变换。 第三章连续时间信号的频域分析图 3.21例3.3中的矩形脉冲信号及其相位谱第三章连续时间信号的频域分析解解由图3.21(a)可知, 此信号由门函数g(t)右移/2得到, 即因为由时移性质, 可得显然, F(j)的幅度谱和门函数的幅度谱完全一样, 但是其相位要比门函数的相位滞后, 如图3.21(b)所示。)2()(tgtf2Sa)(tg

58、2je2Sa2)j (tgFF2第三章连续时间信号的频域分析3.5.3频移性质频移性质若f(t)F(j)则 f(t)ej0tFj (-0), 0为常数(3.68)证明证明: 同理F f(t)e-j0t=Fj(+0)( j de )(dee )(e )(0)( jjjj000FttfttftfFtttt第三章连续时间信号的频域分析频移性质表明： 给时间信号f(t)乘以ej0t, 对应于将其频谱函数沿频率轴右移0; 给时间信号f(t)乘以e-j0t, 对应于将其频谱函数沿频率轴左移0。 频谱搬移技术在通信系统中得到了广泛应用, 诸如调制、 同步解调、 变频等都需要进行频谱的搬移。 频谱搬移的实现原

59、理是将信号f(t)乘以载频信号cos(0t)或sin(0t), 得到高频已调信号f(t)cos(0t)或f(t) sin(0t)。 第三章连续时间信号的频域分析因为由频移性质, 可以得到(3.69)e )(e )(21)cos()(00jj0tttftfttfe )(e )(j21)sin()(00jj0tttftfttf)( j )( j 21)cos()(000FFttf第三章连续时间信号的频域分析(3.70)式(3.69)和式(3.70)也称为调制定理调制定理, 它表明时域信号f(t)乘以cos(0t)或sin(0t), 等效于将原信号的频谱一分为二, 分别沿频率轴向左和向右搬移0, 在

60、搬移的过程中幅度谱形式不变。 )( j )(2j)sin()(000FjFttf第三章连续时间信号的频域分析例例3.4求图3.22(a)所示高频脉冲信号的频谱函数。 解解图3.22(a)所示的高频脉冲信号f(t)可以看做是图3.22(b)所示的矩形脉冲g(t)和图3.22(c)所示的余弦信号的乘积, 即因为其频谱如图3.22(d)所示。e )(e )(21)cos()()(00jj0tttgtgttgtf)2(Sa)(tg第三章连续时间信号的频域分析图 3.22例3.4中的时域信号及其频谱图第三章连续时间信号的频域分析由调制定理(式(3.69)和式(3.70)得图3.22(e)所示为图3.22