第5章 线性系统频域法(1)

1、第五章第五章线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法n 建模建模n 分析系统性能分析系统性能p 时域分析法时域分析法 （第三章）（第三章）p 根轨迹法根轨迹法 （第四章）（第四章）p 频域分析法频域分析法 （第五章）（第五章）n 校正校正5-1 频率特性频率特性n根轨迹法根轨迹法 特点特点n物理意义明确物理意义明确n图解方法图解方法n易于用易于用实验法实验法测定频率特性测定频率特性 n 时域分析法时域分析法闭环闭环传递函数传递函数分析系统分析系统闭环闭环响应响应n频率法频率法数学公式数学公式开环开环传递函数传递函数分析系统分析系统闭环闭环响应响应开环开环传递函数传递函数分析系统分析系统闭环闭环

2、响应响应图解法图解法图解法图解法n不仅适用于线性定常系统，还可以推广到某些非线性系统不仅适用于线性定常系统，还可以推广到某些非线性系统闭环闭环传递函数传递函数n定义定义n幅相特性曲线幅相特性曲线n对数频率特性曲线对数频率特性曲线绘制绘制Nyquist稳定判据判断稳定性稳定判据判断稳定性绘制绘制对数频率稳定判据判断稳定性对数频率稳定判据判断稳定性相对稳定性相对稳定性三频段概念分析系统动态性能三频段概念分析系统动态性能n尼科尔斯曲线尼科尔斯曲线系统系统R(t)C(t)阶跃信号阶跃信号脉冲信号脉冲信号斜坡信号斜坡信号加速度信号加速度信号正弦正弦(余弦余弦)信号信号第三章第三章第五章第五章ccA,频率

3、特性频率特性Frequency responsercAwAwA/ )()()()(wwc幅频特性幅频特性相频特性相频特性1定义定义系统对不同频率的正弦信号的稳态响应特性系统对不同频率的正弦信号的稳态响应特性一一.基本概念基本概念系统系统R(t)C(t)sin()(wtAtRr)sin()(ccwtAtC0：w固定固定Ar)(s问题：问题：频率特性跟系统传递函数有什么关系？频率特性跟系统传递函数有什么关系？ 二二.数学本质及定义数学本质及定义输入输入22)(wswAsRrnnmmasabsbs.)(00)()()(sRssC r(t)c(t)(swtAtrrsin)(niiissH1jwsCjw

4、sBssAniii1输出输出)(tcjwtjwtnitsiCeBeeAi1tjwtjwtssCeBetc)(故故jwtjwtssCeBetc)(2)(2)()(jAejwjAjwCrjwjrjwtrjwjjwtrjwjssejAejwejAejwtc2)(2)()()()(jwsrjwswswAsB)()(222)(jAjwr2)()(jAejwrjwj)(sin()(jwwtjwAr2)()()(jeejwAjwwtjjwwtjr系统传递函数系统传递函数(s)，则频率特性和传递函数之间的关系有，则频率特性和传递函数之间的关系有)()()()(wjjwsewAjws其中幅频特性：其中幅频特性：

5、)()(jwwA相频特性：相频特性：)()(jww r(t)c(t)(swtAtrrsin)()(sin()()(jwwtjwAtcrss频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性)(wA)(w总结总结rcAA /)( jw)( jw1)(,110)(sHssG)452cos(2)(ttr解：解：输入信号输入信号求系统的稳态输出和稳态误差求系统的稳态输出和稳态误差（1）判断系统稳定性）判断系统稳定性( )G sCR( )H s单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态

6、误差也是正弦信号，可以利用频率特性的概念来求解。误差也是正弦信号，可以利用频率特性的概念来求解。 系统稳定系统稳定)(1)()(sGsGs)(wA（2）系统的稳态输出）系统的稳态输出 r(t)c(t)(s1110)(jwjw1110s)(w221110w)( jw111wtg)( jw)452cos(2)(ttrw=2o3 .10)(,89. 0)(wwA)3 .552cos(78. 1)3 .10452cos(89. 02)(tttcss) 452cos( 2)(ottc)( jw)( jw1)(,110)(sHssG( )G sCR( )H s（3）系统的稳态误差）系统的稳态误差 r(t)

7、e(t)(se( )G sCR( )H s)452cos(2)(ttr) 452cos( 2)(otte)( jwe)( jwe)(11)(sGse111ss111)(jwjwjwe)(wA)(w2222111ww)( jwe11111wtgwtg)( jwew=21 .53)(, 2 . 0)(wwA)1 . 82cos(4 . 0)1 .53452cos(2 . 02)(oootttess1)(,110)(sHssG三三. 说明说明1频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件、频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件、 控制装置也都可以用控制装置也都可以用2对于不稳定系统，频

8、率特性只能从理论上获得，无法从实对于不稳定系统，频率特性只能从理论上获得，无法从实 验上获得验上获得3频率特性频率特性(jw) 是由系统本身结构参数决定的是由系统本身结构参数决定的线性线性系统系统微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数sdtdjwdtds jws jwdtd物理意义物理意义(实验法实验法)n安装低频信号发生器，使输入信号安装低频信号发生器，使输入信号ur做正弦变化做正弦变化n 观察系统输出电压观察系统输出电压uc的变化的变化n在此刻频率下的幅值比和相位差在此刻频率下的幅值比和相位差n 获得一系列获得一系列 A(w) 和和(w)t urt ucuc1uc2uc3)()(

9、)()(wjjwsewAjws四四.频率特性的图解法频率特性的图解法数学表达式数学表达式)()()(wjewAjw绘制绘制(jw)的轨线的轨线1. 幅频特性幅频特性A(w)和相频特性和相频特性(w)曲线曲线0:w横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标：图解法图解法横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标：wA(w)(w) w2. 幅相特性曲线幅相特性曲线3. 对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性Re(jw)(w) 如何绘制幅相曲线如何绘制幅相曲线如何绘制对数如何绘制对数频率特性曲线频率特性曲线横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标：横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标：lgwlgwL(w)=20lgA(w) 横坐标：

10、横坐标：纵坐标：纵坐标：Im(jw)（Nyquist曲线曲线 ，奈氏曲线），奈氏曲线）（Bode图）图）4. 对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线 （尼氏曲线）（尼氏曲线）横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标： L(w)=20lgA(w) (w) )(sTjj11)(2)(11)(TA)()(TarctgRsCsC/11/1111TsRCs01/2T1/T2/T3/T4/T5/TA()1 10.890.890.7070.7070.450.450.320.300.200 0() 0 0-26.6-26.6-45-45-63.5-63.5-71.5-71.5-76-76-78.7-7

11、8.7-90-90L()0 0- 1.01- 1.01- 3- 3- 6.94- 6.94- 9.9- 9.9-12.4-12.4-13.98-13.98- - 1012T1T2T( )A() ImRe0( )A() 1T3T4T5T1009002T 幅频、相频特性曲线幅频、相频特性曲线幅相特性曲线幅相特性曲线01/2T1/T2/T3/T4/T5/TA()1 10.890.890.7070.7070.450.450.320.300.200 0() 0 0-26.6-26.6-45-45-63.5-63.5-71.5-71.5-76-76-78.7-78.7-90-90L

12、()0 0- 1.01- 1.01- 3- 3- 6.94- 6.94- 9.9- 9.9-12.4-12.4-13.98-13.98- - ( )()Ldb100.151015200() ( ) 100.19004511( )( ) ( )()Ldb0510152009045对数频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相曲线对数幅相曲线一一.定义定义横坐标：横坐标：)()()(wjewAjwG幅值：幅值：相角：相角：)( jwG)( jwGG(jw)的轨迹的轨迹0:w5-2 幅相特性曲线幅相特性曲线幅相特性：幅相特性：纵坐标：纵坐标：ReG(jw) ImG(jw)ReG(jw) ImG(jw)(

13、jwG)( jwG典型环节典型环节2121121211 12)() 1( 12)() 1()(nknrrnrniiNmrnrrnrmjjwswssTswswssTKsGKsGe)(ssGe1)(1)(sTsGje12)()(2nrrnrewswssGssGe)(11)(sTsGie12)(1)(2nrrnrewswssG比例环节比例环节微分环节微分环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节一阶惯性环节一阶惯性环节二阶振荡环节二阶振荡环节)(sGe2121121211 12)() 1( 12)() 1()(nknrrnrniiNmrnrrnrmjjwswssTswsws

14、sTKsG)( jwGe)()(sGsGe)( jwG频率特性频率特性)(wA)( jwG)( jwGe)(w)()(jwGjwGe二二.典型环节的幅相特性典型环节的幅相特性1比例环节比例环节KsGe)(传递函数传递函数KjwGe)(KwA)(0)(w频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性一个点一个点2积分环节积分环节ssGe1)(3微分环节微分环节负虚轴负虚轴ssGe)(正虚轴正虚轴传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性jwjwGe1)(wwA1)(o90)(w传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性jwjwGe)(wwA)(o90

15、)(w0ww0ww单调增单调增0单调减单调减04惯性环节惯性环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性11)(TssGe11)(jTwjwGe2211)(TwwA)()(1Twtgww)(wA)(w0011/T2/T3/T4/T5/T0.7070.450.320.240.20045-63.5-71.5-76-78.7-90-0wTw/1w1)(wA0)(w2/1)(wA4/)(w0)(wA2/)(w以以(0.5,0)为圆心，为圆心，0.5为半径的半圆为半径的半圆( )A( ) 012T1T2T幅频特性幅频特性相频特性相频特性2211)(TwwA)()(1Twtgw1R

16、eIm0单调减单调减10单调减单调减0 -/2 r(t)c(t)(swtAtrrsin)()(sin()()(jwwtjwAtcr频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性rcAAwA/)(cw)(上节课回顾上节课回顾)sin()(ccwtAtc)( jw)( jw)( jw2121121211 12)() 1( 12)() 1()(nknrrnrniiNmrnrrnrmjjwswssTswswssTKsG)( jwGe)()(sGsGe)( jwG频率特性频率特性)(wA)( jwG)( jwGe)(w)()(jwGjwGe上节课回顾上节课回顾上节课回顾上节课回顾KsGe)(w)=0s

17、sGe1)(o90)(wssGe)(o90)(wTssGe11)(w)单调减单调减0 -/2比例环节比例环节微分环节微分环节积分环节积分环节一阶惯性环节一阶惯性环节5.一阶微分环节一阶微分环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性1)(TssGe1)( jTwjwGe221)(TwwA)()(1Twtgw1j T( ) A( )0实部始终为实部始终为1 1jTwjwGe1)()( jwGeReIm0单调增单调增1单调增单调增0 /26.二阶振荡环节二阶振荡环节222211)(nnwwwwwA传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性2222)(n

18、nnewswswsG121)(2nnewjwwjwjwG212arctan)(nnwwwww1212nnwsws121)(2nnewjwwjwjwG222222nn1A( )(1)400.20.710.5()An10120n以以 （无因次频率）为横坐标（无因次频率）为横坐标() n02112n2( )1ntg )0(0/wwwn1)(wA0)(w)( 1/nnwwww21)(wA2-)(w)(/wwwn0)(wA-)(w谐振峰值谐振峰值谐振频率谐振频率mAmw如何求？如何求？谐振频率谐振频率21 2mn谐振峰值谐振峰值 2121mA求解谐振峰值和谐振频率求解谐振峰值和谐振频率( )0dAd0.

19、707适用于适用于0.7070.70701mmA0.70701mmA0mnmA 没有峰值没有峰值越小越小超调量超调量 越大越大mA越大越大mA表征系统的平稳性表征系统的平稳性0.707A(w)单调减单调减 (w)单调减单调减0 - A(w)非单调非单调 (w)单调减单调减0 - 707. 0222222nn1A( )(1)4幅相特性幅相特性ReIm00110.70.51n1( )2A2/1/2arctan222/2/11)(nnwwwwjnneewwwwjwG)0(0/wwwn1)(wA0)(w)( 1/nnwwww21)(wA2-)(w)(/wwwn0)(wA-)(w7.二阶微分环节二阶微分

20、环节22221)(nnwwwwwA传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性)(sGe12)(2nnewjwwjwjwG212arctan)(nnwwwww122nnwsws0 0n222221)(nnwwwwwA幅频特性幅频特性相频特性相频特性212arctan)(nnwwwwwReIm0wnww w1)(wA0)(w2)(wA2/)(w)(wA)(w0.707A(w)单调增单调增 (w)单调增单调增0 A(w)非单调非单调 (w)单调增单调增0 707. 08.不稳定环节（非最小相位环节）不稳定环节（非最小相位环节） 一阶微分环节一阶微分环节惯性环

21、节惯性环节不稳定二阶微分环节不稳定二阶微分环节振荡环节振荡环节 不稳定振荡环节不稳定振荡环节TssGe1)(TssGe1)()1/(1)(TssGe)1/(1)(TssGe2222)(nnnewswswsG2222)(nnnewswswsG12)(2nnewswssG二阶微分环节二阶微分环节12)(2nnewswssG不稳定惯性环节不稳定惯性环节不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节) 1/(1)(TssGe1)(TssGe非最小相位系统非最小相位系统(non-minimum phase system)系统的零点或极点位于系统的零点或极点位于S右半平面右半平面) 1(5ss) 1-(5ss) 1

22、(5sss-最小相位系统最小相位系统minimum phase system非最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统频率特性频率特性)( jwG0:w轨迹轨迹n 幅相特性曲线幅相特性曲线（Nyquist曲线曲线 ，奈氏曲线），奈氏曲线）横坐标：横坐标：纵坐标：纵坐标：ReG(jw) ImG(jw)2121121211 12)() 1( 12)() 1()(nknrrnrniiNmrnrrnrmjjwswssTswswssTKsG)( jwGe)()(sGsGe)( jwG频率特性频率特性)(wA)( jwG)( jwGe)(w)()(jwGjwGe上节课回顾上节课回顾上节课回顾

23、上节课回顾KsGe)(w)=0ssGe1)(o90)(wssGe)(o90)(wTssGe11)(TssGe1)(w)单调增单调增0 /2(w)单调减单调减0 -/2比例环节比例环节微分环节微分环节一阶微分环节一阶微分环节积分环节积分环节一阶惯性环节一阶惯性环节121)(2nnewswssG12)(2nnewswssG(w)单调增单调增0 (w)单调减单调减0 -0.707A(w)单调减单调减 A(w)非单调非单调 707. 00.707A(w)单调增单调增 A(w)非单调非单调 707. 0谐振频率谐振频率21 2mn谐振峰值谐振峰值 2121mA上节课回顾上节课回顾不稳定一阶微分环节不稳定

24、一阶微分环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性TssGe1)(jTwjwGe1)(221)(TwwA1-)(TssGe1-)(jTwjwGe221)(TwwA相角实际根据位于哪个象限相角实际根据位于哪个象限ImRe一阶微分环节011不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节A(w)单调增单调增 (w)单调减单调减0 -/2 (w)单调减单调减- -3/2 不稳定惯性环节不稳定惯性环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性TssGe11)(jTwjwGe11)(2211)(TwwA1-1)(TssGe1-1)(jTwjwGe2211)(TwwA相

25、角实际根据位于哪个象限相角实际根据位于哪个象限0180 90 1135T 0, 0w45,1/Tw90,w=01Im0惯性环节Re1不稳定惯性环节=0不稳定惯性环节A(w)单调减单调减 (w)单调增单调增0 /2 (w)单调增单调增- -/2 不稳定振荡环节不稳定振荡环节的幅频特性和的幅频特性和其对应的振荡环节的幅频特性其对应的振荡环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称相同；而相频特性曲线则对称于于-180-180线。线。0ReIm01振荡环节不稳定振荡环节不稳定振荡环节与振荡环节不稳定振荡环节与振荡环节2222)(nnnewswswsG传递函数传递函数不稳定二阶微分环节不稳定二阶微分环节的

26、幅频特性和其对应的二阶微分环节的幅频特性的幅频特性和其对应的二阶微分环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称于相同；而相频特性曲线则对称于180线。线。ImRe0不稳定二阶微分环节01二阶微分环节不稳定二阶微分环节与二阶微分环节不稳定二阶微分环节与二阶微分环节传递函数传递函数12)(2nnewswssG9.延迟环节延迟环节 延迟环节的输入输出方程延迟环节的输入输出方程c(t)r(t)t0( )()0c tr tt( )1A传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性ww)(seesG)(wjeejwG)(1若把延迟环节的传递函数展开为若把延迟环节的传递函数展开为223311

27、112!3!sessss 由于含有延迟环节的传递函数含有位于右半由于含有延迟环节的传递函数含有位于右半S平面的零点。所以，平面的零点。所以，延延迟环节是非最小相位环节迟环节是非最小相位环节很小223311111112!3!sseessss很小延迟环节是小时间常数的惯性环节延迟环节是小时间常数的惯性环节11(1)(1)( )(1)(1)mnKssG ss TsT s11(1)(1)()() (1)(1)mnK jjG jjj Tj T1.1.幅相曲线的起点幅相曲线的起点0起点由起点由K 和和决定决定 三三. .幅相曲线的绘制幅相曲线的绘制传递函数传递函数频率特性频率特性0KjG)0(0)0(jG

28、1)0( jG)2()0(jG00)0(jG2)0(jG)(lim0jwGw)(lim0jwKwK0123说明说明: 型系统起点处的渐近线平行型系统起点处的渐近线平行于虚轴，横坐标为于虚轴，横坐标为:0limRe ()G j0ReIm ()G j 时，说明系统包含开环时，说明系统包含开环零点，开环幅相曲线起始于原点零点，开环幅相曲线起始于原点并与某一坐标轴相切。并与某一坐标轴相切。00KjG)0(0)0(jG1)0( jG)2()0(jG00)0(jG2)0(jGn 上面给出的幅相曲线起点规律仅适用于最小相位系统上面给出的幅相曲线起点规律仅适用于最小相位系统n 对于非最小相位系统，具体问题具体

29、对待对于非最小相位系统，具体问题具体对待注意注意:1) 1-()(jwTjwKjwG起点起点w=0)0( jG1) 1(lim)(lim00KjwGww1-) 1-()(jwTjwKjwG1)-1 ()(jwTjwKjwG.) 1(-) 1(lim)(lim00KjwGww11lim)(lim00KjwGww0)0(jG0)0(jG2.幅相曲线的终点幅相曲线的终点110110()()()()()mmmmnnnnbjbjbG jajaja ()() ()222G jmnnm 110110( )mmmmnnnnb sbsbG sa sasa传递函数传递函数频率特性频率特性终点由终点由n 和和m决定

30、决定 )(limjwGwnmnmwjwjwab)()(limmnwnmjwab-)(1limn-m=0n-m0nmabjG)(0)(jG0)(jG当当 时，曲线收敛于原点，并与某一坐标轴相切。时，曲线收敛于原点，并与某一坐标轴相切。nm2nm1nm当当n-m=1时，幅相曲线以时，幅相曲线以 -90方向终止于原点，方向终止于原点，当当n-m=2时，幅相曲线以时，幅相曲线以-180方向终止于原点，方向终止于原点，当当n-m=3时，幅相曲线以时，幅相曲线以-270方向终止于原点，方向终止于原点，当当n-m=4时，幅相曲线则以时，幅相曲线则以-360(即即0)方向终止于原点。方向终止于原点。3nm4n

31、mImRe0 ()G j平面当当 时，曲线终止于实轴上的有限时，曲线终止于实轴上的有限nm0mnbja（， ）()() ()222G jmnnm n-m=0n-m0nmabjG)(0)(jG0)(jG3.幅相曲线的中间段幅相曲线的中间段幅相曲线中间段的形状由各环节的种类和时间常数决定幅相曲线中间段的形状由各环节的种类和时间常数决定最小相位系统开环传递函数中不包含零点时，曲线相角连续减小；否则最小相位系统开环传递函数中不包含零点时，曲线相角连续减小；否则，相频曲线会出现凹凸。，相频曲线会出现凹凸。4.幅相曲线与负实轴的交点幅相曲线与负实轴的交点令令 ，解出，解出 ，代入，代入 ，求得幅相曲线与负

32、实，求得幅相曲线与负实轴的交点坐标。轴的交点坐标。Im ()0G jRe ()G j主要关注相角的变化主要关注相角的变化已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为绘制其幅相特性曲线绘制其幅相特性曲线) 1(1)(TsssG解：解：) 1(1)(jwTjwjwG1. 起点起点2. 终点终点3. 中间段中间段)0( jGw)( jwG18090单调减单调减2/)0(jG0w11)(22TwwjwGwTjwGarctan2)(0)(jG)( jG0ww单调减单调减)( jwGe11jwTjw1)( jwGe90900已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试绘制其幅相特性试绘制其幅相特性解：解：) 1

33、)(1(1)(21sTsTssG) 1)(1(1)(21jwTjwTjwjwG1. 起点起点2. 终点终点)0( jGw2/)0(jG0w111)(222212TwTwwjwG21arctanarctan2)(wTwTjwG0)(jG/23)(jGw0w3. 中间段中间段单调减单调减4. 与实轴交点与实轴交点270900)(ImxjwG)( jwGew0w111jwT112jwTjw1211TTwx2121)(ReTTTKTjwGx)( jwGe)( jwGe单调减单调减)( jwG单调减单调减90) 1)(1(1)(21jwTjwTjwjwG2121TTTKT900900已知系统的传递函数为

34、已知系统的传递函数为试绘制其幅相特性试绘制其幅相特性解：解：) 1()1 ()(TsssKsGw0w1. 起点起点2. 终点终点)0( jGw2/)0(jG0w0)(jG/23)(jG) 1()1 ()(jwTjwjwKjwG4. 与实轴交点与实轴交点0)(ImjwGw0wKjwGx)(ReTwx13. 中间段中间段单调减单调减)( jwGe11jwTjw1)( jwGe)( jwGe单调减单调减9027090)( jwG单调减单调减jw1) 1()1 ()(jwTjwjwKjwGK900900已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为绘制其幅相特性绘制其幅相特性解：解：1. 起点起点2.终点终

35、点) 1(1)(12sTssTsG21222211)(TwwTwjwG)()(90)(1121wTtgwTtgjwG) 1(1)(12jwTjwjwTjwG)0( jGw2/)0(jG0w0)(jG/2)(jG)()(90)(1121wTtgwTtgjwG3. 中间段中间段T1 T2T1 m, G(s)H(s)是原点是原点(3) 圆，圆，90, 0,jes关于实轴对称关于实轴对称(2)(4) 负虚轴负虚轴 s = jw, w: 0-关于实轴对称关于实轴对称(1)011011.)()(asasabsbsbsHsGnnnnmmmm2. G(s)H(s)在原点处有极点在原点处有极点ImRe00110

36、11.)()(asasabsbsbsHsGnnnnmmmmjes 0 0(1) 正虚轴正虚轴 s = jw, w: 0+ 对应于开环幅相曲线对应于开环幅相曲线(2) 圆，圆，90, 0,jes若若n=m, G(s)H(s)是某点是某点若若nm, G(s)H(s)是原点是原点(3) 圆，圆，90, 0,jes关于实轴对称关于实轴对称(2)(4) 负虚轴负虚轴 s = jw, w: 0- -关于实轴对称关于实轴对称(1) 1).(1() 1).(1(11sTsTsssKnm011011.)()(asasabsbsbsHsGnnnnmmmmImRe0jes 0 0(5) 圆圆) 1).(1() 1)

37、.(1(11sTsTsssKnmw: 0+ 0- 2,2,lim0jesjessHsG0lim)()(jeK0limjeG(s)H(s)曲线为半径为无穷大的圆弧曲线为半径为无穷大的圆弧从从*(/2)转到转到*(-/2)j0 sj0GH10j00 注意：注意： 含有积分环节，需要补画曲线含有积分环节，需要补画曲线含有含有个积分环节，个积分环节，从起点开始逆时针补画从起点开始逆时针补画个半径为个半径为的的1/4的圆的圆3. G(s)H(s)在虚轴上有极点在虚轴上有极点011011.)()(asasabsbsbsHsGnnnnmmmmImRe0) 1).(1()() 1).(1(1221sTsTws

38、ssKnnmjesnjwsnjwsnjwsnjws(1) 正虚轴正虚轴 s = jw对应于开环幅相曲线对应于开环幅相曲线(2) 圆，圆，90, 0,jes若若n=m, G(s)H(s)是某点是某点若若nm, G(s)H(s)是原点是原点(3) 圆，圆，90, 0,jes关于实轴对称关于实轴对称(2)(4) 负虚轴负虚轴 s = jw关于实轴对称关于实轴对称(1)nnjwjww,0:nnjwjww,0:011011.)()(asasabsbsbsHsGnnnnmmmm) 1).(1()() 1).(1(1221sTsTwsssKnnmImRe0jesnjwsnjwsnjwsnjws(5) 圆圆2

39、,2,lim0jnejws(6) 圆圆jnejws0lim关于实轴对称关于实轴对称(5)()(122sGwsKn)()2()()(1)90(nnjjwGwesHsGG(s)H(s)曲线为半径为无穷大的圆弧曲线为半径为无穷大的圆弧从从转到转到)(1njwG)(1njwGnjwsnjwsnjwsnjws00ImRe0 njwsnjws注意：注意： 虚轴上有极点，需要补画曲线虚轴上有极点，需要补画曲线含有含有个个从从环节，环节，221nws 开始顺时针补画开始顺时针补画个半径为个半径为的的1/2的圆的圆)(1njwGImRe0s五五. Nyquist稳定判据稳定判据根据根据G(jw)H(jw)开环开

40、环幅相曲线判断幅相曲线判断闭环闭环系统稳定性系统稳定性乃氏稳定判据乃氏稳定判据RP闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：RP2NPNw: - +时，时，G(jw)H(jw)闭合曲线逆时针包围闭合曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数点的圈数w: 0+时，时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数点的圈数s右半平面上的开环极点数右半平面上的开环极点数引理引理3如果右半平面内有如果右半平面内有P个系统的开环极点个系统的开环极点且且G(s)H(s)曲线曲线绕绕(-1, j0)逆时针转逆时针转P圈圈则则在右半平面内系统的闭环极点数在右半平面内系统的闭环极点数

41、 为零为零即系统是稳定的即系统是稳定的或或说明说明n若若PRn当当G(s)H(s)含有含有个积分环节，应在曲线起点逆时针方向个积分环节，应在曲线起点逆时针方向补画补画个半径为个半径为的的1/4圆圆nG(s)H(s)在虚轴上的极点视为稳定的开环极点，不记为在虚轴上的极点视为稳定的开环极点，不记为P并且不稳定的闭环极点数并且不稳定的闭环极点数P-R则闭环系统不稳定则闭环系统不稳定n若若G(s)H(s)通过通过(-1, j0)点，说明存在一个点，说明存在一个w1，使，使G(jw1)H(jw1)=-1，系统临界稳定（不稳定），系统临界稳定（不稳定）含有含有个个从从环节，环节，221nws 开始顺时针补

42、画开始顺时针补画个半径为个半径为的的1/2的圆的圆)(1njwGn当当G(s)H(s)j100P j102P 100P j 100P j 0R0N稳定稳定2R1N不稳定不稳定不稳定极点数：不稳定极点数：2R1N稳定稳定0R0N稳定稳定2N=0N = -1N = 0) 1)(1)(1)(1() 1)(1()(432165sTsTsTsTssTsTKsGN = -1稳定稳定不稳定不稳定稳定稳定不稳定不稳定不稳定极点数：不稳定极点数：2不稳定极点数：不稳定极点数：2P = 0设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 0, 0,) 1()()(TKTssKsHsG利用利用Nyquist稳定判据判断

43、闭环系统的稳定性稳定判据判断闭环系统的稳定性 解：解：) 1(1)(jwTjwjwG1. 起点起点2. 终点终点3. 中间段中间段)0( jGw)( jwG18090单调减单调减2/)0(jG0w11)(22TwwjwGwTjwGarctan2)(0)(jG)( jG0ww单调减单调减)( jwGe11jwTjw1)( jwGe90ImRe09000ImRe04. 补画曲线补画曲线从起点开始逆时针补画曲线从起点开始逆时针补画曲线) 1()()(TssKsHsG补画补画1个半径为个半径为的的1/4圆圆0P 0N稳定稳定05. 判断系统稳定性判断系统稳定性上节课回顾上节课回顾2sz1sz1sp2s

44、p( )F s( )F s1z2z1p2p sj0ss ( )F s0UjVF( )F s幅角原理幅角原理(映射定理映射定理)如果封闭曲线如果封闭曲线s内有内有Z个个F(s)的零点和的零点和P个个F(s)的极点，的极点，)()2(PZ 即绕原点逆时针转即绕原点逆时针转R=P-Z圈圈若若s沿顺时针绕一圈，则沿顺时针绕一圈，则F(s)曲线绕原点曲线绕原点引理引理1如果封闭曲线如果封闭曲线s内有内有P个个F(s)的极点的极点且且F(s)曲线曲线绕原点逆时针转绕原点逆时针转P圈圈则则封闭曲线封闭曲线s内有内有F(s)的零点数的零点数为零为零（系统的闭环极点数）（系统的闭环极点数）（系统的开环极点数）（

45、系统的开环极点数）( )1( )( )F sG s H s 引理引理1如果封闭曲线如果封闭曲线s内有内有P个个F(s)的极点的极点且且F(s)曲线曲线绕原点逆时针转绕原点逆时针转P圈圈则则封闭曲线封闭曲线s内有内有F(s)的零点数的零点数为零为零（系统的闭环极点数）（系统的闭环极点数）（系统的开环极点数）（系统的开环极点数）引理引理2如果封闭曲线如果封闭曲线s内有内有P个系统的开环极点个系统的开环极点且且G(s)H(s)曲线曲线绕绕(-1, j0)逆时针转逆时针转P圈圈则则封闭曲线封闭曲线s内系统的闭环极点数内系统的闭环极点数 为零为零F(s)曲线与曲线与G(s)H(s)曲线的关系曲线的关系上

46、节课回顾上节课回顾引理引理2如果封闭曲线如果封闭曲线s内有内有P个系统的开环极点个系统的开环极点且且G(s)H(s)曲线曲线绕绕(-1, j0)逆时针转逆时针转P圈圈则则封闭曲线封闭曲线s内系统的闭环极点数内系统的闭环极点数 为零为零封闭曲线封闭曲线s包含整个右半平面包含整个右半平面引理引理3如果右半平面内有如果右半平面内有P个系统的开环极点个系统的开环极点且且G(s)H(s)曲线曲线绕绕(-1, j0)逆时针转逆时针转P圈圈则则在右半平面内系统的闭环极点数在右半平面内系统的闭环极点数 为零为零即系统是稳定的即系统是稳定的G(s)H(s)曲线如何画？曲线如何画？上节课回顾上节课回顾ImRe0s

47、0G(s)H(s)虚轴上无极点虚轴上无极点G(s)H(s)虚轴上有极点虚轴上有极点jesImRe0sImRe01( ) ( )G s H s上节课回顾上节课回顾j0 sj0GH10j00 注意：注意： 含有积分环节，需要补画曲线含有积分环节，需要补画曲线含有含有个积分环节，个积分环节，从起点开始逆时针补画从起点开始逆时针补画个半径为个半径为的的1/4的圆的圆1. G(s)H(s)虚轴上无极点虚轴上无极点2. G(s)H(s)在原点处有极点在原点处有极点上节课回顾上节课回顾上节课回顾上节课回顾3. G(s)H(s)在虚轴上有极点在虚轴上有极点njwsnjwsnjwsnjws00ImRe0 njwsnjws注意：注意： 虚轴上有极点，需要补画曲线虚轴上有极点，需要补画曲线含有含有个个从从环节，环节，221nws 开始顺时针补画开始顺时针补画个半径为个半径为的的1/2的圆的圆)(1njwGImRe0s上节课回顾上节课回顾乃氏稳定判据乃氏稳定判据RP闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：RP2NPNw: - +时，时，G(jw)H(jw)闭合曲线逆时针包围闭合曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数点的圈数w: 0+时，时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数点的圈数s右半平面上的开环极点数右半平面上的开环极点数