求积分的方法

1、摘要1关键词1Abstract1Keywords1前言11. 不定积分的求法11.1不定积分的换元法11.2不定积分的分部积分法31.3有理函数的不定积分41.4三角函数有理式的不定积分81.5某些无理根式的不定积分92. 定积分的求法122用定积分定义证明与计算定积分122.2牛顿一莱布尼茨公式132.3利用递推关系或解方程132.4利用被积函数的某些性质142.5利用区间可加性152.6反常积分的求法15利用定积分的方法15利用欧拉积分17参考文献18若g(u)在a,0上存在原函数G(u),则f(x)在k上上也存在原函数F(x),F(x) = G(p(x) + C ,即j f(x)dx =

2、 J g(0(Q)0(x)厶=J g(u)du(1)G(u) + C = G(0(x) + C.(ii) 乂若则上述命题(i)可逆,即当/(x)在。上上存在 原函数F(x)时，g(“)在a,0上也存在原函数G(w),且G() = F(,(n) + C,Jg(u)du = Jg(0(Q”(x)厶=J f(x)dx .=F(x) + C = F(丹 “)+ C(2)证(i)用复合函数求导法进行验证：V G(0(x) = G (x)03 dxg(0(X)0(X)= /(%)所以/(x)以G(傾x)为其原函数，(1)式成立.(ii )在0(x)H 0的条件下,u =(p(x)存在反函数x =且dx _

3、1du0(兀)于是乂能验证(2)式成立:f F(u) = F(x) du= g(X)0(X)1讥兀)= g(0(Q)=g()上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别 称为笫一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与 第二换元公式).也可把它写成如下简便形式：f g0x)0(x)c/x = f g(p(x)d(p(x) = G(0(x)+ C.dx解解法一采用第一换元积分法:1-7= du = Jl + CJ Ji = lj，-l+C.Xsect tan/解法二采用第二换元积分法(令X = secz)：dxr uar seef - ia

4、n/ . fr = ；dt = cos/JrJ x2ylx2 -1 J secStan/ J=sin f + C = Jx _ + Cx=（a1 arcsin + xyfa1 -x2） + C2a12不定积分的分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理2 （分部积分法）若/心）与呛）可导，不定积分存在，则(1)Ju(xWx)clx 也存在 t 并有 j巾(“仏*/兀= f/(x) v(x)- j)心加证 由心M=“U(x)+MC(x)M（X/（X）= /心）V（Q - U（x），对上式两边求不定积分，就得到（1）式.公式（1）称为分部积分公式，常简写作Judv = uv-1vduellx

5、 sin bxdx.例 2 求 /| = |ex cosbxdx和=解 人=丄 j*cosbxd(eax )=(严 cosbx + b |*eax sin ZmZxj=(e“ CQsbx + bl2),I2 = |sin Zuz/(严)=(严 sin bx-bl).山此得到al - bl. = eax cosZ?x, bl +al2 = eax sin bx.解此方程组，求得m f fbsinbx + acosbx 小at CQsbxdx =严；+ C,aL +b2a2+b2I2 = sinhS =严 “sinZcosbx 十c1.3有理函数的不定积分有理函数是指山两个多项式函数的商所表示的函

6、数，其一般形式为r( v ) = PM = Qo+a虻 + + % 一丽 _0(+Qxi+ Q”其中II , m为非负整数，与0o,0,仇都是常数，且4,工0, 0o H0.若m n，则称它为真分式；若m n 则称它为假分式.由多项式的 除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和.由于多项式的不定积 分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分 分式分解).因而问题归结为求那些部分分式的不定积分.为此，先把怎样分解 部分分式的步骤简述如下第一步对分母0(在实系数内作标准分解：G() = (x-

7、4 尸 (X-as Y2 (x2 +Ix + 4 尸 (X2 +pt + q, / ( 2)其中0 = 1,(/ = 1,2,均为自然数，而且工人 +2工“一4你 y0,/ = 1,2,，f./-Ij第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如(x-a)k的因式，它所对应的部分分式是x-a (x-a)(x - a)对每个形如(x2+px + qj的因式，它所对应的部分分式是3X + CB2x + C2B.x + C5* / a + + yrp + Px + (x2 + px + q)(x2 + px + q)把所有部分分式加起来，使之等于/?(A).(至此，部分分式中的常数

8、系数/Vd，C” 尚为待定的)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的 分母即为原分母。(0,而其分子亦应与原分子P(Q恒等.于是，按同幕项系数 必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系 数.例3对恥)=WO作部分分式分解x +x 一5一2厂 +4x-8解 按上述步骤依次执行如下：g(x)= x5+x4-5x3-2x2+4x-8=(x- 2Xx + 2)2 (x2 -x + 1.)部分分式分解的待定形式为处)=丄 +丄+(3)x 2 x + 2 (x + 2)x - x + 1用Q&)乘上式两边，得一恒等式2x4 x3 +4x2 +9x 1

9、0 = t40(x + 2)(x2 x + 1)+ Aj(x-2-v + 2)(x2 - x + 1)+A2(x-2)(x2 -x + 1) + (Bx +-2x + 2)2然后使等式两边同幕项系数相等，得到线性方程组：观+人+3 = 2,F的系数3血-人+A2+2B + C = -,工的系数 A()-3A1-3A2-4B + 2C = 4,，的系数4A,+3A,-8B-4C = 9,x的系数4观_ 44 _ 2生_ 8C = -10.常数项求出它的解:A=1，A=24=T，B = 7C = 1,并代人式,这便完成了恥)的部分分式分解:上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代.例如可将X的某些

10、特定值 (如e(x)=o的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某儿个 待定系数的值.对于上例，若分别用x = 2和x = -2代人式，立即求得Ao = 1 和 A2 = -1于是(4)式简化成为x4 3x + 12x 16 = 4 (x 2)( x + 2)(x x +1) + (Bx + C)(x 2)(x + 2) 为继续求得还可用x的三个简单值代人上式，如令x = O,l,-l,相应得到州 + 2C = 4,A +3B + 3C = 2,3A| B + C = 8由此易得A =2、3 = -1,C = 1.这就同样确定了所有待定系数.一旦完成了部分分式分解，最后求各个部

11、分分式的不定积分.由以上讨论知 道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：(I) J;(H )J百 dx(p2-4q2时，(5)式右边第一个不定积分为宀严=2(1 *)(/2 +2严+ C 对于第二个不定积分，记dtIk = J (r 4-r2)可用分部积分法导出递推公式如下:r J (r +r )(t2+r2)k dti(r+r2/-*2/伙一 1) (t2+r2)2占1 k-l经整理得到丈一i(7)zt2k _3k 2r2(-l)(r2+r2) +2r2(-l)重复使用递推公式(7),最终归为计算这已111 (6)式给岀.把所有这些局部结果代回(5)式，并令f = x

12、+ ，就完成了对不定积分(II)2的计算1.4三角函数有理式的不定积分山/心)、卩及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x) . v(x)的有理式，并用7?(w(x),v(x)表示。J/?(sinx,cosxXv是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换r = tan|, 可把它化为有理函数的不定积分。这是因为2sincos2 2 sin x =乍xxsirT + cos* 222tan 21 +tan2COSX =丁兀 2 X cos一 一sin 。X2 XsirT + cos 2 21 - tan2 =亠 。x1 + tair 2dx= 人1 +厂(1)所以 J /?(s in x

13、, c osx)dx = J1 + r2 + t2 ) + rIt 例 4 求 f 1 + sin vJ sinx(l + cosx)解令i吟将、代人被积表达式,2t1+严f 1 + sinx t fdx =J sinx(l + cosx) 2tf 1 (c1)f 17r2、=f-八-2 dt =- + 2f+ lnff)22x71 2 =tunYYI + tan- + llnX tan + c.422 22+ C注意 上面所用的变换/ = tan-对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效2的，但并不意味着在任何场合都是简便的.例5求-一一(血丰0).J a sin x + b cos xdx解

14、由于,=f呼 X - dx f ,(呼 X),a2 sin2 x + b2 cos2 x a1 tan2 x + b2 J a2 tan2 x + b2故令r = tanx,就有dx_ 1 ( (M) a J (at)2 +b21at=arc tanCabb1(a=arctan tanx +C.abI b丿通常当被积函数是sin2 x , cos2 x及sinxcosx的有理式时，米用变换/=tanx往往较为简便.其它特殊情形可因题而异，选择合适的变换.1.5某些无理根式的不定积分151僧为厶型不定积分（加-氐工0）.对此只需令/ =僅乎,就可化为有理函数的不定积分.例6求忙呼.解 令兰，则有

15、2 算也，厶匸 存迸丁力，Y 2厂_1（厂_1）4/2(l-r)(l+r)dt2、1 + r dt-2arctanZ+ C=In1 +J(x + 2)/(x 2)1 _ J(x + 2)/(x 2)-2 arctanlx + 2Vx-2R(x,y/ax2 +bx + c)dx 型不定积分(a0 时 戸一4心HO, avO 时b2 一4gc0 )由于I 2a)4a2解法二若令眛2x 3n则可解出t2+3 t F _加_3x = at,2(/-1)2(/-1广2(/ 1) 2(/-1)于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分:f 2;2t厂=-dt=-c+c2=arc tanV3空二 2=3j

16、+ c.注1可以证明J- 2x - 3 - xJx； 2x - 3 7Tarc tan= arc tan=V3V3(x + 1)3所以两种解法所得结果是一致的此外，上述结果对x0,还可令ICIX2 +hx + C =Xtyc这类变换称为欧拉变换.至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的 求法.需要指出的是，通常所说的“求不定积分S是抬用初等函数的形式把这 个不定积分表示出来.在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求 出”来的例如fetx dx. f, f 血 dxSVl-/：2 sin2 xdx0kz o, 总存在某一正数使得对于a, b的任何分割T,以及在

17、其上任意选取的点集 陆,只要11711 ,只要纟，已切，就有芫于是，当八豳必时,对皓*21,有例8利用牛顿一莱布尼茨公式讣算下列定积分2） aa/4-x2Jx1）解：1)exdx = ex ：exdx算:2)先用不定积分法求出他)=&4一工的任一原函数，然后完成定积分计j* x-x dx =j j4-x（4 -x2）=a2）5 +C冷肛训（冷2.3利用递推关系或解方程j + （n - 1）J； siiih2 xcos2 xdx例 9 汁算sin xx和 J；cosxz/x, = 12. 解当心2时，用分部积分求得Jn = 2 sin xdx = -sini xcosa=（n -1）sin心 x

18、dx - （-1）sin11 xdx=（n - 1）J_2移项整理后得到递推公式:由于sin xdx = 1,重复应用递推式(11)便得7T _（2/77-1）! 7t 2（2w）!2.1 = JML3（2m+ 1）!2m 一 1 2m - 31! 2m 2m - 22_ 2m 2m 一 22曲 _ 2m +1 2m -1cos azZt = -J； cos -t (lt = J(； sin xdx.7 2 )因而这两个定积分是等值的.2.4利用被积函数的某些性质(周期性、对称性等)例10设f在-a, a上可积，证明：若f为奇函数，则jf(x)dx = 0(2)若伪偶函数,贝叮f(x)dx =

19、 2( f(x)dxJ-aJ()解1) f为奇函数，f(-x) =f(x) f(x)dx = f(x)dx = - f(x) dxf(x)dx =f f(x)dx +J：f(x)dx =2f(x)dx2)同理可得，证法同上.例11设f为(-8击国上以p为周期的连续周期函数，证明对任何实数a, 恒有，f(x)dx = f(x)dxJ，f(x)dx= f(x)dx+J：f(x)dx+ f(x)dx 因为f(x)为以p为周期的函数 则有 f(x+p) = f(x) j f(x)dx = f(x +p)dx = f f(x)dx所以:f(x)dx= f(x)dx2.5利用区间可加性例12计算定积分Jm

20、axx,xJ I max x, x2 JrZr = J*( x2dx + xdx + xdx1962.6反常积分的求法在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分S 或是无界函数的“积分”，定义1设函数/（x）定义在无穷区间4+S）上，且在任何有限区间上可 积.如果存在极限lim f(x)clx = Jnwoo 肋 则称此极限为函数 在a, +8）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作j=r /(恥并称.7（小收敛.如果极限不存在，为方便起见，亦称厂/w厶发散由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因

21、此有关定积分的换元积 分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.利用定积分的方法例13计算无穷积分：匚dx + x2解任取实数讨论如下两个无穷积分:r+x dx1+X2由于lima dx H + x2=lim (arctanw 一 arctanzz)TA=arctantz d,2lim仝=lim (arctanv-arctan) r4-xn= -arc tana,2因此这两个无穷积分都收敛山定义1,严dxF dx r+x dx Xl + x2 1 + x2=7T注由于上述结果与“无关，因此若取6/=0,则可使计算过程更简洁些.定义2设函数/（x）定义在区间（匕切 上，在点&的任一右邻域内无界

22、，但在任何内闭区间/A/7上有界且可积如果存在极限则称此极限为无界函数 在(“,b上的反常积分，记作J =并称反常积分/(a-Xv收敛.如果极限不存在，这时也说反常积分/(a-)Ja-发 散.在定义2中，被积函数/在点“近旁是无界的，这时点称为/的瑕点，而无界函数反常积分乂称为瑕积分。类似地，可定义瑕点为方时的瑕积分其中/在上)有定义，在点的任一左邻域内无界，但在任何4ud0)上可 积.若/的瑕点ce(a,b),则定义瑕积分f(xlx= f fWdx+ f(x)dx其中/在sc)u(c,b上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何 SfuS,c)和 W,buc,b)上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时， 左边的瑕积分才是收敛的.