(完整版)数列中的数学思想和方法

1、22ln 2.1数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力桥梁能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下 面我们一起来看一看吧！一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程，研究方程解决问题的方法在解数列问题时，利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组)，是解数列问题基本方法例1已知等差数列an的公差d是正数，且a3a712,a4a64,求其前n项和Sn。解：由等差数列an知:a3a7a4a6，从而玄3玄712,a3a74,故a3, a7是方程X24x120的两根,又d 0,解之，得：

2、a36, a72。再解方程组：a 2d6a1105a 6d2d 2所以Sn10nn(n1)。法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程知三求二点评：本题利用了a3a7a4a6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a?672，再利用方程求得了首项与公差的值， 从而使问题得到解决， 由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想 与anamapaq(或a.amapaq)找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个 数。点评基本量法：性质法 技巧备用：设an是公比大于 1 的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和. 已知 S3= 7,且 ai+ 3,3a2, a3+ 4 构成等差数列.(1) 求数列an的

3、通项；(2) 令 bn= ln a3n+1, n= 1,2,求数列 bn的前 n 项和 Tn.a1+ a2+ a3= 7,解(1)由已知得a1+3+a3+4解得 a2= 2.2= 3a2,2设数列an的公比为 q,由 a2= 2,可得 a1=_, a3= 2q,q22又 S3= 7,可知 一 + 2 + 2q= 7,即 2q2 5q+ 2= 0.q1解得 q1= 2, q2= ?.由题意得 q 1, / q = 2,a1= 1.故数列an的通项为 an= 2n1.由于 bn= ln a3n+1, n = 1,2,，由(1)得 a3n+1= 23n,二 bn= ln 23n= 3nln 2.又

4、bn+1 bn= 3ln 2, bn是等差数列，3n n + 1故 Tn=.Tn= b1+ b2+ + bn=n b1+ bn3n n + 1ln 2.2小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用 常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中，通项公式 an和前 n项和公式 Sn共涉及五个量：ai，an, n, q(d), Sn,其中首项 ai和公比 q(公差 d)为基本量，知三求 二”是指将已知条件转换成关于 ai，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.二、函数思想函数思想是用联系和变化的观点考察数学

5、对象数列是一类特殊的函数，以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.例 2、已知等差数列an中，ai29,Si。S,则该数列前多少项的和最大？ 寻求通项，借助数列的单调性解决又Q ai290，ai50, ai60当n i5时，Sn取得最大值。又a 29，d 2an29 (n i) ( 2) 2n 3i令an0,Q n i5,n N，所以数列首项为正，公差为负，前i5项为正，从第i6项开始为负,i5 i4所以前i5项的和最大，且S5i5ai225。思路 2:从函数的代数角度来分析数列问题i0 9解：Q Si0S20, i0aid 20ai2又ai29,d 2Snan (n i)dn23

6、0n10 920 19解QS10S20,10a1d 20a1d,22又a129,d 2an29(n 1)(2)2n 31令an0,Q n 15, nN，所以数列首项为正，公差为负,前15项为正,从第16项开始为负，所以前15项的和最大15 14S1515a1d225。2巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性解:QSi0S20,aiiai2ai3Lai9a200,由等差数列下标的性质可得:5(ai5ai6)0，d2a20aii3Snnaidn30nn i22(n i5)225当n i5时，Sn取得最大值225。思路 3 :从函数图象入手，数形结合2解：设SnAn Bn，数列对应的图象是过原点的

7、抛物线上孤立的点，又Q a129 0,So S20,42当n 15时，Sn取得最大值。四种方法的比较设数列an的公差为d,TSo=S20,0X920X19 10X29+d=20X29+d,2 2解得d= 2,- an= 2n+ 31,设这个数列的前n项和最大，an0, 则需an+1w0,2n+ 310,即2n+ 1+ 3K 0,-14.5wnW15.5,n N ,n=15.方法二 设数列an的公差为d,/S10=S20,10X920X1910X29+d=20X29+d,解得d= 2.d2d等差数列an的前n项和S=尹2+ (a1刁n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称, 10+ 2

8、0性，由$0=$0,知x=2= 15 是其对称轴，由d= 2 知二次函数的图象开口向下， 故n= 15 时Sn最大.备用：数列an中，anm21 n, n N，求数列an的最大项。.小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n 项和的最值问题，避免了复杂的运算过程.数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑 采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3 ,，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响.三、分类讨论思想复杂问题无法一次性解决，常需分类研究，化整为零，各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的 问题.分类讨论是一种

9、逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略，在数学解题中有广泛的应用 .所谓分类讨论，是在讨论对象明确的条件下，按照同一的分类标准，不重复、不遗漏、不越级的原则下进行 的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法例3、已知等差数列an的前n项的和Sn32n，求an。解：(1)当n 1时，a s15；(2)当n 2时，anSnSn 12n2n12n1；对称轴为n10 2015且开口向下，105综合(1) (2)可知an2n 1n 2点评：此例从分的体现了an与sn的关系中隐含了分类讨论思想, 必须为正整数。2备用：已知数列bn的前n项和snn18n,试求数列bn的前n项和Tn的表达式 分析：解

10、题的关键是求出数列bn对值.故需分类探讨.解：当 n=1 时，b-i当 n2时，2bnSnSn 1n当 1n9时，bn当 1n 10 时，bn0.从而bn|18n；b1b2Sn1n22n时,Tn=bib2bn=b12nbg do18n 2( 9218b2bnSn2Sg9)n218n162.n218n,(12n 18n 162,( n小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比近几年高考的热点-Tn=9)10)q、项数 n的讨论，特别是对项数 n 的讨论成为四、整体的思想整体思想就是从整体着眼，通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题 的目的例4、在等差数列 an中,已知ai

11、a4ay9,a2a5a815, 求a3a6ag的值。解:Q a2asa8(a1a4a7)3d,d 2,a3a6ag(a2asa8)3d21例 4、在等比数列a*中，aga10a(a0),a1ga20b,分析贝V agga100_ .根据题设条件可知a19+ a20a9+ a1010a99+ a100而=q90，故可整体代入求解.a9+ a10解析设等比数列an的公比为 q,6107ai9+ a20则=qa9+ aio故 a99+ aioo=答案b8a小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求 出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重

12、要的备用：已知数列bn为等差数列，前 12 项和为 354，前 12 项中奇数项和与偶数项和之比为 27:32 ,求公差 d . 分析：此题常规思路是利用求和公式列方程组求解, 想去解决,解法十分简捷.解：由题意令奇数项和为 27x，偶数项和为 32x. 因为：気27x 32x 59x 354,所以：x 6.而32x 27x 5x 306d, d 5.五、转化与化归的思想等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法 .例 5.已知数列an的首项ai1，前n项和为Sn，且Sn 14an2(n N*)，求an的通项公式。

13、分析与略解：当 n2 时，Sn 14an2,Sn4an 12。两式相减，得an 1Sn 1Sn4an4an 1,可见an 12an是公比为 2 的等比数列。得a25,则a22a13。因此an 12an3 2n 1两边同除以2n 1，得13，公差为丄的等差数列。因此24从而an(3n1)2nba，a99+ aioo又a9+ aio90/ 10、9=q = (q )=计算量较大，注意考虑用整体思an 12 an2(an2anJ。又a1a2S24a12,a11,an 12* 1an2n33(常数)，4an2f(n 1)48评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列

14、，随 着化归的进行。问题降低了难度。109六、类比的思想方法女口：数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数以及等差数列与等比数列之间概念和性质的类比等。类比等差数列的通项、性质、前n 项和，可以得出对等比数列相应问题的研究;类比函数概念、性质、表达式，可以得出对数列、等差数列、等比数列相应问题的研究。类比思想 的应用是本章的主要特色。还有一些重要的思想方法，如递推思想、从特殊到一般、数形结合、构造模型等思想方法。数列问题应用数学思想方法来解决非常重要，具体应用在数学解题中灵活多变，如果我们掌握 了数学思想方法解题的一些常用技巧，在解决数列的时候认真分析，巧妙地应用八种数学思想方法 中

15、的一种来解决，那么解题就变得简单多了在高中数学中，我们也可以应用这些思想方法来解决 相关数学问题并且学好这些思想方法我们也可以来解决其它数学知识方面的难点问题预习作业：1 设数列an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和(n N ),2且E_9S2,S44S2，则数列an的通项公式为 答案 an= 36(2 n 1)解析 设等差数列 an的公差为 d,由前 n 项和的概念及已知条件得a2= 9(2ai+ d),4ai+ 6d= 4(2ai+ d ) 由得 d = 2ai,代入有 a1= 36ai,解得 ai= 0 或 ai= 36.将 ai= 0 舍去.因此 ai= 36, d= 72,故数列an的通项公式为 an= 36+ (n i) 72= 72n 36= 36(2n i).2.若