3离散傅里叶变换解析

1、第3章 离散傅里叶变换 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 引言引言 3.2 傅里叶变换的几种可能形式傅里叶变换的几种可能形式 3.3 周期序列的离散傅里叶级数（周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 3.4 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）的性质）的性质 3.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT） 3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 3.7 抽样抽样z变换变换频域抽样理论频域抽样理论 1 第3章 离散傅里叶变换 3.1 引引 言言 由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要，可以用

2、限长序列在数字信号处理中就显得很重要，可以用 z变变换和序列的傅里叶变换来研究它。但是，这两种变换无换和序列的傅里叶变换来研究它。但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（换（Discrete Fourier Transform，简写为，简写为DFT）。）。 作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的变换除了在理论上相当重要之外，而且由

3、于存在有效的快速算法快速算法快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。号处理的算法中起着核心作用。 2 第3章 离散傅里叶变换 3.2 傅里叶变换的几种可能形式傅里叶变换的几种可能形式 一连续时间、连续频率一连续时间、连续频率 傅里叶变换傅里叶变换 正变换：正变换： X(j?)?x(t)e1反变换：反变换： x(t)?2?j?tdtj?t?X(j?)ed?时域：时域：连续连续非周期非周期的时间函数的时间函数 频域：频域：非周期非周期连续连续的频谱函数的频谱函数 图图3-1连续非周期信号及其连续非周期信号及其 非周期、连续的频谱密度非周期

4、、连续的频谱密度 3 第3章 离散傅里叶变换 二连续时间、离散频率二连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数 1正变换：正变换： X(jk?0)?T0?T0/2?T0/2x(t)e?jk?0tdt反变换：反变换： x(t)?k?X(jk?)e0?jk?0t其中：时域周期为其中：时域周期为T0； 0 = 2 / T0为频域谱线角频率间隔为频域谱线角频率间隔 k 为谐波序号为谐波序号 时域：时域：连续连续周期周期的时间函数的时间函数 频域：频域：非周期非周期离散离散的频谱函数的频谱函数 图图3-2连续周期信号及连续周期信号及 其非周期的离散谱线其非周期的离散谱线 4 第3章 离散傅里叶变换 三离散时

5、间、连续频率三离散时间、连续频率 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 正变换：正变换： X(e )?1反变换：反变换： x(n)?2?j?n?x(n)e?j?j?n?X(e)ej?nd? 由于序列由于序列x(n)可以看成是由模拟信号的抽样可以看成是由模拟信号的抽样得到的，现假设抽样时间间隔为得到的，现假设抽样时间间隔为T，抽样频率，抽样频率12?fs?,?s?为为 ，则变换对也可写成，则变换对也可写成 TT正变换：正变换： X(ej?T)?n?x(nT)e?s/2?s/2?jn?T1反变换：反变换： x(nT)?sX(ej?T)ejn?Td?5 第3章 离散傅里叶变换 时域：时域：离散离散非周期

6、非周期的时间函数的时间函数 频域：频域：周期周期连续连续的频谱函数的频谱函数 总结：总结：1 1）时域的连续对应频时域的连续对应频域的非周期，时域的非周期域的非周期，时域的非周期对应于频域的连续；时域的对应于频域的连续；时域的离散对应频域的周期，时域离散对应频域的周期，时域的周期对应频域的离散。的周期对应频域的离散。 2）三种变换中至少有一个三种变换中至少有一个域上是连续的，这不适于应域上是连续的，这不适于应图图3-3 离散非周期信号及离散非周期信号及 其周期性的连续谱密度其周期性的连续谱密度 用数字系统进行信号的处理用数字系统进行信号的处理. . 6 第3章 离散傅里叶变换 四离散时间、离散

7、频率四离散时间、离散频率 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 时域：时域：离散离散周期周期的时间函数的时间函数 频域：频域：周期周期离散离散的频谱函数的频谱函数 离散傅里叶级离散傅里叶级数数 图图3-4 3-4 离散周期的时间函数及其周期离散的频谱函数离散周期的时间函数及其周期离散的频谱函数 7 第3章 离散傅里叶变换 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)对对: 正变换：正变换： X(k)?x(n)en?0N?1?j2?knN 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)对为对为 ： 正变换：正变换： X(k)?x(n )en?0N?1?j2?nkN1反变换：反变换： x(n)?N?X(k)ek?0N?

8、1j2?knN1反变换：反变换： x(n )?X(k)eNk?0N?1j2?nkN说明：说明：离散傅里叶变换相当于把序列的连续傅里离散傅里叶变换相当于把序列的连续傅里叶变换加以离散化（抽样），频域的离散化造成叶变换加以离散化（抽样），频域的离散化造成时间函数也呈周期，故级数应限制在一个周期之时间函数也呈周期，故级数应限制在一个周期之内（教材内（教材P100）。）。 8 第3章 离散傅里叶变换 表表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数时间函数 连续和非周期连续和非周期 频率函数频率函数 非周期和连续非周期和连续 FT FT 2?0?非周期和离散（非周期和离散（ ）

9、FS FS T02?s?周期（周期（ ）和连续）和连续 DTFT DTFT T2?2?0?周期（周期（? ）和离散（）和离散（ s?T0）T连续和周期连续和周期(T0) 离散离散(T)和非周期和非周期 离散离散(T)和周期和周期(T0) DFS DFS 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT DFT 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现 结论结论 一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，而一个域的非周期必定对应另一个域的连续。而一个域的非周期必定对应另一个域的连续。 9 第3章 离散傅里叶变换 3.3 周期序列的离

10、散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 一周期序列离散傅里叶级数（一周期序列离散傅里叶级数（DFS）的引入）的引入 x(n)是一个周期为是一个周期为N的周期序列，的周期序列， 即即 设设 x(n)?x(n?rN) r为任意整数为任意整数 周期序列不是绝对可和的，故不能进行周期序列不是绝对可和的，故不能进行z变换，因变换，因为在任何为在任何z值下，其值下，其z变换都不收敛，也就是变换都不收敛，也就是 n?n?|x(n)|z|? ?但周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，该级数但周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于周期为相当于周期为N的成谐波关系的复指数序列之和。的成谐波关系的复

11、指数序列之和。 10 第3章 离散傅里叶变换 e1(n)ek(n)?ek? rN(n)复指数序列复指数序列ek(n)对对k呈现周期性，周期也为呈现周期性，周期也为N。也就是说。也就是说, 离离散傅里叶级数的谐波成分只有散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，因而将周期序列个独立量，因而将周期序列展开成离散傅里叶级数时，只需取展开成离散傅里叶级数时，只需取k=0 到到N-1这这N个独立谐波个独立谐波分量即可。分量即可。故故 可展成如下的离散傅里叶级数，即可展成如下的离散傅里叶级数，即 x(n)2?knN1x(n)?N?X(k)ek?0N?1jk次谐波次谐波的系数的系数 11 第3章 离散傅里叶变换

12、 x(n)的的k次谐波系数次谐波系数 X(k)的求法的求法 二二. 预备知识：预备知识： 1N?en?0N?1j2?rnN?1, r?mN ,1 1?e?2?jr0,其他rN?N1?ej2?knNj2?rNNm为整数为整数 （3-14） 1x(n)?N?X(k)ek?0N?1?x(n)en?0N?1?j2?rnN1?Nn?0N?1jN?1N?1?k?0X(k)ej2?(k?r)nN?k?0N?1? 1X(k)?e?Nn?02?(k?r)nN?X(r)?mN )?j2?knNX(k)?X(k?mN )可证明可证明: : X(k)为一个周期为为一个周期为N即即 的周期序列的周期序列 X(k)?x(

13、n)en?0N?112 第3章 离散傅里叶变换 N?1n?02?knN正变换：正变换： X(k)?x(n)e1x(n)?反变换：反变换： NN?1k?0?j周周期期序序列列的的离离散散傅傅里叶级数里叶级数(DFS)对对 j2?knN?X(k)e说明：说明：时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即x(n)是频域与是频域与其系数）仍然是一个周期序列，其系数）仍然是一个周期序列， X(k)与与 时域的一个周期序列对，是一对相互表达周期序列时域的一个周期序列对，是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数关系（这个关系是非常对称的），的离散傅里叶级数关系（这个关系是非常对

14、称的），因此我们把上两式一起看作是因此我们把上两式一起看作是 周期序列的离散傅里周期序列的离散傅里叶级数（叶级数（DFS）对。）对。 13 第3章 离散傅里叶变换 三三. 离散傅氏级数的习惯表示法离散傅氏级数的习惯表示法 定义定义 WN?e?j2?N离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）对变为）对变为 X(k)?DFS x(n)?x(n)en?0N?1N?1?j2?nkN?x(n)Wn?0N?1nkN1x(n)?IDFS X(k)?X(k)eNk?0j2?nkN1N?1?nk?X(k)WNNk?0式中：式中：DFS表示离散傅里叶级数正变换，表示离散傅里叶级数正变换， IDFS表示离散傅里叶级

15、数反变换。表示离散傅里叶级数反变换。 14 第3章 离散傅里叶变换 例例3-1（教材（教材P103） 用DFS证明 1?(n?iN)?e?Nk?0i?N?1j2?nkN证明：该式说明周期性抽样序列串可以用复指数之证明：该式说明周期性抽样序列串可以用复指数之和来表示。具体证明过程见教材和来表示。具体证明过程见教材P104。 15 第3章 离散傅里叶变换 x(n)是周期为是周期为例例3-2（教材（教材P104）如图如图3-6（a）所示，）所示， N=10周期性矩形序列，其一个周期可表示为周期性矩形序列，其一个周期可表示为 ?1, 0?n?4x(n)?0, 5?n?9j?（3-27） x(n)的离散

16、傅里叶级数的系数的离散傅里叶级数的系数 x(n)的的试讨论试讨论 X(k)与与 一个周期一个周期x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 X(e )的关系。的关系。 (n)的傅里叶级数为的傅里叶级数为 解：解：1）x X(k)?x(n)Wn?0?j?k 29kn10?Wn?04kn10?en?04?j2?kn101?e?j?k 51?e?j?ke(e?e)?j2?k 5sin(?k/2)（3-28） ?j?k 10j?k 10?j?k 10?ee(e?e)sin(?k/10)16 j?k 2?j?k 2第3章 离散傅里叶变换 图图3-6(a) 周期性矩形序列周期性矩形序列 图图3-6 (b) 周期性矩

17、形序列的离散傅里叶级数的系数的幅度周期性矩形序列的离散傅里叶级数的系数的幅度 17 第3章 离散傅里叶变换 2）周期序列）周期序列 x(n)的一个周期的有限长序列的一个周期的有限长序列x(n)的傅的傅里叶变换为：里叶变换为： X(e )?x(n)ej?n?04?j?n4?en?0?j?n1?e?j2?sin(5?/2)?e?j?1?esin(?/2)?j5?对比对比（3-28）式）式可见可见 X(k)?X(e )j?2?k/10?e?j2?k5sin(?k/2)sin(?k/10)x(n)的傅里叶级数的系数的傅里叶级数的系数 说明：说明：周期序列周期序列 X(k)等于等于 ? ( e j )

18、在在= 2 k/Nx(n)的一个周期的一个周期x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 X（这里（这里N=10，即为，即为 x(n)的周期）上的抽样值。的周期）上的抽样值。 18 第3章 离散傅里叶变换 |X(ej?)| 5o?2?3?4?图图 3-8 图图3-6和图和图3-7的重叠图，它表明一个周期序列的的重叠图，它表明一个周期序列的DFS 图图 3-7 对图对图3-6所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值 系数等于周期序列一个周期上的序列的傅里叶变换的采样系数等于周期序列一个周期上的序列的傅里叶变换的采样 19 第3章 离散傅里叶变换 3.4 离散傅里叶级数的性质

19、离散傅里叶级数的性质 x1(n) 和和 x2(n)皆是周期为皆是周期为N的周期序列，它们的周期序列，它们各自的各自的DFS分别为：分别为： X1(k)?DFS x1(n),X2(k)?DFS x2(n)一一. . 线性线性 DFS ax1(n)?bx2(n)?aX1(k)?bX2(k)（3-30） 式中式中a和和b为任意常数，所得到的频域序列也是周为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为期序列，周期为N。 20 第3章 离散傅里叶变换 二二. . 序列的移位序列的移位 DFS x(n?m )?W?mkNX(k)?e2?jmkNX(k)（3-31） 证证: : DFS x(n?m )?x

20、(n?m )Wn?0N?1nkNN?1?m?i?mx(i)W WkiN?mkNW都是以都是以N为周期的周期函数，为周期的周期函数， x(i)及及 由于由于 N?1?mkiN?i?mx(i)W?x(i)W?X(k)kiNkiNi?0N?1 故故 DFS x(n?m )?W?mkN?x(i)Wi?0N?1kiN?W?mkNX(k)21 第3章 离散傅里叶变换 三调制特性三调制特性 DFS W x(n)?X(k?l)lnN（3-32） ?j2?lnN或或 IDFS X(k?l)?W x(n)?elnN2?jlnNx(n)证证: : lnNW?elnN?e?lnN2?jnN?lDFS W x(n)?W

21、 x(n)Wi?0N?1knN?x(n)Wn?0N?1(l?k)nN?X(k?l)说明说明 ?j该性质表明对周期序列在时域乘以复指数该性质表明对周期序列在时域乘以复指数 的的le2?nN次幂，则相当于在频域搬移次幂，则相当于在频域搬移l，称为调制特性。，称为调制特性。 22 第3章 离散傅里叶变换 四对偶性四对偶性 X(k)?DFS x(n)?x(n)en?0N?1N?12?jnkN?x(n)Wn?0N?1N?1nkN1x(n)?IDFS X(k)?X(k)eNk?0j2?nkN1?nk?X(k)WNNk?01从从DFS和和IDFS公式看出，它们只差公式看出，它们只差 N 因子和因子和WN的指

22、的指数的正负号数的正负号,故周期序列故周期序列x (n)和它的和它的DFS系数系数 X(k)是同是同一类函数，即都是离散周期的，因而也存在着一定的一类函数，即都是离散周期的，因而也存在着一定的对偶关系。可证明对偶关系如下：对偶关系。可证明对偶关系如下： DFS x(n)?X(k)DFS X(n)?Nx (?k) （3-35） （3-36） 23 第3章 离散傅里叶变换 五五. 周期卷积周期卷积 如果如果 则则 Y(k)?X1(k)?X2(k)N?1N?1y(n)?IDFS Y(k)?x1(m )x （） ?x2(m )x （）(3-37) 2n?m1n?mm?0m?0证证: : 1?kny(n

23、)?IDFS X1(k)X2(k)?X1(k)X（ ）WN2kNk?0N?1代入代入 X1(k)?x1(m )Wm?0N?1mkN24 第3章 离散傅里叶变换 得得 1y(n)?NN?1?(n?m)k?x1(m )X （2k）WNk?0m?0N?1N?1?1?x1(m )?m?0?NN?1?k?0N?1?(n?m)k?X （2k）WN?x1(m )x2(n?m )m?0将变量进行简单换元，即可得等价的表示式将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 y(n)?x2(m )x（1n?m）m?0N?125 第3章 离散傅里叶变换 由于由于DFS和和IDFS变换的对称性，可证明变换的对称性，可证明 时域

24、周期序时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果。即，如果 y(n)?x1(n)x2(n)则则 Y(k)?DFS y(n)?y(n)WNnkn?0N?11N?11N?1?X1(l)X2(k?l)?X2(l)X1(k?l)Nl?0Nl?0周期卷积和线性卷积的差异周期卷积和线性卷积的差异 x(n?m )x (m )x (n?m )1）x 和和 （或（或 和和 ）都是变量）都是变量m的的(m )1221周期序列，周期为周期序列，周期为N，故乘积也是周期为，故乘积也是周期为N的周期序列；的周期序列； 2）求和只在一个周期上进行，即）求和只在一个周期上进

25、行，即m =0到到N-1，所以称为，所以称为周期卷积。周期卷积。 26 第3章 离散傅里叶变换 计算周期卷积的说明计算周期卷积的说明 1 1）周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。移入计算区间。 2 2）运算在）运算在m =0到到N-1区间内进行，即在一个周期内区间内进行，即在一个周期内将将 ? m )与与 逐逐点点相相乘乘后后求求和和，先先计计算算出出x x2 (n1(m )n=0,1, , N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，的结果，然后将所得结

26、果周期延拓，就得到所求的整个周期序列。就得到所求的整个周期序列。 27 第3章 离散傅里叶变换 计算区计算区 图图3-8 两个周期序列（两个周期序列（N=6）的周期卷积过程）的周期卷积过程 28 第3章 离散傅里叶变换 3.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT） 有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示 一一. DFT的定义的定义 x(n)的关系的关系 1有限长序列有限长序列x(n)和周期序列和周期序列 设设x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为N，即，即 ?x(n) 0?n?N?1?x(n)?其他n?0为了引用周期序列的概念，可将它视为周期为为了引用周期序列的概念，可

27、将它视为周期为Nx(n)x(n)看成看成x(n)的的的周期序列的周期序列 的一个周期，而把的一个周期，而把 以以N为周期的周期延拓，为周期的周期延拓， 即表示成即表示成: 29 第3章 离散傅里叶变换 ?x(n) 0?n?N?1?x(n)?其他n?0 x(n)?r?(3-39) (3-40) ?x(n?rN)? 这个关系可以用这个关系可以用下图下图来表明。来表明。 把周期序列把周期序列x (n)的第一个周期的第一个周期n=0=0到到n= =N-1-1定义为定义为(n)主值区间内的序列主值区间内的序列“主值区间主值区间”。周期序列。周期序列x x( (n) )称作称作“主值序列主值序列”。 x(

28、n)与与 x(n)的关系可以这样描述：的关系可以这样描述： x(n)是是x(n)的周期延拓的周期延拓 x(n)的主值序列的主值序列 x(n)是是 30 第3章 离散傅里叶变换 图图 有限长序列及其周期延拓有限长序列及其周期延拓 31 第3章 离散傅里叶变换 周期序列还可表示为余数运算表达式的形式，即周期序列还可表示为余数运算表达式的形式，即 x(n)?x(nmod N)?x(n)N如果如果 n?n1?mN则有则有 0 n1N-1, m为整数表示（表示（n模模N）,即即“n 对对NN?n?n1?取余数取余数” ,或称或称“n对对N取取模值模值” ?n1?是是 其中其中 ?n?N的余数。的余数。

29、x(n)是周期为是周期为N=9的序列，则有：的序列，则有： 例：例：设设 x(?5)?x?5?9?x(4)x(25)?x?25?9?x(7)(2-26) 32 x(8)?x(8)9? x(8)第3章 离散傅里叶变换 x(n)的关系表示成的关系表示成 利用矩形序列利用矩形序列RN(n)，可将，可将x(n)与与 x(n)?x?n?Nx(n)?x(n)RN(n)?x?n?NRN(n)(3-41) (3-42) X(k)与有限长序列与有限长序列X(k)的关系的关系 2. 周期序列周期序列 频域的周期序列频域的周期序列 X(k)可看成是对有限长序列可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列的周

30、期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列可看成是周期序列 X(k)的主值序列，即的主值序列，即: X(k)?X(k)NX(k)?X(k)RN(k)?X(k)NRN(k)(3-43) (3-44) 33 第3章 离散傅里叶变换 3. 从从DFS到到DFT DFS与与IDFS的表达式为：的表达式为： X(k)?DFSx(n)?x(n)Wn?0N?1N?1nkN1?nkx(n)?IDFS X(k)?X(k)WNNk?0则则有限长序列的离散傅里叶变换的定义有限长序列的离散傅里叶变换的定义: : X(k)?DFTx(n)?x(n)W ,正变换：正变换： nkNn?0N?10?k?N?11?nk(n)

31、?IDFT X(k)?X(k)WN,反变换：反变换：x Nk?0N?10?n?N?134 第3章 离散傅里叶变换 或简练的表示成或简练的表示成 X(k)?x(n)W RN(k)?X(k)RN(k)nkNN?1(3-45) (3-46) 1?nkx(n)?X(k)WNRN(n)?x(n)RN(n)Nk?0n?0N?1x(n)和和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。称式称式(3-45)为为x(n)的的N点离散傅里叶变换点离散傅里叶变换(DFT), 称式称式(3-46)为为X(k)的的N点离散傅里叶反变换点离散傅里叶反变换(IDFT)。 说明说明 凡是说到

32、离散傅里叶变换关系之处，有限长序凡是说到离散傅里叶变换关系之处，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性意义。有周期性意义。 35 第3章 离散傅里叶变换 例（补充）：例（补充）：已知已知x(n)=cos( n/6)是一个长度是一个长度N=12的的有限长序列，有限长序列， 求它的求它的N点点DFT 解：解： 由由DFT的定义式的定义式 。 n?nkX(k)?cosW126n?011n?n?j?j?1?e6?e6n?02?11?nk?j212e?1?e2?n?011?j2?n(k?1)12?en?011?j2?n(k?1)12?(0

33、?k?11)利用复指数序列的正交特性，再考虑到利用复指数序列的正交特性，再考虑到k的取值区的取值区间，可得间，可得 ?6 k?1,11X(k)?0 其他k,k?0,1136 第3章 离散傅里叶变换 x(n)X(k)0 1 211n0111n图图 有限长序列及其有限长序列及其DFT 37 第3章 离散傅里叶变换 二二. DFT与序列傅里叶变换、与序列傅里叶变换、z变换的关系变换的关系（补充）（补充） 若若x(n)是一个有限长序列，长度为是一个有限长序列，长度为N，其，其z变换变换 2?X(z)?x(n)z?kW?表明表明 是是z平面单位圆上幅角为平面单位圆上幅角为? Nn?0的点，也即将的点，也

34、即将z平面单位圆平面单位圆N等分后的等分后的?k第第k点，故点，故X(k)也就是对也就是对X(在在 z平面单平面单z?WNz)比较比较Z变换与变换与DFT，我们看到，当，我们看到，当 时时位圆上位圆上NN?1点等间隔采样值点等间隔采样值 nkX(z)z?W?k?x(n)WN?DFT x(n)?kNN?1?nNn?0即即 X(k)?X(z)z?W?k?ej(2N?)kNDFT与与z变换的关系变换的关系 38 第3章 离散傅里叶变换 此外，此外， 由于序列的傅里叶变换由于序列的傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的即是单位圆上的z变换，可得变换，可得 DFT与序列傅里叶变换的关系为与序列傅里叶变换的关

35、系为 ?X(k)?X(ej?)2?X(ejk?N)?k?N?2?N?N?上式说明上式说明X(k)也可看作序列也可看作序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在在区区间间0,2 上上的的N点点等等间间隔隔采采样样,其其采采样样间间隔隔为为N=2 / N,这就是这就是DFT的物理意义。的物理意义。 注意：注意：DFT的变换的变换区间长度区间长度N不同不同,表示对表示对X(ej)在区间在区间0,2 上的采样上的采样间隔和采样点数不同，故间隔和采样点数不同，故DFT变换结果也不同。变换结果也不同。 39 第3章 离散傅里叶变换 jIm(z) o?2WN?1WN0WNk0?(N?2)WN?(N?3

36、 )WNX(ej?)X(k)Rezo?图图 DFT与序列傅里叶变换、与序列傅里叶变换、z变换的关系变换的关系 40 第3章 离散傅里叶变换 3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 设序列都是设序列都是N点有限长序列，用点有限长序列，用DFT表示表示N点点DFT，且设，且设: DFTx1(n)=X1(k)， DFTx2(n)=X2(k) 一一. . 线性线性 DFT ax1(n)?bx2(n)?aX1(k)?bX2(k)式中，式中，a, b为任意常数。该式可根据为任意常数。该式可根据DFT定义证明。定义证明。 41 第3章 离散傅里叶变换 二二. . 序列的圆周移位序列的圆周移位（）

37、1. 定义：定义： 一个长度为一个长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)的圆周移位定义为：的圆周移位定义为： xm(n)=x(n+m )NRN(n) 圆周移位的过程：圆周移位的过程： （3-50） 1）将将x(n)以以N为为周周期期进进行行周周期期延延拓拓得得到到周周期期序序x(n)?x(n)N列列 ; 2）将）将 加以移位，得到加以移位，得到 x(n?m )?x(n?m )x(n)N3）对移位的周期序列）对移位的周期序列 x(n ?m )取主值区间（取主值区间（n=0 到到N-1）上的序列值，即）上的序列值，即x(n+m )NRN(n)。 42 第3章 离散傅里叶变换 x(n)2(a)0N

38、1n(e)oN2N1x(n)1n 0 x(n)(b)0N1n( f )21n 0N2N1x(n?2)?x(n?2)N(c)0N1n( g )21n 0 x(n?2 )NRN(n)(d )0N1nN2N1图图 圆周移位过程示意图圆周移位过程示意图 43 第3章 离散傅里叶变换 显然一个有限长序列显然一个有限长序列x(n)的圆周移位序列的圆周移位序列xm(n)仍仍然是一个长度为然是一个长度为N的有限长序列的有限长序列,见上图见上图(a)( d)。 由由图图可可见见,由由于于是是周周期期序序列列的的移移位位,故故只只观观察察 0 nN-1 这一主值区间时这一主值区间时,某一采样从该区间的一端某一采样

39、从该区间的一端移出时移出时,与其相同值的采样又从该区间的另一端循环与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。移进。因而因而,可以想象可以想象x(n)是排列在一个是排列在一个N等分的圆周等分的圆周上上,序列序列x(n)的圆周移位的圆周移位, 就相当于就相当于x(n)在此圆周上旋在此圆周上旋转转,如上图如上图(e) (g)所示所示,因而称为圆周移位。因而称为圆周移位。若将若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转; 将将x(n)向右圆向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。周移位时，此圆是逆时针旋转。 此外，如果围绕圆此外，如果围绕圆周观察几圈，周观察几圈， 那么看到

40、的就是周期序列那么看到的就是周期序列 x(n)。 44 第3章 离散傅里叶变换 2. 时域圆周移位定理时域圆周移位定理 (教材教材P112) 设设x(n)是长度为是长度为N的有限长序列，的有限长序列，xm(n)为为x(n)圆周移位，即圆周移位，即 xm(n)?x(n?m )NRN(n)则圆周移位后的则圆周移位后的DFT为为 Xm(k)?DFT Xm(n)?DFT x(n?m )NRN(n)?W证：证：利用周期序列的移位性质加以证明。利用周期序列的移位性质加以证明。 DFS x(n?m )N?DFS x(n?m )?W?mkN?mkNX(k)X(k)（据（据DFS和和DFT关系）关系） DFT

41、x(n?m )NRN(n)?DFT x(n?m )RN(n)?W?mkNX(k)RN(k)?W?mkNX(k)45 第3章 离散傅里叶变换 3. 频域圆周移位定理频域圆周移位定理(教材教材P113) 对于频域有限长序列对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在，也可看成是分布在一个一个N等分的圆周上，所以对于等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质： 若若 X(k)?DFT x(n)则则 IDFTX(k?l)NRN(k)?W x(n)?enlN?j2?nlNx(n)这就是这就是调制特性调制特性

42、。它说明，。它说明，时域序列的调制等效于时域序列的调制等效于频域的圆周移位。频域的圆周移位。 46 第3章 离散傅里叶变换 三三. 圆周卷积圆周卷积（） 1时域圆周卷积定理时域圆周卷积定理 （0 nN-1），且有：），且有： 频域序列相乘，乘积频域序列相乘，乘积的的IDFT等等于于它它们们各各自自IDFT的圆周卷积的圆周卷积 设设x1(n)和和x2(n)都都是是点点数数为为N的的有有限限长长序序列列DFT x1(n)?X1(k),DFT x2(n)?X2(k)称该运算为称该运算为x (n)和和1若若 x (n)的的N点点圆圆周周卷卷2Y(k)?X1(k)X2(k)积积 则则 ?y(n)?IDF

43、T Y(k)?x1(m )x2(n?m )N?RN(n)?m?0?N?1?N x2(n)?x2(m )x1(n?m )N?RN(n)?x1(n)?m?0?47 N?1第3章 离散傅里叶变换 x2(n)作周期卷积作周期卷积x1(n)和和 证：证： 这个卷积相当于周期序列这个卷积相当于周期序列 后再取其主值序列。先将后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓，周期延拓， 即即 Y(k)?X1(k)X2(k)（据（据DFS的周期卷积公式）的周期卷积公式） N?1N?1y(n)?x1(m )x2(n?m )?x1(m )Nx2(n?m )Nm?0m?0（ ） y(n)?y(n)RN(n)?x1(m )x2

44、(n?m )NRN(n)m?0N?1经过简单换元，也可证明经过简单换元，也可证明 y(n)?x2(m )x1(n?m )NRN(n)m?0N?148 第3章 离散傅里叶变换 圆周卷积过程圆周卷积过程 1）画出）画出x1(m )和和x2(m )； 2）将将x2(m )周期化，形成周期化，形成x2(m )N； 3）反转形成）反转形成x2(- m )N，取主值序列得取主值序列得x2(- m )NRN(m ), 称之为称之为x2(m )的圆周反转的圆周反转; 4)对对x2(m )的圆周反转序列的圆周反转序列x2(- m )NRN(m )圆周移位圆周移位n，形成形成x2(n-m )NRN(m )； 5)

45、当当n=0,1,2,N-1时，分别将时，分别将x1(m )与与x2(n-m )NRN(m )相乘相乘,并在并在m =0 到到N-1 区间内求和区间内求和,得到圆周卷积得到圆周卷积y(n)。 卷积过程可以用卷积过程可以用图图3-12来表示。来表示。 49 第3章 离散傅里叶变换 x2(1m )NRN(m )1oN1x2(2m)NRN(m)m1oN1N(n)y(n)x1(n) x2m332211N1no图图 3-12 圆周卷积过程示意图圆周卷积过程示意图 50 第3章 离散傅里叶变换 特点特点 1）它和周期卷积过程是一样的，只不过要取主值序列）它和周期卷积过程是一样的，只不过要取主值序列. 2）两

46、个长度小于等于）两个长度小于等于N的序列的的序列的N点圆周卷积长度仍为点圆周卷积长度仍为N，这与一般的线性卷积不同。，这与一般的线性卷积不同。 N 圆周卷积用符号来表示。圆周卷积用符号来表示。 圆周内的圆周内的N表示所作表示所作的是的是N点圆周卷积。则时域圆周卷积公式又可写作点圆周卷积。则时域圆周卷积公式又可写作 y(n)?x1(n)或或 N x2(n)?x1(m )x2(n?m )NRN(n)m?0N?1y(n)?x2(n)N x1(n)?x2(m )x1(n?m )NRN(n)m?051 N?1第3章 离散傅里叶变换 2频域圆周卷积定理频域圆周卷积定理 若若 y(n)?x1(n)x2(n)

47、x1(n)，x2(n)皆为皆为N点有限长序列，则点有限长序列，则 1N?1Y(k)?DFTy(n)?X1(l)X2(k?l)NRN(k)Nl?011?X2(l)X1(k?l)NRN(k)?X1(k)Nl?0NN?1N X2(k)上式说明：上式说明：时域序列相乘，乘积的时域序列相乘，乘积的DFT等于各个等于各个DFT的圆周卷积再乘以的圆周卷积再乘以1/ N。 52 第3章 离散傅里叶变换 四四. 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积（） 时域圆周卷积在频域上相当于两序列的时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的的乘积乘积,而计算而计算DFT可以采用它的快速算法可以采用它

48、的快速算法快速傅快速傅里叶变换（里叶变换（FFT),因此圆周卷积与线性卷积相比因此圆周卷积与线性卷积相比,计计算速度可以大大加快。但是实际问题大多总是要求算速度可以大大加快。但是实际问题大多总是要求解线性卷积解线性卷积,例如信号通过线性时不变系统例如信号通过线性时不变系统,其输出其输出就是输入信号与系统的单位抽样响应的线性卷积。就是输入信号与系统的单位抽样响应的线性卷积。 研究研究 内容内容 ?如果信号以及系统的单位抽样响应都如果信号以及系统的单位抽样响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢？运算来代替线性卷积运算而不失真呢？

49、53 第3章 离散傅里叶变换 设设x1(n)是是N1点的有限长序列点的有限长序列（0 nN1-1），），x2(n)是是N2点的有限长序列（点的有限长序列（0 nN2-1）。）。 1. x1(n)与与x2(n)的线性卷积的线性卷积 yl(n)?x1(n)?x2(n)?m?x(m )x (n?m )12?yl(n)是是N1+N2-1 点有限长序列点有限长序列,即线性卷积的长度等于参与卷即线性卷积的长度等于参与卷x2(n-m )的非零区间为的非零区间为 ： 0 n-m N2-1 积的两序列的长度之和减积的两序列的长度之和减1。 x1(m )的非零区间为：的非零区间为： 0 m N1-1 yl(n)的

50、非零区间为的非零区间为 ： 0 nN1+N2-2 54 第3章 离散傅里叶变换 2. x1(n)与与x2(n)的圆周卷积的圆周卷积 L x2(n)是是两两序序列列的的L点点圆圆周周卷卷积积， 设设y(n)=x1(n)LmaxN1, N2，这就要将，这就要将x1(n)与与x2(n)都看成是都看成是L点点的序列。即的序列。即 ?x1(n),x1(n)?0,?x2(n),x2(n)?0,0?n?N1?1N1?n?L?10?n?N2?1N2?n?L?1L?1则则 y(n)?x1(n)L x2(n)?x1(m )x2(n?m )LRL(n)m?055 第3章 离散傅里叶变换 将序列将序列x1(n)与与x

51、2(n)以以L为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓 x1(n)?x1(n)L?x2(n)?x2(n)L?k?x(n?kL)1r?x (n?rL)2?它们的周期卷积序列为它们的周期卷积序列为 y(n)?x1(m )x2(n?m )?x1(m )?x2(n?rL?m )m?0?m?0r?L?1L?1?r?x (m )x (n?rL?m )?y(n?rL)12lm?0r?L?1注意：注意：若周期卷积的周期若周期卷积的周期L N1+N2-1,则则yl(n)的周期延的周期延拓出现混叠现象拓出现混叠现象.只有在只有在LN1+N2-1时时,才没有交叠现象才没有交叠现象. 56 第3章 离散傅里叶变换 圆周卷

52、积正是周期卷积取主值序列，即圆周卷积正是周期卷积取主值序列，即 y(n)?x1(n)L x2(n)?y(n)RL(n)因此因此 ?y(n)?yl(n?rL)?RL(n)?r?L点圆周卷积点圆周卷积y(n)是线性是线性卷积卷积y1(n)以以L为周期的周为周期的周期延拓序列的主值序列期延拓序列的主值序列 圆周卷积等于线性卷积的必要条件圆周卷积等于线性卷积的必要条件 L?N1?N2? 157 第3章 离散傅里叶变换 y(n)?x1(n)L x2(n)?x1(m )x2(n?m)LRL(n)m?0L?1L x (n)x1(n) 2x1(n)1(a)N140123x2(n)1(b)N25n(d)4321

53、012345Lx1(n) x (n)2L6nL8(e)01234y1(n)43211012345 6789 10nN1N2 18n432101234567Lx1(n) x2(n)n(c)( f )4321L100123456789n图图3-13 线性卷积与圆周卷积线性卷积与圆周卷积 58 第3章 离散傅里叶变换 五五. 圆周共轭对称性圆周共轭对称性 1周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为周期为N的周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量定义为：的周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量定义为： 11*xe(n)?x(n)?x (?n)?x(n)N?x (N?

54、n)N2211*xo(n)?x(n)?x (?n)?x(n)N?x*(N?n)N22可以证明，它们满足可以证明，它们满足 *xe(n)?xe(?n)则有下式成立：则有下式成立： xo(n)? ?x (?n)x(n)?xe(n)?xo(n)59 *o第3章 离散傅里叶变换 2有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量 设有限长序列设有限长序列x(n)的长度为的长度为N点，则它的圆周共轭对点，则它的圆周共轭对称分量称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量和圆周共轭反对称分量xop(n)分别定义为：分别定义为： 1*xep(n)?xe(n)RN(n

55、)?x(n)N?x (N?n)NRN(n)21*xop(n)?xo(n)RN(n)?x(n)N?x (N?n)NRN(n)2由于由于 x(n)?x(n)RN(n)?xe(n)?xo(n)RN(n)?xe(n)RN(n)?xo(n)RN(n)所以所以 x(n)?xep(n)?xop(n)60 说明：长为说明：长为N的有限长序列可分解为长度相同的两个分量。的有限长序列可分解为长度相同的两个分量。 第3章 离散傅里叶变换 3DFT的一些对称性质的一些对称性质 设设 DFT x(n)?DFT?Re x(n)+jIm x(n)?X(k)，则有，则有 *DFTx (n)?X (?k) R (k)?X (N

56、?k)NRN(k)（1） NN式中：式中：x*(n)为为x(n)的共轭复序列。的共轭复序列。 证明：证明： DFT x*(n)?x*(n)WNnkRN(k)n?0N?1?x(n)Wn?0N?1n?0N?1 ?nkW*NNN?j2?n?e?e? 1 R (k)?X (?k)NRN(k)nN?j2?nNN*(N?k)n *?x(n)WNNnWN?nk*RN(k)?x(n)WN RN(k)n?0N?1?X*(N?k)NRN(k)（2）D FTx*(?n)NRN(n)?DFTx*(N?n)NRN(n)?X*(k)61 第3章 离散傅里叶变换 1*DFTRe x(n)?X(k)?X (N?k)NRN(k

57、)?Xep(k)（3） N2证明：证明： 1*Rex(n)?x(n)?x (n)21*?DFTRe x(n)?DFTx(n)?DFTx (n)21?X(k)?X*(N?k)NRN(k)21*?X(k)N?X (N?k)NRN(k)?Xep(k)2说明：复序列实部的说明：复序列实部的DFT等于序列等于序列DFT的圆周共轭对称分量的圆周共轭对称分量 （3） DFTjIm x(n)?1X(k)?X*(N?k) R (k)?X (k)NNNop2说明：复序列虚部乘以说明：复序列虚部乘以j的的DFT等于序列等于序列DFT的圆周共轭的圆周共轭反对称分量反对称分量 。 62 第3章 离散傅里叶变换 六六DF

58、T形式下的帕萨瓦定理形式下的帕萨瓦定理 N?11*x(n)y (n)?X(k)Y*(k)?Nk?0n?0N?1（令（令y(n)=x(n)） 1序列在时域计算的序列在时域计算的x(n)x (n)?X(k)X*(k)?能量与在频域计算能量与在频域计算Nn?0k?0*N?1N?1的能量是相等的的能量是相等的 12|x(n)|?|X(k)|?Nk?0n?02N?1N?163 第3章 离散傅里叶变换 3.7 抽样抽样z变换变换频域采样理论频域采样理论 时域抽样：时域抽样：对一个频带有限的信号对一个频带有限的信号,根据抽样定理对根据抽样定理对其进行抽样其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱所得抽样

59、信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓的周期延拓,因此因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域抽样频域抽样: 对一有限长序列进行对一有限长序列进行DFT所得所得X(k)就是序就是序列傅氏变换的采样，所以列傅氏变换的采样，所以DFT就是频域抽样。就是频域抽样。 研究研究 内容内容 ?是否对于任意一个序列（或者说任意是否对于任意一个序列（或者说任意一个频率特性）都能用频率采样的办法一个频率特性）都能用频率采样的办法来逼近呢？其限制条件是什么呢？来逼近呢？其限制条件是什么呢？ 64 第3章 离散傅里叶变换 设一个任意的绝对可和的非周期序列设一个任意的绝对可和的非周期序列

60、x(n)，其，其z变换为变换为 X(z)?n?x(n)z?nx(n)绝对可和绝对可和,其傅里叶变换存在且连续其傅里叶变换存在且连续,故故z变换收敛变换收敛域包括单位圆域包括单位圆.对对X(z)在单位圆上进行在单位圆上进行N点等距采样：点等距采样： X(k)?X(z)z?W?k?Nn?x(n)W?nkNk?0 ,1 ,?N?1?采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列问题问题 x(n)。即频率采样后从。即频率采样后从X(k)的反变换中所获的反变换中所获得的有限长序列得的有限长序列xN(n)=IDFTX(k)，能不，能不能代表原序列能代表原序列x(n)？ 65 第3