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1、1 二次函数常考知识点总结 1. 一般式: y 2 ax bx c (a , b ,c为常数, a 0 ); h)2 2.顶点式: y a(x k ( a , h , k 为常 数, a 0); 3.交点式: y a(x xj(x X2)( a 0 ,为, 函数定义与表达式 X2是抛物线与x轴两交点的横坐标) 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般 (2)抛物线是轴对称图形,对称轴为直线 r 一般式: x b 2a 对称轴* 顶点式: x=h .两根式: X1 x= X2 式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交 点式,只有抛物线与X轴有交点,即 b2 4ac 0 时, 抛物线的解析式才
2、可以用交点式表示二次函数解 析式的这三种形式可以互化 二、函数图像的性质一一抛物线 (1)开口方向二次项系数 a 二次函数 y ax bx c 中,a作为二次项系 数,显然 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a的值越大, 开口越小,反之a的值越小,开口越大; 当 a 0 时,抛物线开口向下, a的值越小, 开口越小,反之a的值越大,开口越大. 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向, a的 正负决定开口方向,|a 的大小决定开口的大小.lai 越大开口就越小,lal 越小开口就越大. 顶点坐标 般式: 顶点式: b 4ac b2 2a 4a (h、k) y=2 x (3) 对称轴位置
3、一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴 的位置。(“左同右异”) a 与 b 同号(即 ab 0) - 对称轴在 y 轴左侧 a 与 b 异号(即 abv 0)- 对称轴在 y 轴右侧 (4) 增减性,最大或最小值 K 当 a0 时,在对称轴左侧(当 x 时), 2a y 随着 x 的增大而减少;在对称轴右侧(当 x 2a 时),y 随着 x 的增大而增大; K 当 a0 时,函数有最小值,并且当 x= , 2a ymin 4ac b2 4a 当 a 0;若交点在 X 轴的 下方,则 Cv 0; (3) b 的符号由对称轴来确定:对称轴在 Y 轴的左侧,则 a、b 同号;若对称轴在
4、Y 轴的右侧, 则a、b 异号; (7) 抛物线与 x轴交点个数 = b1 2-4ac 0 时,抛物线与 这两点间的距离 AB | xj 2 顶点在 x轴上。 = b 2-4ac v 0 时,抛物线与 x 轴没有交点。 (1当a 0时, 图象落在x轴的上方, 无论x为 任何实数,都有y 0 ; 2当a 0时,图象落在x 轴的下方,无论x为任何实数,都有 y 0.) (8) 特殊的 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)与 X 轴只有 个交点或二次函数的顶点在 X 轴上,则 2 =b -4ac=0 ; 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)的顶点在 Y 轴 上或二次函数的图象关于 Y
5、 轴对称,则 b=0; 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)经过原点,贝 U c=0; 三、平移、平移步骤: 将抛物线解析式转化成顶点式 2 y a x h k,确定其顶点坐标 h, k ; 左右平移变 h,左加右减;上下平移变 k, 上加下减。 随堂练: 一、选择题: 2 1、对于y ax (a 0)的图象下列叙述正确的是 ( ) A a的值越大,开口越大 B a的值越小,开口越小 C a的绝对值越小,开口越大 D a的绝对值越小,开口越小 2、对称轴是 x=-2 的抛物线是( ) = b -4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 D. y=2(x+1) -3 1 2 -x
6、2 3x 5的形状大小开口方 2 向相同,只有位置不同的抛物线是( ) 8)和(5, 8),则此拋物线的对称轴是( ) A. x = 4 B. x= 3 C. x= 5 D. x= 1 o 2 5、抛物线y x mx 2 m 1的图象过原点,则 m为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 6、把二次函数 y 2 x 2x 1配方成顶点式为 ( ) 2 y (x 1) 2 A. y (x 1)2 B C. y (x 1)2 1D y (x 1)2 2 2 7、直角坐标平面上将二次函数 y= -2(x 1) 2 的 图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则 其顶点为( ) A.(0,
7、0) B.(1, 2) 2 &函数y kx 6x k的取值范围是( A. k 3 x 轴有 2 个交点。 X2 | 、b2 4ac |a| 2 C . y=2(x-1)+3 3、与抛物线y 1 2 3 5 Ay x x B. y 1 4 2 2 C. y 2 x 6x 10 D. y 2 -x2 7x 8 2 x2 3x 5 4、二次函数y x bx c的图象上有两点(3, C.(0, 1) D.( 2, 1) 3的图象与x轴有交点,则 ) k k 3且k 0 3且k 0 2 n (mn 0)则图象与x B. D. 2 x mx 轴交点为 ( ) A. 二个交点 B. 一个交点 C. 无交点
8、D. 不能确定 2 10、二次函数y ax bx c 的图象如图所示,贝 U abc, y b 4ac, 2a b, a b c | 这四个 -1pO r 式子中,值为正数的有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D 1个 1 二、填空题: 1、已知抛物线y 它的开口向 _ x2 4x 3,请回答以下问题: 对称轴是直线 _ 2 3 C. k 3 9、抛物线 顶点坐标为 _ ; 2 2、 抛物线y ax bx c(a 0)过第二、三、四 象限,则 a _ 0, b _ 0, c _ 0. 2 3、 抛物线y6(x1) 2可由抛物线 2 2 A. .y= -2x -8x B y= 2
9、x -2 2 4 y 6x2 2向 平移 个单位得到. 4、 抛物线 y 2x2 4x 1在x轴上截得的线段 长度是 5、 抛物线 y x2 2x m,若其顶点在x轴上 则m 6、 已知二次函数 y (m 2 1)x 2mx 3m 2 : 则当m _时,其最大值为 o. 7.二次函数y ax2 bx c的值永远为负值的条 件是a 0 , b2 4ac 0. &已知抛物线y x2 bx c与y轴交于点 A 与x轴的正半轴交于 B、C 两点,且 BC=2, GABC=3 ,贝 U b = ,c= . 三、解答 1、已知二次函数 y=2x2-4x-6 求:此函数图象的顶 点坐标,与 x轴、y 轴的交
10、点坐标 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般 式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值, 一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标, 一 般选用交点式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用 顶点式. 随堂练: 1、 已知关于 x的二次函数图象的对称轴是直 线 x=1,图象交 Y 轴于点(0, 2),且过点(-1 , 0) 求这个二次函数的解析式; 2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1 , -2 ),且通过点 (1, 10),求此二次函数的解析式; 3、已知抛物线的对称轴为直线 x=2 ,且通过点 (1 , 4)和点(5, 0),求此抛物线的解析式; 2、已
11、知抛物线 y ax2 bx c与 y 轴交于 C (0, c) 点,与 x轴交于 B (c , 0),其中 c0 , (1)求证:b+ 1 + ac=0 (2 )若 C 与 B 两点距离等于2 2 , 一元二次方 程ax2 bx c 0的两根之差的绝对值等于 1 ,求抛物 线的解析式 6、抛物线的顶点坐标是(6 , -12 ),且与 X 轴的一 个交点的横坐标是 8,求此抛物线的解析式; 四、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用 待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题 简便.一般来说,有如下几种情况: 7、 抛物线
12、经过点(4 , -3 ),且当 x=3 时,y最大值=4 , 求此抛物线的解析式;4、已知抛物线与 X 轴交点的横坐标为-2 和 1 ,且 通过点(2 , 8),求二次函数的解析式; 5、已知抛物线通过三点 (1 , 0), ( 0 , -2 ), (2 , 3) 求此抛物线的解析式; 5 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解 析式: _ 五、 二次函数解析式中各参数对图象的影响 a开口方向与开口大小(即决定抛物线 的形状) h - 顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴 左右平移:“左加/右减”) k顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴 上下平移:“上加/下减”) b与a一起影响对称轴相对于y轴的位
13、 置(“左同/右异”) c - 与y轴交点(0,c)的位置(c0时在x轴 上方;c 0的解集是二次函 二次函数的解析式为 _ . 当自变量x _ 时,两函数的函数值都随 x增 大而增大. 自变量 _ 时,一次函数值大于二次函数 值. 9、 顶点为(一 2,- 5)且过点(1, 14)的抛物 线的解析式为 _ . 10、 对称轴是 y轴且过点 A ( 1,3)、点 B ( 2, 6 ) 的抛物线的解析式 为 _ . A/E 、I IB - X1 O x2 x $ * 式 等式的关系工0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点的横坐标 即 数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的 横坐标的范围,即 _ ; 一元二次不等式 a/+bx+cv 0的解集是 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点 对应的横坐标的范围, 即: _ 七、二次函数的最值 看定义域 定义域为全体实数时,顶点纵坐标是最 值; 定义域不包含顶点时, 观察图象确定边界 点,进而确定最值 八、抛物线对称变换前后的解析式 2 尸ax +bx+c 关于 y 轴对称 11、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了 它的一些特点: 甲:对称轴是直线 x=4 ; 乙:与 x轴两个交点的横坐标都是整数;
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