(完整版)初中二次函数常考知识点总结

1、1 二次函数常考知识点总结 1. 一般式： y 2 ax bx c (a , b ,c为常数， a 0 )； h)2 2.顶点式： y a(x k ( a , h , k 为常 数, a 0)； 3.交点式： y a(x xj(x X2)( a 0 ,为， 函数定义与表达式 X2是抛物线与x轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般 （2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 r 一般式： x b 2a 对称轴* 顶点式： x=h .两根式： X1 x= X2 式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交 点式，只有抛物线与X轴有交点，即 b2 4ac 0 时， 抛物线的解析式才

2、可以用交点式表示二次函数解 析式的这三种形式可以互化 二、函数图像的性质一一抛物线 （1）开口方向二次项系数 a 二次函数 y ax bx c 中，a作为二次项系 数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上，a的值越大， 开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当 a 0 时，抛物线开口向下， a的值越小， 开口越小，反之a的值越大，开口越大. 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， a的 正负决定开口方向，|a 的大小决定开口的大小.lai 越大开口就越小，lal 越小开口就越大. 顶点坐标 般式: 顶点式: b 4ac b2 2a 4a (h、k) y=2 x （3） 对称轴位置

3、一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴 的位置。（“左同右异”） a 与 b 同号（即 ab 0） - 对称轴在 y 轴左侧 a 与 b 异号（即 abv 0）- 对称轴在 y 轴右侧 （4） 增减性，最大或最小值 K 当 a0 时，在对称轴左侧（当 x 时）, 2a y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧（当 x 2a 时），y 随着 x 的增大而增大； K 当 a0 时，函数有最小值，并且当 x= , 2a ymin 4ac b2 4a 当 a 0;若交点在 X 轴的 下方，则 Cv 0; (3) b 的符号由对称轴来确定：对称轴在 Y 轴的左侧，则 a、b 同号；若对称轴在

4、Y 轴的右侧， 则a、b 异号； (7) 抛物线与 x轴交点个数 = b1 2-4ac 0 时，抛物线与 这两点间的距离 AB | xj 2 顶点在 x轴上。 = b 2-4ac v 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 (1当a 0时， 图象落在x轴的上方， 无论x为 任何实数，都有y 0 ; 2当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0.) (8) 特殊的 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)与 X 轴只有 个交点或二次函数的顶点在 X 轴上，则 2 =b -4ac=0 ; 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)的顶点在 Y 轴 上或二次函数的图象关于 Y

5、 轴对称，则 b=0; 二次函数 y=ax2+bx+c (a* 0)经过原点，贝 U c=0; 三、平移、平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 y a x h k，确定其顶点坐标 h, k ; 左右平移变 h,左加右减；上下平移变 k, 上加下减。 随堂练： 一、选择题： 2 1、对于y ax (a 0)的图象下列叙述正确的是 ( ) A a的值越大，开口越大 B a的值越小，开口越小 C a的绝对值越小，开口越大 D a的绝对值越小，开口越小 2、对称轴是 x=-2 的抛物线是( ) = b -4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。 D. y=2(x+1) -3 1 2 -x

6、2 3x 5的形状大小开口方 2 向相同，只有位置不同的抛物线是( ) 8)和(5, 8),则此拋物线的对称轴是( ) A. x = 4 B. x= 3 C. x= 5 D. x= 1 o 2 5、抛物线y x mx 2 m 1的图象过原点，则 m为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 6、把二次函数 y 2 x 2x 1配方成顶点式为 ( ) 2 y (x 1) 2 A. y (x 1)2 B C. y (x 1)2 1D y (x 1)2 2 2 7、直角坐标平面上将二次函数 y= -2(x 1) 2 的 图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则 其顶点为( ) A.(0,

7、0) B.(1, 2) 2 &函数y kx 6x k的取值范围是( A. k 3 x 轴有 2 个交点。 X2 | 、b2 4ac |a| 2 C . y=2(x-1)+3 3、与抛物线y 1 2 3 5 Ay x x B. y 1 4 2 2 C. y 2 x 6x 10 D. y 2 -x2 7x 8 2 x2 3x 5 4、二次函数y x bx c的图象上有两点(3, C.(0, 1) D.( 2, 1) 3的图象与x轴有交点，则 ) k k 3且k 0 3且k 0 2 n (mn 0)则图象与x B. D. 2 x mx 轴交点为 ( ) A. 二个交点 B. 一个交点 C. 无交点

8、D. 不能确定 2 10、二次函数y ax bx c 的图象如图所示，贝 U abc, y b 4ac, 2a b, a b c | 这四个 -1pO r 式子中，值为正数的有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D 1个 1 二、填空题： 1、已知抛物线y 它的开口向 _ x2 4x 3，请回答以下问题: 对称轴是直线 _ 2 3 C. k 3 9、抛物线 顶点坐标为 _ ; 2 2、 抛物线y ax bx c(a 0)过第二、三、四 象限，则 a _ 0, b _ 0, c _ 0. 2 3、 抛物线y6(x1) 2可由抛物线 2 2 A. .y= -2x -8x B y= 2

9、x -2 2 4 y 6x2 2向 平移 个单位得到. 4、 抛物线 y 2x2 4x 1在x轴上截得的线段 长度是 5、 抛物线 y x2 2x m,若其顶点在x轴上 则m 6、 已知二次函数 y (m 2 1)x 2mx 3m 2 : 则当m _时，其最大值为 o. 7.二次函数y ax2 bx c的值永远为负值的条 件是a 0 , b2 4ac 0. &已知抛物线y x2 bx c与y轴交于点 A 与x轴的正半轴交于 B、C 两点，且 BC=2, GABC=3 ,贝 U b = ,c= . 三、解答 1、已知二次函数 y=2x2-4x-6 求：此函数图象的顶 点坐标，与 x轴、y 轴的交

10、点坐标 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般 式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值， 一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标， 一 般选用交点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 顶点式. 随堂练： 1、 已知关于 x的二次函数图象的对称轴是直 线 x=1，图象交 Y 轴于点(0, 2),且过点(-1 , 0) 求这个二次函数的解析式； 2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1 , -2 ),且通过点 (1, 10),求此二次函数的解析式; 3、已知抛物线的对称轴为直线 x=2 ,且通过点 (1 , 4)和点(5, 0),求此抛物线的解析式； 2、已

11、知抛物线 y ax2 bx c与 y 轴交于 C (0, c) 点，与 x轴交于 B (c , 0),其中 c0 , (1)求证：b+ 1 + ac=0 (2 )若 C 与 B 两点距离等于2 2 , 一元二次方 程ax2 bx c 0的两根之差的绝对值等于 1 ,求抛物 线的解析式 6、抛物线的顶点坐标是(6 , -12 ),且与 X 轴的一 个交点的横坐标是 8,求此抛物线的解析式; 四、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用 待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题 简便.一般来说，有如下几种情况： 7、 抛物线

12、经过点(4 , -3 ),且当 x=3 时，y最大值=4 , 求此抛物线的解析式；4、已知抛物线与 X 轴交点的横坐标为-2 和 1 ,且 通过点(2 , 8),求二次函数的解析式； 5、已知抛物线通过三点 (1 , 0), ( 0 , -2 ), (2 , 3) 求此抛物线的解析式； 5 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解 析式： _ 五、 二次函数解析式中各参数对图象的影响 a开口方向与开口大小（即决定抛物线 的形状） h - 顶点横坐标即对称轴的位置（沿x轴 左右平移：“左加/右减”） k顶点纵坐标即最值的大小（沿y轴 上下平移：“上加/下减”） b与a一起影响对称轴相对于y轴的位

13、 置（“左同/右异”） c - 与y轴交点（0,c）的位置（c0时在x轴 上方；c 0的解集是二次函 二次函数的解析式为 _ . 当自变量x _ 时，两函数的函数值都随 x增 大而增大. 自变量 _ 时，一次函数值大于二次函数 值. 9、 顶点为（一 2，- 5）且过点（1， 14）的抛物 线的解析式为 _ . 10、 对称轴是 y轴且过点 A （ 1，3）、点 B （ 2， 6 ） 的抛物线的解析式 为 _ . A/E 、I IB - X1 O x2 x $ * 式 等式的关系工0） 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点的横坐标 即 数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的 横坐标的范围，即 _ ; 一元二次不等式 a/+bx+cv 0的解集是 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点 对应的横坐标的范围， 即: _ 七、二次函数的最值 看定义域 定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最 值； 定义域不包含顶点时， 观察图象确定边界 点，进而确定最值 八、抛物线对称变换前后的解析式 2 尸ax +bx+c 关于 y 轴对称 11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了 它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4 ； 乙：与 x轴两个交点的横坐标都是整数;