2019届高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 理 新人教版

1、第第8 8节函数与方程节函数与方程考纲展示考纲展示结合二次函数的图象结合二次函数的图象, ,了解函数的零点与方程根的联系了解函数的零点与方程根的联系, ,判断一元判断一元二次方程根的存在性与根的个数二次方程根的存在性与根的个数. .知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.函数的零点是函数图象与函数的零点是函数图象与x x轴交点吗轴交点吗? ?提示提示: :函数的零点不是点函数的零点不是点, ,而是使函数值为而是使函数值为0 0的值的值, ,也就是函数图象与也就是函数图象

2、与x x轴交点轴交点的横坐标的横坐标. .2.2.当函数当函数y=y=f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内有零点时内有零点时, ,是否一定有是否一定有f(a)f(bf(a)f(b)0?)0?提示提示: :当函数当函数y=y=f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内有零点时内有零点时, ,不一定有不一定有f(a)f(a)f(bf(b)0,)0.f(1)0.3.3.函数函数y=y=f(xf(x) )在在 a,ba,b 上图象是连续不断的、单调的上图象是连续不断的、单调的, ,且且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系00=

3、0=000)(a0)的图象的图象与与x x轴的交点轴的交点(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)无交点无交点零点个数零点个数2 21 10 0【重要结论重要结论】 1.1.若函数若函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线, ,并且有并且有f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,则函数则函数y=f(x)y=f(x)一定有零点一定有零点. .特别是特别是, ,当当y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上单调时上单调时, ,它仅有一个零点它仅有一个零点. .2.2.由函数由函数y=f

4、(x)(y=f(x)(图象是连续不断的图象是连续不断的) )在闭区间在闭区间a,ba,b上有零点不一定能推出上有零点不一定能推出f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,如图所示如图所示, ,所以所以f(a)f(a)f(b)0f(b)0是是y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上有零点的上有零点的充分不必要条件充分不必要条件. .双基自测双基自测 1.(1.(20172017福建三明月考福建三明月考) )函数函数f(x)=logf(x)=log2 2x- x- 的零点所在的区间为的零点所在的区间为( ( ) )(A)(0,1)(A)(0,1)(B)(1,2)(B)(1,2)(C)(

5、2,3)(C)(2,3)(D)(3,4)(D)(3,4)B B1xB B2.(2.(20172017海南省海口一中质检海南省海口一中质检) )下列方程在区间下列方程在区间(-1,1)(-1,1)内存在实数解的是内存在实数解的是( () )(A)x(A)x2 2+x-3=0 +x-3=0 (B)e (B)ex x-x-1=0-x-1=0(C)x-3+ln(x+1)=0(C)x-3+ln(x+1)=0(D)x(D)x2 2-2-2x+1x+1=0=0解析解析: :A.A.设设f(x)=xf(x)=x2 2+x-3,+x-3,则函数则函数f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)内先减后增内先减后

6、增,f(-1)=-30,f(-1)=-30,则则f(1)=1+1-3=-10,f(x)f(1)=1+1-3=-10,f(x)在在(-1,1)(-1,1)内不存在零点内不存在零点;B.;B.由由e ex x-x-1=0,-x-1=0,解得解得x=0,x=0,在在区间区间(-1,1)(-1,1)内内, ,满足题意满足题意;C.;C.设设f(x)=x-3+ln(x+1),f(x)=x-3+ln(x+1),则函数在则函数在(-1,1)(-1,1)上单调递上单调递增增,f(1)0,f(x),f(1)-1=0,x-1时时,x,x2 22-1,-1,正确命题是正确命题是. . 12答案答案: :4.4.导学

7、号导学号 38486047 38486047 给出下列命题给出下列命题: :函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-1-1的零点是的零点是(-1,0)(-1,0)和和(1,0);(1,0);函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点( (函数图象连续不断函数图象连续不断),),则一定有则一定有f(a)f(a)f(b)0;f(b)0;二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在在b b2 2-4ac0-4ac0时没有零点时没有零点; ;若函数若函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上单调且上单调且f(a)f(a)f(b)

8、0,f(b)0.f(2)0.正确正确. .当当b b2 2-4ac0-4ac0时时, ,二次函数图象与二次函数图象与x x轴无交点轴无交点, ,从而二次函数没有零点从而二次函数没有零点. .错误错误. .答案答案: : 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 函数零点所在区间函数零点所在区间【例例1 1】 (1)( (1)(20172017长沙调研长沙调研) )已知函数已知函数f(x)=ln x-( )f(x)=ln x-( )x-2x-2的零点为的零点为x x0 0, ,则则x x0 0所在的区间是所在的区间是( () )(A)(0,1)(A)(0,1)(B)

9、(1,2)(B)(1,2)(C)(2,3)(C)(2,3)(D)(3,4)(D)(3,4)12答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)设函数设函数y=xy=x3 3与与y=( )y=( )x-2x-2的图象的交点为的图象的交点为(x(x0 0,y,y0 0),),若若x x0 0(n,n+1),nN,(n,n+1),nN,则则n=n=. . 解析解析: :(2)(2)令令f(x)=xf(x)=x3 3-( )-( )x-2x-2, ,则则f(xf(x0 0)=0,)=0,易知易知f(x)f(x)为增函数为增函数, ,且且f(1)f(1)0,0,所以所以x x0 0所在的区间是所在的区间是(1

10、,2).(1,2).故故n=1.n=1.答案答案: :(2)1(2)11212反思归纳反思归纳 (1)(1)函数函数y=f(x)-g(x)y=f(x)-g(x)有零点有零点函数函数y=f(x)-g(x)y=f(x)-g(x)与与x x轴有交点轴有交点方程方程f(x)-g(x)=0f(x)-g(x)=0有根有根函数函数y=f(x)y=f(x)与与y=g(x)y=g(x)的图象有交点的图象有交点. .(2)(2)函数零点所在区间的判定方法函数零点所在区间的判定方法端点函数值异号判断法端点函数值异号判断法; ;图象交点法图象交点法: :画出两函数画出两函数y=f(x),y=g(x)y=f(x),y=

11、g(x)的图象的图象, ,其交点的横坐标是函数其交点的横坐标是函数F(x)=f(x)-g(x)F(x)=f(x)-g(x)的零点的零点, ,以此来判断函数零点所在区间以此来判断函数零点所在区间. .转化法转化法: :方程方程f(x)-g(x)=0f(x)-g(x)=0的根就是函数的根就是函数F(x)=f(x)-g(x)F(x)=f(x)-g(x)的零点的零点. .(2)(2)导学号导学号 38486048 (201838486048 (2018菏泽一中月考菏泽一中月考) )若方程若方程ln x+x-4=0ln x+x-4=0在区间在区间(a,b)(a,b)(a,b(a,bZ Z, ,且且b-a

12、=1)b-a=1)上有一根上有一根, ,则则a a的值为的值为( () )(A)1 (A)1 (B)2(B)2(C)3 (C)3 (D)4(D)4解析解析: :(2)(2)方程方程ln x+x-4=0ln x+x-4=0的根为函数的根为函数f(x)=ln x+x-4f(x)=ln x+x-4的零点的零点.f(x).f(x)的定义域的定义域为为(0,+), f(x)(0,+), f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增. .因为因为f(2)=ln 2-20,f(3)=ln 3-f(2)=ln 2-20,10,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)有一个零点有一个零点, ,则

13、方程则方程ln x+x-4=0ln x+x-4=0在区间在区间(2,3)(2,3)有有一根一根, ,所以所以a=2,b=3.a=2,b=3.故选故选B.B.考点二考点二 函数零点的求法及零点个数的判断函数零点的求法及零点个数的判断【例例2 2】 (1)( (1)(20172017忻州一模忻州一模) )函数函数f(x)=2f(x)=2x x|log|log0.50.5x|-1x|-1的零点个数为的零点个数为( () )(A)1(A)1 (B)2(B)2(C)3(C)3 (D)4(D)4答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)(20172017包头质检包头质检) )函数函数f(x)= f(x)=

14、 的零点个数是的零点个数是. . 22,0,26ln ,0 xxxx x答案答案: :(2)2(2)2反思归纳反思归纳 函数零点个数的判断方法函数零点个数的判断方法(1)(1)直接求零点直接求零点: :令令f(x)=0,f(x)=0,若能求出解若能求出解, ,则有几个解就有几个零点则有几个解就有几个零点; ;(2)(2)函数函数f(x)f(x)的图象在区间的图象在区间a,ba,b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线, ,且且f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,还必须还必须结合函数的具体图象与性质结合函数的具体图象与性质( (如单调性、奇偶性如单调性、奇偶性) )才能确定函数有多少个零点才能

15、确定函数有多少个零点; ;(3)(3)数形结合法数形结合法: :将已知函数转化为两个函数图象易作出的函数将已知函数转化为两个函数图象易作出的函数, ,画出两个函画出两个函数的图象数的图象, ,看其交点的个数看其交点的个数, ,有几个交点有几个交点, ,就有几个零点就有几个零点. .一般地一般地, ,涉及三角函涉及三角函数、指、对数函数有关的函数零点个数常用数形结合法数、指、对数函数有关的函数零点个数常用数形结合法. .特别注意特别注意: :判定零点个数一般用数形结合法判定零点个数一般用数形结合法, ,或者选特殊区间验证或者选特殊区间验证, ,一般不直一般不直接求解零点接求解零点. .跟踪训练跟

16、踪训练2:2:(1)(1)(20172017合肥八中质检合肥八中质检) )函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(x+4)-3(x+4)-3x x的零点个数为的零点个数为( () ) (A)0 (A)0 (B)1 (B)1 (C)2 (C)2 (D)3(D)3解析解析: :(1)(1)在同一坐标系中在同一坐标系中, ,画出函数画出函数y=3y=3x x与函数与函数y=logy=log2 2(x+4)(x+4)的图象的图象, ,由图由图象知象知, ,函数图象交点为函数图象交点为2 2个个, ,故函数的零点为故函数的零点为2 2个个. .故选故选C.C.答案答案: :(1)C(1)C(2)

17、(2)(20172017银川一模银川一模) )已知函数已知函数f(x)= f(x)= 若若f(0)=-2,f(-1)=1,f(0)=-2,f(-1)=1,则函则函数数g(x)=f(x)+xg(x)=f(x)+x的零点个数为的零点个数为. . 22,0,0,xxbxc x答案答案: :(2)3(2)3考点三考点三 函数零点的应用函数零点的应用反思归纳反思归纳 根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围, ,先判断函数的单调性先判断函数的单调性, ,再利用零点存在性定理再利用零点存在性定理, ,建立参数所满足的不等式建立参数所满足的不等

18、式, ,解解不等式不等式, ,即得参数的取值范围即得参数的取值范围. .考查角度考查角度2:2:已知函数零点或方程根的个数已知函数零点或方程根的个数, ,求参数范围求参数范围【例例4 4】 ( (20172017新乡质检新乡质检) )若函数若函数f(x)=|2f(x)=|2x x-2|-b-2|-b有两个零点有两个零点, ,则实数则实数b b的取值的取值范围是范围是. . 解析解析: :由函数由函数f(x)=|2f(x)=|2x x-2|-b-2|-b有两个零点有两个零点, ,可得可得|2|2x x-2|=b-2|=b有两个不等的根有两个不等的根, ,从从而可得函数而可得函数y=|2y=|2x

19、 x-2|-2|与函数与函数y=by=b的图象有两个交点的图象有两个交点, ,则则0b2.0b2.答案答案: :(0,2)(0,2)反思归纳反思归纳 (1)(1)已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围, ,先对解先对解析式变形析式变形, ,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, ,数形结合求解数形结合求解. .(2)(2)形如形如g(x)=f(x)-mg(x)=f(x)-m的零点问题可转化为的零点问题可转化为f(x)=mf(x)=m求解求解. .反思归纳反思归纳 涉及函数周期性、奇偶性以及根据函数零点个数求参

20、数的综合涉及函数周期性、奇偶性以及根据函数零点个数求参数的综合问题时问题时, ,可根据题目特征可根据题目特征, ,作出满足题意的函数图象作出满足题意的函数图象, ,利用数形结合思想求解利用数形结合思想求解. .答案答案: :1010反思归纳反思归纳 求函数的多个零点求函数的多个零点( (或方程的根以及直线或方程的根以及直线y=my=m与函数图象的多个与函数图象的多个交点横坐标交点横坐标) )的和时的和时, ,应考虑函数的性质应考虑函数的性质, ,尤其是对称性特征尤其是对称性特征( (这里的对称性主这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称要包括函数本身关于点的对称, ,直线的对称等直线的对称等)

21、.).备选例题备选例题 【例例1 1】 ( (20172017邯郸二模邯郸二模) )已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x+x,g(x)=log+x,g(x)=log2 2x+x,h(x)=xx+x,h(x)=x3 3+x+x的零的零点依次为点依次为a,b,c,a,b,c,则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为( () )(A)abc(A)abc(B)acb(B)acbc(C)abc(D)cab(D)cab解析解析: :由函数特点由函数特点,a,b,c,a,b,c分别为分别为y=2y=2x x,y=log,y=log2 2x,y=xx,y=x3 3与与y=-xy=-x交点的横

22、坐标交点的横坐标, ,作作出四个函数的图象出四个函数的图象, ,易知易知acb.acb.故选故选B.B.【例【例2 2】 ( (20172017南宁质检南宁质检) )若定义在若定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)满足满足f(x+2)=f(x),f(x+2)=f(x),且且当当x0,1x0,1时时,f(x)=x,f(x)=x,则函数则函数y=f(x)-logy=f(x)-log3 3|x|x|的零点有的零点有( () )(A)(A)多于多于4 4个个 (B)4(B)4个个 (C)3 (C)3个个 (D)2 (D)2个个解析解析: :因为偶函数因为偶函数f(x)f(x)满足满足f(x+

23、2)=f(x),f(x+2)=f(x),故函数的周期为故函数的周期为2.2.当当x0,1x0,1时时, ,f(x)=x,f(x)=x,故当故当x-1,0 x-1,0时时,f(x)=-x.,f(x)=-x.函数函数y=f(x)-logy=f(x)-log3 3|x|x|的零点的个数等的零点的个数等于函数于函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=logy=log3 3|x|x|的图象的交点个数的图象的交点个数. .在同一个坐标系在同一个坐标系中画出函数中画出函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=logy=log3 3|x|x|的图象的图象, ,如图所示如图所示: :显然函数显然函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=logy=log3 3|x|x|的图象有的图象有4 4个交点个交点. .故选故选B.B. 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼函数图象不准确而致误函数图象不准确而致误【典例典