第一章线性规划

1、第一章第一章线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法v运筹学中应用最广泛的方法之一。运筹学中应用最广泛的方法之一。v运筹学的最基本的方法之一，网络规划，运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整数规划，目标规划和多目标规划都是整数规划，目标规划和多目标规划都是以线性规划为基础。以线性规划为基础。v解决稀缺资源最优分配的有效方法。解决稀缺资源最优分配的有效方法。1.1 线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题

2、。效益，这就是规划问题。（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最最好的经济效益好的经济效益（如产品量最多（如产品量最多 、利润最大、利润最大. .）例例1 1、生产计划问题、生产计划问题问：问：I, III, II各生产多少各生产多少, , 可获最大利润可获最大利润? ?项目III每天可用

3、能力每天可用能力设备设备A (h) 0515设备设备B (h)6224调试程序调试程序 (h)115利润利润21 美佳公司计划制造美佳公司计划制造I I、IIII两种家电产品，已知两种家电产品，已知各制造一件时分别占用的设备各制造一件时分别占用的设备A A、B B的台时、调试工的台时、调试工序时间及每天可用能力，各售出一件的获利情况。序时间及每天可用能力，各售出一件的获利情况。解解 : 设产品设产品I, II产量分别为变量产量分别为变量x1 ， x2（决策变量）目标函数（利润最大）0,52426155.2max212121221xxxxxxxstxxz结构约束非负约束0,52426155.2m

4、ax212121221xxxxxxxstxxz约束条件例例 2 租借问题租借问题月份月份1234所需仓库面所需仓库面积积15102012合同租借期合同租借期限限1234合同期内租合同期内租费费2800450060007300试确定该公司签订合同的最优决策使租费最小试确定该公司签订合同的最优决策使租费最小 某公司在下一年度的某公司在下一年度的14个月内拟租用仓库堆个月内拟租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库的面积，仓库租借费用放物资，已知各月所需仓库的面积，仓库租借费用随合同期而定，租期越长，折扣越大，合同每月初随合同期而定，租期越长，折扣越大，合同每月初都可办理，合同规定租期和面积，该厂可根据需

5、要，都可办理，合同规定租期和面积，该厂可根据需要，在任何一个月初办理合同，办理时可签一份，也可在任何一个月初办理合同，办理时可签一份，也可签若干份，签若干份，解：1. 决策变量决策变量：xij表示第i个月初签订的租借期为j个月的租借合同，i=1,，4; j=1,42. 目标函数目标函数：min z=2800(x11+x21+x31+x41）+4500（x12+x22+x32)+6000(x13+x23)+7300 x143. 约束条件：约束条件： x11+x12+x13+x1415s.tx12+x13+x14+x21+x22+x23 10 x13+x14+x22+x23+x31+x32 20

6、x14+x23+x32+x41 12xij 0 （ i=1,4; j=1,4）x24=x33=x34=x42=x43=x44=0LP 构成v变量： 决策变量（具体的实施方案）v目标函数：max （广义的收益类） min （广义的成本、损失） opt （最优化）v约束条件： 结构约束条件（资源限制） 非负约束条件（变量限制）LP 构成v LP数学模型由三要素组成：数学模型由三要素组成： .变量变量 ; .目标函数目标函数; . 约束条件约束条件其中：决策变量的取值是连续的；其中：决策变量的取值是连续的； 目标函数是决策变量的目标函数是决策变量的线性函数；函数； 约束条件是含决策变量的约束条件是含

7、决策变量的线性等式或不等式。等式或不等式。10LP的标准形式变量：xj （j=1,n）; cj ：价值系数资源：bi （i=1,m） 各种资源的拥有量aijxj 取值为一个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，技术系数（工艺系数）Max (min) Z=c1x1+ c2x2+cnxna11x1+ a12x2+ a1nxn (=, )b1a21x1+ a22x2+ a2nxn (=, )b2 am1x1+ am2x2+ amnxn (=, )bmxj 0 (j=1,n)s.t1. 一般形式2. 和式形式1. .1max(min)( , ) (1,)0(1, )nj jjns tij jijjZc

8、xa xb imxjn 3. 矩阵形式111212122212max(min). .( , )0.nnmmmnZCXst AXbXaaaaaaAaaa 4. 向量型其中其中max(min)ZCX1( ,)0njjjp xbX 11122212(,);jjnjnjnmaxbaxbCcccXPbaxb线性规划的标准形式11max(1,)0.0(1, )njjjnijjiijjzc xa xb im bstxjn和式形式1. .1max(min)( , ) (1,)0(1, )nj jjns tij jijjZcxa xb imxjn 化标准形式v目标函数为minmin zz=-z max z= -

9、CXmin z=2x1+4x2 max z=-2x1-4x2 vbi0 同乘（-1）v约束条件为不等式： 添加一个松弛变量构成等式,对应的cj=0, 工程意义：未被充分利用的资源6x1+2x224 6x1+2x2+x3=24 x30, c3=0 减去一个剩余变量构成等式，对应的cj=0；工程意义：超出的资源10 x1+2x218 10 x1+2x2x4=18 x40, c4=0v取值无约束变量（自由变量，不限制非负） vx0令x=x化标准形式0, jjjjjxxxxx例3. 将下述线性规划化为标准形式取值无约束321321321321321, 0, 0632442392.32minxxxxxx

10、xxxxxxstxxxz 0 , 0 , , 333331xxxxxxxzz标准形式为：的并按上述规则，该问题其中，上述问题中令解 0, , , 543321xxxxxx6 33243321xxxx9 243321xxxxx4 2253321xxxxx3.st00 332max 543321xxxxxxz取值无约束321321321321321, 0, 0632442392.32minxxxxxxxxxxxxstxxxz练习1.21.2 图解法图解法AX=b (1)X 0 (2)Max Z=CX (3)定义定义1 1：满足约束：满足约束(1)、(2)的的X=(X1 Xn)T称为称为LP问题问题

11、的可行解，全部可行解的集合称为可行域。的可行解，全部可行解的集合称为可行域。定义定义2 2：满足：满足(3)的可行解称为的可行解称为LP问题的最优解问题的最优解例例 1 max Z=2X1+ X2 图解法有维数要求，即决策变量只能为图解法有维数要求，即决策变量只能为2个个 5X2 156X1+2X2 24X1 + X2 5 X1 , X2 0 0s.t解：解：1. 作非负约束作非负约束 X1 ( (横轴横轴) ) X2 ( (纵轴纵轴) ) 2. 做其他约束，找做其他约束，找出可行域出可行域(可行域是可行域是多边形，边界不是多边形，边界不是曲面）曲面）x2=36x1+2x2=24x1+x2=5

12、X2=3x1+x2=56x1+2x2=2412345X2032145X1Q4Q3Q2Q1X2=3x1+x2=56x1+2x2=2412345X2032145X1Q4Q3Q2Q1(3.5,1.5). 作目标函数的图形作目标函数的图形 Z=2X1+ X2 即：即：X2=2X1+ZX2=2X1+Z. 将目标函数向目将目标函数向目标值增大的方向平移，标值增大的方向平移，与可行域边界的与可行域边界的“相相切切”得到最优解得到最优解X*X*= (X1，X2)=(3.5,1.5)Z*=2 X1+ X2=23.51.5=8.5例例2、 maxZ=40X1+ 80X2 X1+2X2 303X1+2X2 60 2

13、X2 24 X1 , X2 0 00Z= 40 X1 + 80X2 =0 X1 + 2X2 =30DABCX2X1最优解：最优解：BC线段线段X(1)=(6,12) X(2)=(15,7.5)X= X(1)+(1- ) X(2) (0 1)最优值：最优值：maxZ=1200解：首先要找出解：首先要找出问题的可行域。问题的可行域。解无界；解无界；无有限最优解无有限最优解例例3、 maxZ=2X1+ 4X2 2X1+X2 8 8-2X1+X2 2X1 , X2 0 0Z=02X1+ X2=8-2X1+ X2=28246X240X1Z=0例例4、 maxZ=3X1+2X2 -X1 -X2 1 1X1

14、 , X2 0 0无可行解无可行解无解无解-1X2-1X1 线性规划解的情况线性规划解的情况 唯一解唯一解解的解的 无穷多解无穷多解情况情况 无有限最优无有限最优 无可行解无可行解有解有解无解无解 1.3 解的概念解的概念 可行解：满足(2),(3)的解X(x1xn )T全部可行解的集合为可行域 最优解：使目标函数(1)达到最大值的可行解 基：A mn阶系数矩阵 R(A)=mB是A中的mm阶非奇异子矩阵（ B 0)， 称B是 LP的一个基（基矩阵） maxZ=CX (1) AX=b (2) X 0 (3) ), 1(0 ), 1(. max11njxmibxastxczjinjjijjnjj)

15、,( 11111mmmmnPPaaaaBA= (P1 Pm Pm+1 Pn )=(B N) 基向量基向量 非基向量非基向量 基基 非基非基X= (X1 Xm Xm+1 Xn )T=(XB XN)T 基变量基变量 非基变量非基变量 XB XN 基变量系数基变量系数 非基变量系数非基变量系数CBCN 基解基解（基本解）（基本解）对应于基对应于基B，X= 为为AX=b的一个解。的一个解。B-1 b 0 基解中最多有基解中最多有m个非零分量。个非零分量。 基解的数目不超过基解的数目不超过Cnm = 个。个。n!m!(n-m)!基解的特点：基解的特点： 基解满足结构约束条件基解满足结构约束条件AXb，不

16、一定非负。，不一定非负。基本可行解基本可行解(基可行解）基可行解）基基B，基本解，基本解X= 若若B-1 b 0 0，称基，称基B B为可行基。为可行基。 B-1 b 0最优解最优解：使目标函数（：使目标函数（1）达到最大值的可）达到最大值的可行解称为最优解。行解称为最优解。最优解对应的基成为最优基。最优解对应的基成为最优基。可行解可行解基基本本解解基本可行解例：找出如下线性规划问题的所有基本解，那些是基本可行解，最优解。 max zx1x2 max z=x1x2 0 x30 x4 s.t x12x21 s.t x12x2x3=1 2x1 - x2 3 2x1 - x2 x4=3 x1,x20

17、 x1,x2 ,x3,x40 ，基解：6C10120121A2442，非基可行解是基，基解0051-57X, 0,122122BB，非基可行解是基，基解021023X, 0,021133BB1z0001X, 0,1201444，基可行解，是基，基解BB03100X,0,100111431zxxBB，基变量，基解是基，42432110120121Axxxx64*64641*666XXXzz)z,z,max(zz1z，基可行解，270210X是基，基解0,B,1 1-02B64*64641*6T66XXXzz)z,z,max(zz0z，基可行解，270210X是基，基解0,B,1001B方法总结：

18、基解基可行解比较目标值最优解（枚举法），非基可行解是基，基解073-0X, 0,011255BB42432110120121Axxxx 1.4 单纯形法试以例来讨论如何用单纯形法求解。解：已知本例的标准型为：5432100032maxxxxxxz5 , 2 , 10124164825241321jxxxxxxxxj令非基变量x1=x2=0，便得到z=0。这时得到一个基可行解X(0) X(0)=(0,0,8,16,12) 本基可行解的经济含义是：工厂没有安排生产产品、，资源都没有被利用，所以工厂的利润为z=0。 从分析目标函数的表达式可以看到：从分析目标函数的表达式可以看到： 非基变量非基变量x

19、1,x2(即没有安排生产产品即没有安排生产产品，)的系数都是正数，因此将非基变量变换为的系数都是正数，因此将非基变量变换为基变量，目标函数的值就可能增大。从经济基变量，目标函数的值就可能增大。从经济意义上讲，安排生产产品意义上讲，安排生产产品或或，就可以使，就可以使工厂的利润指标增加。所以工厂的利润指标增加。所以只要在目标函数只要在目标函数的表达式的表达式中还存在有正系数的非基变量，中还存在有正系数的非基变量，表表示目标函数值还有增加的可能，示目标函数值还有增加的可能，就需要将非就需要将非基变量与基变量进行对换。基变量与基变量进行对换。v如何确定换入、换出变量一般选择正系数最大的那个非基变量x

20、2为换入变量，将它换到基变量中，同时还要确定基变量中哪一个换出来成为非基变量。可按以下方法来确定换出变量：v当将x2定为换入变量后，必须从x3,x4,x5中确定一个换出变量，并保证其余的变量仍然非负，即x3,x4,x50。v如何确定换入、换出变量当x1=0时，可得041201602825423xxxxx251421341241628xxxxxxx只有选择x2=min(8/2,-,12/4)=3时，才能使此式成立。因当x2=3时，基变量x5=0，这就决定用x2去替换x5。如何检验这个解的最优性5432100032maxxxxxxz5 , 2 , 10124164825241321jxxxxxxx

21、xj5252413,124xxxx只要在目标函数中还存在有正系数的非基变量只要在目标函数中还存在有正系数的非基变量当选定当选定x1,x5为非基变量时，目标函数需变为为非基变量时，目标函数需变为x1, x5的函数的函数514329maxxxzX(1)=(0,3,2,16,0)T 从目标函数的表达式可看到，非基变量x1的系数是正的，说明目标函数值还可以增大，X(1)还不是最优解。 于是，再用上述方法确定换入、换出变量，继续迭代，得到另一个基可行解X(2)，X(2)=(2,3,0,8,0)T 再经过一次迭代，又得到一个基可行解X(3)X(3)=(4,2,0,0,4)T 这时得到目标函数的表达式： z

22、=141.5x3 0.125x4 再检查目标函数式，可见所有非基变量x3,x4的系数都是负数，所以当x3=x4=0时，目标函数达到最大值。X(3)是最优解。即当产品生产4件，产品生产2件时，工厂可以得到最大利润。用单纯形法求解线性规划0,52426155.0002max0,52426155.2max543215214213254321212121221xxxxxxxxxxxxxtsxxxxxzxxxxxxxtsxxz列出初始单纯形表列出初始单纯形表初始可行解初始可行解00012cj-zj100115x500102624x400015015x30 x5x4x3x2x1bXBCB00012Cj00

23、012cj-zj100115x500102624x400015015x30 x5x4x3x2x1bXBCB00012Cj210600021600002).(12211mjmjjjjacacacc非基变量检验数0,52426155.0002max0,52426155.2max543215214213254321212121221xxxxxxxxxxxxxtsxxxxxzxxxxxxxtsxxzCj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315051000 x4246201040 x55110015cj-zj210006;2; 12141aalxkxlk主元素出基变量进基变量。出基，出基变量

24、确定2415624min,0|min:4lxaabilikikiilCjCBXBbx1x2x3x4x50 x315051000 x4246201040 x55110015cj-zj21000CjCBXBbx1x2x3x4x50 x315051002x1411/301/600 x5511001cj-zj21000以alk主元素进行初等变换：1. alk6变成1，其所在行同除以6得下表，同时基变量x4变为x1，x1得系数为2CjCBXBbx1x2x3x4x50 x315051002x1411/301/600 x5102/30-1/61cj-zjCjCBXBbx1x2x3x4x50 x3150510

25、0-2x1411/301/6040 x55110015cj-zj210002. 将a21=1所在列的其他元素变成0，初等变换（高斯消去法），即用ai1所在行的元素对应减去ai1/a21乘以a21所在行的元素Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x3150510032x1411/301/60120 x5102/30-1/613/2cj-zj01/30-1/30?,1415最优检验当前基可行解是否解由新表得到新的基可行TBX当前解不是最优解。最优性检验, 3/1)6/1(06/1200003/13/203/12501?042N3/232/32/3123min23/1max32522aal

26、xkxlkilkk确定新的主元素出基，确定新的出基变量：。进基，确定新的进基变量：Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x3150510032x1411/301/60120 x5102/30-1/613/2cj-zj01/30-1/30Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315051002x1411/301/601x23/2010-1/43/2cj-zjCj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj-zjCj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315/200

27、15/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj-zj000-1/4-1/2Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj-zj2182312722.0021223272/14/1?02/152/32/721*54xxzXXNB最优值解，当前基可行解时最优，检验当前解是否最优得到新的基可行解0,52426155.0002max0,52426155.2max543215214213254321212121221xxxxxxxxxxxxxtsxxxxxzxx

28、xxxxxtsxxzCj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315051000 x424620100 x5511001cj-zj21000Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315051000 x424620100 x5511001cj-zj21000Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315051002x1411/301/600 x5102/30-1/61cj-zj01/30-1/30Cj21000CBXBbx1x2x3x4x50 x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj-zj000-1/4-

29、1/2如何加载如何加载“规划求解规划求解”1) 在“工具”菜单上,单击“加载宏”Excel求解线性规划问题求解线性规划问题2) 在弹出的对话框中的“可用加载宏”列表框中,选定待添加的加载宏“规划求解”选项旁的复选框,然后单击“确定”.单击“确定”后,“工具”菜单下就会出现一项“规划求解”Excel求解线性规划问题求解线性规划问题3. “规划求解规划求解”各参数设置各参数设置单击“规划求解”按钮,将会出现以下规划求解参数设置对话框v单击“添加”,显示添加约束对话框v选项:显示”规划求解选项”对话框.在其中可以加载或保存规划求解模型,并对规划求解过程的高级属性进行控制 某工厂在计划期内生产门和窗两

30、种产品，这些产品需要在车间1、车间2和车间3上加工，有关数据如下，数据为每件产品在设备上加工的台时数问：(1) 建立使生产利润最大的生产模型。 (2) 用单纯形法求解。 设备设备 产品产品车间车间1车间车间2车间车间3每种产品的利润每种产品的利润门门103300窗窗022500台时限制台时限制412180,825943.510max) 1 (21212121xxxxxxstxxZ 1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶

31、点。 Cj10500CBXBbx1x2x3x40 x3934100 x485201cj-zj105000,825943.510max) 1 (21212121xxxxxxstxxZCj10500CBXBbx1x2x3x40 x321/5014/51-3/510X18/51 2/501/5cj-zj01 0-2Cj10500CBXBbx1x2x3x4 0X23/2015/14-3/145X1110-1/72/7cj-zj00-5/14-25/14 某工厂在计划期内生产I，II两种产品，这些产品需要在ABC三种设备上加工，有关数据如下，数据为每件产品在设备上加工的台时数问：(1) 建立使生产利润最

32、大的生产模型。 (2) 用单纯形法求解。 设备设备 产品产品ABC每种产品的利润每种产品的利润I1402II2043台时限制台时限制816121-5 单纯形法的进一步讨论1. 人工变量例：用单纯形法求解线性规划问题0,93124.3max3213232132131xxxxxxxxxxxtsxxz0,93124.3max51325321432131xxxxxxxxxxxxtsxxz标准化标准化0,93124.3max51325321432131xxxxxxxxxxxxtsxxzCj-30100CBXBbx1x2x3x4x54111101-21-10-1903101cj-zj0)(0.max)(X

33、IAbbAXtsCXzI不含Cj-30100CBXBbx1x2x3x4x5x6x7411110001-21-10-11090310101cj-zjCj-30100CBXBbx1x2x3x4x54111101-21-10-1903101cj-zjCj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7411110001-21-10-11090310101cj-zj0,93124.3max51325321432121xxxxxxxxxxxxtsxxz0)(0.max)(XIAbbAXtsCXzI不含0,.max)(XXbIXAXt sMXCXzII0,93124.003max51732653

34、214321765431xxxxxxxxxxxxxxtsMxMxxxxxz764764PPPBxxxXTB0,93124.003max71732653214321765431xxxxxxxxxxxxxxtsMxMxxxxxzCj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x441111000-Mx61-21-10-110-Mx790310101cj-zj-2M-34M10-M00Cj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4330211-100 x21-21-10-110-Mx7660403-31cj-zj6M-304M+103M-4M0Cj-3010

35、0-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x400001-1/2-1/2-1/20 x23011/30001/3-3x11102/301/2-1/21/6cj-zj00303/2-M-3/2-M+1/2Cj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4330211-100 x21-21-10-110-Mx7660403-31cj-zj6M-304M+103M-4M0Cj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x400001-1/2-1/2-1/20 x23011/30001/3-3x11102/301/2-1/21/6cj-zj00303/2

36、-M-3/2-M+1/2Cj-30100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x400001-1/21/2-1/20 x25/2-1/2100-1/41/41/41x33/23/20103/4-3/41/4cj-zj-9/2000-3/4-M+3/4-M-1/40,93124.3max3213232132131xxxxxxxxxxxtsxxz0,93124.3max51325321432131xxxxxxxxxxxxtsxxz标准化标准化2. 两阶段法0,93124.min7173265321432176xxxxxxxxxxxxxxtsxx0,93124.max7173265321

37、432176xxxxxxxxxxxxxxtsxxCj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x441111000-1x61-21-10-110-1x790310101cj-zj-2400-100Cj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x441111000-1x61-21-10-110-1x790310101cj-zj-2400-100Cj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4330211-100 x21-21-10-110-1x7660403-31cj-zj60403-40Cj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5

38、x6x70 x4330211-100 x21-21-10-110-1x7660403-31cj-zj60403-40Cj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x400001-1/21/2-1/20 x23011/30001/30 x11102/301/2-1/21/6cj-zj00000-1-1Cj00000-1-1CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x400001-1/21/2-1/20 x23011/30001/30 x11102/301/2-1/21/6cj-zj00000-1-1Cj-30100CBXBbx1x2x3x4x50 x400001-1/20 x2

39、3011/300-3x11102/301/2cj-zj00303/2Cj-30100CBXBbx1x2x3x4x50 x400001-1/20 x23011/300-3x11102/301/2cj-zj00303/2Cj-30100CBXBbx1x2x3x4x50 x400001-1/20 x25/2-1/2100-1/41x33/23/20103/4cj-zj-9/2000-3/42. 两阶段法中的可行基），（为，此时，原问题无解。，人工变量中有基变量求解划第一阶段：先解辅助规AABXXbIXAXtsEX*000,.min，最优进基型，最优进基型区别，仅在于极小型单纯形表与型。型，辅助规划目

40、标为型还是无论原问题为取划第二阶段：解原线性规00minmax00minminmax. 2minminmax. 1*0.max*0jkjkBBXbAXtsCXz用大用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入的人工变量在目标函数中的系数应为（的人工变量在目标函数中的系数应为（ ）A.0 B.-1 C.1 D. M用两阶段法求解线性规划问题，第一阶段含人工变量的用两阶段法求解线性规划问题，第一阶段含人工变量的目标函数为（目标函数为（ ）A. min B. max C. min或或max D. 以上都不是以上都不是某工厂生产某工厂生产A，B，C三种型号

41、的产品，需甲，乙两种种资源。各产品每一单位三种型号的产品，需甲，乙两种种资源。各产品每一单位所需资源数，产品利润以及各资源限量如下：所需资源数，产品利润以及各资源限量如下： 产品资源产品资源 A BC资源限量资源限量甲甲63545乙乙34530单位产品利润单位产品利润415现在工厂需制定生产计划，令现在工厂需制定生产计划，令x1，x2，x3各型号产品的计划产量。各型号产品的计划产量。要求：为使总利润要求：为使总利润Z最大，列出这个最大，列出这个线性规划线性规划模型模型; 利用单纯法解上述问题，设已利用单纯法解上述问题，设已求得最终表如下（表中求得最终表如下（表中x4，x5为松弛变量为松弛变量,对应甲对应甲,乙资源约束不等式）乙资源约束不等式）Cj41500CBXBB-1bX1X2X3X4X5X11/31/3X31/52/5Cj-Zj表中有些缺项，请将其填上，并指出该表对应的生产方案及利润：表中有些缺项，请将其填上，并指出该表对应的生产方案及利润：A产品的产量产品的产量 B产品的产量产品的产量 C产品的产量产品的产量 总利润总利润单纯形表小结单纯形表小结nPBPBbBbAB11111. 4表上每一列含义b