第三章空间力系

1、第三章第三章空空 间间 力力 系系23 31 1 空间汇交力系空间汇交力系3 32 2 力对轴之矩和力对点之矩力对轴之矩和力对点之矩3 33 3 空间力偶系空间力偶系3 34 4 空间力系的简化空间力系的简化35 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程3.1 空间汇交力系cos( , )yFFF jyxzF FFxFyFzi ik kj j1 直接投影法cos(, )xFFF i一 力在直角坐标轴的投影cos( , )zFFF ky2 间接投影法(二次投影法)。coszFFsinsinyFFsincosxFFxzF FFxFyFzF FxyzyxFqFxyyzyxFqbcaFxy求图示正立方体上

2、的力求图示正立方体上的力F 在在x y z三个三个坐标轴上的投影坐标轴上的投影求图示正立方体上的力求图示正立方体上的力F 在在x y z三个坐标轴三个坐标轴上的投影上的投影zxFy思考思考:何时力在坐标轴上的投影为零何时力在坐标轴上的投影为零?7求图示正立方体上的力求图示正立方体上的力 F 在坐标轴在坐标轴AB上的投影上的投影zxFyBA8 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜的作用。已知斜齿轮的啮合角齿轮的啮合角(螺旋角螺旋角) 和压力角和压力角 q q ，试求力试求力 Fn 沿沿 x，y 和和 z 轴的分力。轴的分力。静力学静力学第四章第四章

3、空间力系空间力系9将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影 , sinnqFFz解：解：将力Fxy向x，y 轴投影qq coscos cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyxqcos nFFxy10沿各轴的分力为kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnqqqFFFzyx111. 合成R12ni FFFFF合力的大小和方向为：222R()()()xyzFFFF RRRRRRcos(, ),cos(, ),cos(, )yxzFFFFFFFiFjFk二、空间汇交力系的合成与平衡RxyzFFF Fijk或2. 平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力

4、等于零。R0i FF000 xyzFFF空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。思考思考:独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目?13 三三 解题参考 v1 取研究对象，画受力图。v 注意：1）球铰链 v 2）空间二力杆v 3）不再单独取分离体v2 建立坐标系，列平衡方程。v 注意：1）代数量 v 2）避免解联立方程v3 求解v注意：负值的力学含义。负值的代入问题.ABCDEP例C、D、B三点是铅直墙上的点。 重为P的物体用不计杆重的杆AB 、以及位于同一水平面的绳索AC与AD支承，E是CD的中点 AC=AD=CD，ACDAEB与墙两两垂直 如

5、图。已知P1000N。求绳索的拉力和杆所受的力。0:xF0:yF0:zF1414ABFN cos0ABFP45ABCDEPTADF TACF ABFxyzsinsin0TACTADFFcoscossin0TACTADABFFF3.2 力对点的矩和力对轴的矩v一、力对点的矩以矢量表示力矩矢()O MFzxyOFMO(F)rA(x,y,z)hB思考：空间问题中力对点的矩用矢量表示还是用代思考：空间问题中力对点的矩用矢量表示还是用代数量表示？数量表示？()O MFrF作用在作用在O点点大小大小 方向方向定位矢量定位矢量以矩心O为原点建立坐标轴，则xyzxyzFFF rijkFijk()OF MFrx

6、yzOF FM MO(F F)r rA(x,y,z)hBj ji ik kxyzxyzFFF ijk()()()zyxzyxyFzFzFxFxFyF ijk=力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为()OxzyyFzF MFxyzOF FM MO(F F)r rA(x,y,z)hBj ji ik k力对点的矩以矢量表示力矩矢()OyxzzFxF MF()OzyxxFyF MF1、力F F对z 轴的矩定义为：()()2zOxyxyOabMMF hA FF 二、二、力对轴的矩 xyzOF FF FxyhBAab 思考：力对轴的矩用代数量表示？思考：力对轴的矩用代数量表示？思考：什么情况下力对轴的矩等

7、于零？思考：什么情况下力对轴的矩等于零？当力沿作用线移动时力对轴的矩是否改变当力沿作用线移动时力对轴的矩是否改变?力对轴之矩实例力对轴之矩实例FzFxFy2 力对轴的矩的解析表达式()yxzMzFxF F()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF设力F F在在三个坐标轴的投影Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有()xzyMyFzF FxyzOF FA(x,y,z)BabxyFxyFxFyFzFyFx213 如何计算如何计算v1) 解析表达式v2)合力矩定理v合力对任一轴的矩等于其各个分力对同一轴的矩的代数和( )()()()zxxxx

8、yxMFMFMFMF 22求图示正立方体上的力求图示正立方体上的力F 对三个坐标轴上的矩对三个坐标轴上的矩zxFyzxFyFxFyFz23求图示正立方体上的力求图示正立方体上的力F 对三个坐标轴上的矩对三个坐标轴上的矩zyxFFyzyxFFxFz思考思考:力对坐标轴上的矩与坐标轴的位置的有关吗力对坐标轴上的矩与坐标轴的位置的有关吗?24 求图示正立方体上的力求图示正立方体上的力 F F 对三个对三个坐标轴的矩坐标轴的矩 力力 F F 对坐标轴对坐标轴OA的矩的矩? ?zxyAOF1 比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。三、力对点

9、的矩与力对过该点的轴的矩的关系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF26本次课小结v1 力在空间直角坐标轴上的投影v2 空间汇交力系的平衡方程以及应用v3 力对坐标轴的矩27空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2） 方向：转动方向；方向：转动方向；一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示力偶矩矢1212FFFF33 空间力偶空间力偶28（1） 大小大小（3） 作用面作用面（2） 方向方向( ,)OMF F 29二、力偶的矢量表示二、力偶的矢量表示( ,)

10、( )()OOOABMF FMFMFrFrF ( ,)()OABMF FrrFM FF自由矢量自由矢量30空间力偶的等效条件是空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。三、空间力偶的性质4.4 空间力偶等效定理空间力偶等效定理1.力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡,只能用力偶来平衡只能用力偶来平衡 。2.力偶对空间内任意一点的矩矢都等于力偶矩矢，力偶对空间内任意一点的矩矢都等于力偶矩矢，与矩心无关与矩心无关3.力偶的可传性力偶的可传性 作用平面内移动作用平面内移动+可平移到与作用平面平行的任意平面上可平移到与作用平面平行的任意平面上4力偶可

11、改装性力偶可改装性1 空间力偶系力偶的作用面不在同一平面内的力偶系称为 空间力偶系。(思考:什么是平面力偶系?) 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM四、空间力偶系的合成2 合成合成根据合矢量投影定理：,xxyyzzMMMMMM 222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k33已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受切削个孔，每个孔所受切削力偶矩均为力偶矩均为8080Nm., ,x y z求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把

12、力偶用解：把力偶用力偶矩矢表示，力偶矩矢表示，平行移到点平行移到点A . .mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz1 空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：0 iMM222()()()xyzMMMM 000 xyzMMM五、 空间力偶系的平衡独立的平衡方程的独立的平衡方程的数目数目 ？?0zM 35 图示的三棱柱刚体是正方体的一半。在其中三个面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩M1=20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩M2=20 Nm；力偶（F3 ，F 3）

13、的矩M3=20 Nm。试求合力偶矩矢M。F1F2F31F3F2F36M1M2M3xyzo? Mx371 思路？()(1,2, )iiiOiin FFMMF3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩F FnF F1F F2yzxOF F1F FnF F2M MnM M2M M1zyxOM MOF FROxyz一 空间任意力系向一点的简化2 主矢和主矩Rii FFF 主矢与简化中心的位置无关？M MOF FROxyz空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢M MO：力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。()OOi MMF主矩与简化中心的位置有无关系？主矩与简化中心的位置有无关系？1)

14、简化为一合力偶FR0，MO0此时力偶矩矢与简化中心位置无关。FR 0，MO 0这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。二 空间任意力系的简化结果分析2) 简化为一合力ROdFM F FR 0，M MO0 ，且F FR M MOM MOF FROF FROF FRF FROdF FROOF FR 0，M MO0 ，且F FR M MO这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。M MOF FROOF FR3) 简化为力螺旋423) 空间任意力系简化为力螺旋的情形FR 0，MO0 ，且FR MO右手螺旋左手螺旋力螺旋44FR 0，MO0 ，同时两者既不平行，

15、又不垂直MOFRqOMOFROMOFROOMOsinORMdFq454) 空间任意力系简化为平衡的情形主矢FR0，主矩MO 0 这是空间任意力系这是空间任意力系平衡平衡的情形的情形3.5 空间任意力系的平衡方程一 空间任意力系的平衡方程 FR0，MO 0 =0,0,0()0,()0,()0 xyzxyzFFFMMMFFF空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。思考思考: :独立静平衡方程的数目独立静平衡方程的数目?二 空间平行力系 1 平衡方程平衡方程0zF()0,()0 xyMMFF独立的静平衡方程的数目独立的静平衡

16、方程的数目?49三 平衡方程应用 v1 取研究对象进行受力分析（考虑坐标系的建立？）v注意：空间二力杆件 v空间的固定端约束v径向轴承 止推轴承v2 建立坐标系，列平衡方程？让众多的未知力过原点或与未知力平行 3 求解约束力约束力?注意注意?止推轴承的表示以及与平止推轴承的表示以及与平面固定端支座的区别面固定端支座的区别!50空间约束类型5152535455565758xyzABCDE3030G例：均质长方形板ABCD重G=200N，用球形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAxF AyF AzF TFBxF BzF12()

17、0 :sin 300 xTB zmFFABFABGAB12( )0:sin300yTmFGADFAD()0 :0zBxmFFAB0 xF0yF0zF2cos 300AyTFFcos30 sin300AxBxTFFFsin300AzBzTFFFGxyzABCDE3030GAxF AyF AzF TFBxF BzF 一等边三角形板边长为a , 用六根无重杆支承成水平位置如图所示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。ABC16425330o30o30oABCM62ABC16425330o30o30oABCM()0BBMF643MFa ()0,CCMF443MFa ()0AAMF543MFa

18、 ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F6M633022MaF433022MaF533022MaF()0BCMF123MFa25331()00222ACMa SaSFaMS32236331()00222ABMa SaSFaMS323ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F6M653.6 重心重心1. 平行力系中心平行力系中心F1BAF2CFRFR = F1+F2由合力矩定理可确定合力作用点由合力矩定理可确定合力作用点C： 平行力系的合力作用点的位置平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力称该点为此平行力系的中心。系的中心。F1F2FR66zOxyF1BAF2CFRr1rCr2由合力矩定理，得由合力矩定理，得设力的作用线方向产单位矢量为设力的作用线方向产单位矢量为 F00F67. 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式zOxyPPiCVixCyCzCxiyizi由合力矩定理，得由合力矩定理，得若物体是均质的，得若物体是均质的，得68曲面：曲面：曲线：曲线：均质物体的重心就是均质物体的重心就是几何中心几何中心，通常称，通常称形心形心693. 确定物