相似三角形讲义及练习

1、、比例线段相似三角形11 / 81、定义：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。2、比例线段的基本性质:ad = bc合比性质:等比性质:3、黄金分割：一条线段P点黄金分割，点P为线段Ab2=ac 其中b为比例中项e m a c e m a cAB，点P是线段AB上的一个点，如果满足:AB的黄金分割点，AP与AB的比值约为PBAPAPAB，那么称线段AB被0.618，这个比值称为黄金比。1、判断下列线段是否是成比例线段:（1）a = 2 cm, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm;（1

2、）a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.例 2、若 a : 3 = b : 7,则（a + 3b）: 2b = .例3、已知三条线段 a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若线段d与a、b、c成比例，请求出线段 d的长度。例 4、已知 a c 二丄=-，且 b -2d 3-0，求 a _2c 3f 的值。b d e 5b2d+3e例5、等腰三角形ABC中，AB=AC，乙ABC = 72，乙ABC的角平分线BD交AC于D,且D是线段AC的黄金分割点，若 AB=8cm，求AD的长。二、相似图形的性质1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。2、相似多边形的性质：对应

3、边成比例，对应角相等。3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。三、相似三角形1、 定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符号 ” s ”表示，读作相似于”。3、相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角 形相似。5、判定三角形相似的思路： 、有平行截线用判定定理中的基本定理 、有一对等角，找 a、另一对等角，b、夹边成比例 、有两边对应成比例，找 a夹角相等，b、第三边也对应成比例，c、有一对直角。 、直角三角形，找 a、一对锐角相等，b、斜边、直

4、角边对应成比例 、等腰三角形，找 a、顶角相等，b、一对底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：（1）SAS两边对应成比例且两对应边的夹角相等。（2）SSS三条边对应成比例。（3）ASA两角对应相等。7、对于直角三角形相似的判定法则：一条直角边与对应斜边成比例。&对于全等三角形的判定法则：对应边相等。9、直角三角形相似定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。（2） 如果一个直角三角 形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 成比例，那么这两个直角三角形相似。10、相似三角形性质定理：（1）相似三角形的对应角相等。（2）相似三角形的对

5、应边成比例。 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。（4）相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方若a/b =b/c ，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项（8）c/d=a/b 等同于 ad=bc.定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的

6、中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个 三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。11、中位线:(1 )定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(2) 定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。(3 )重心定理：三角形三条边上的中线交与一点，这个角就是三角形的重心，重心与一边中1点的连线长是对应中线的 丄。3(4)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。例1、已知：如图，E是BA的延长线上的一点,F是BC的中点，连接EF交AC于D。求证:AD EADC EB例2、如

7、图所示，在 ABC中，BA=BC=20CMAC=30CM点P从A点出发，沿着AB以每秒4CM的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3CM的速度向 A点运动，设运动时间为 X。(1 )当X为何值时，PQ/BC?当A =1,求沁的值;3(3)S.BPQ如古；S.A BC 3S A BC APQ能否与 CQB相似？若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由。例3、如图，某同学想测旗杆高度 AB他在某一时刻得1米的竹竿直立时影长为1.5米，在同一时刻,测得旗杆影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长AC为21米，留在墙上的影高CD为2米，求旗杆AB的高?例4、如图

8、，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，求证： AB:AC=BD:DC例5、如图所示，在 ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分/ BAC , BD丄AE的延长线于 D，且 交AM 延长线于F,求证：EF/AB。练习:1、若 x 3y -5z = 0,x -2y 3z = 0,且xyzO,求 x: y : z的值。y上“，求2x 3y 4z的值。575x -3y z3、已知 a、b、c ABC 的三边，且 a b 60cm， a:b:c = 3:4:5，求 ABC 的面积。4、已知 x:y:z=2:3:4， x y z=50 , y=ax-5，求 a 的值。5、已知6、若a、=m，求m的值

9、，并判断直线 y = mx m经过哪些象限? ca +b cb、c是非零实数，并满足-a b c(a b)(b c)(c a)，且x =abc求x的值。7、设P、Q是线段AB上的黄金分割点，且PQ = a，AB的长。的值。线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，点D 在 AB 上，且 AD2 二 BD AB,求CDAC片c11AF9、如图， ABC中，D是BC边上的中点，E在AD上，且AE AD，求 的值。6FB10、如图，在 ABC中，AF ： FC =1:2 , G是BF的中点，AG的延长线交BC于E,求BE : EC 。11、如图，DE/BC，S doe : S cob =4:9,求 AD

10、:BD。12、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆 27米的C处这时目测旗杆顶部 A与竹竿顶部 E恰好在同一直线上，又测得C、然后回来交流各自的测量方法.小（如图），然后沿BC方向走到D处，D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.A匸EHC D相似三角形巩固练习题一、填空题21. 在 ABC中，/ B=25 , AD是BC边上的高，并且 AD =BD?DC，则/ BCA的度数为 .2. 已知：如图，在 ABC中，AB=15m , AC=12m , AD是/ BAC

11、的外角平分线， DE / AB交AC的延长线于点E,那么CE=m.（2题）（3题）（4题）3. 如图，已知Rt ABC中，AC=3 , BC=4 ,过直角顶点C作CAi丄AB ,垂足为Ai,再过Ai作AiCi丄BC , 垂足为Ci,过Ci作CiA2丄AB，垂足为A2,再过A2作A2C2丄BC,垂足为C2,，这样一直做下去，得到了一组线段 CA i， A iCi， CiA2，贝U CA i=A5C54.如图，在梯形ABCD 中，AD / BC，AC， BD 交于点 0，Saod : SCOB=i : 9，贝U Sdoc： sboc=5.如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于

12、点F,如果；那么E（5题）6.如图，在 ABD中，/为3.5，则 ABC的面积为E、F分别是AC、（7题）AB的中点， DEF的面积7.在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上,且 GH=DC .若 AB=10 ,2BC=12 ,&如图,2cm .则图中阴影部分的面积为在？ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点2SD0E=12cm ,则aob等于9.如图，在 ABC中,EF/ BC，AE=2BE，贝U AEF 与梯形BCFE的面积比10.如图，在厶ABC中, 交AC于N，贝U MN=/ C=90，AC=8，CB=6，在斜边 AB 上取一点 M，使 MB=CB，

13、过 M 作 MN 丄 ABACB=90，CD 丄 AB 于 D，若 AD=1，BD=4，贝U CD=12 .如图，在 ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点 O ,那么 MON与厶AOC面积的 比是 _.A13. 如图，AD=DF=FB , DE / FG / BC,贝 U Si： Sn : Sm =BD是AB边的中点,、解答题AF / BC, CG: GA=3 : 1 , BC=8，贝U AF=15. 已知：如图，在直角梯形 COAB中，OC/ AB，以O为原点建立平面直角坐标系， A, B, C三点的 坐标分别为A (8, 0) , B ( 8, 10), C (0, 4),点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1 个单位的速度，沿折线 OABD的路线移动，移动的时间为 t秒.(1) 求直线BC的解析式；(2) 若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形 OPDC的面积是梯形 COAB面积的;7(3) 动点P从点O出发，沿折线 OABD的路线移动过程中，设 OPD的面积为S,请直接写出S与t的 函数关系式，并指出自变量 t的取值