排列组合基础知识

1、排列组合基础知识、两大原理1. 加法原理（1）定义：做一件事 ，完成它有 n类方法，在第一类方法中有 n1中不同的方法 ， 第二类方法中有 n2种不同的方法 第n 类方法中 nn种不同的方法 ，那么完成这件 事共有 N n1 n2 . nn 种不同的方法 。（2）本质 ：每一类方法均能独立完成该任务 。（3）特点：分成几类，就有几项相加 。例 1. 从甲地到乙地 ，可以乘动车 ，也可以乘汽车 ；一天中动车有 3 班，汽车有 2 班 ，那么一天中 ，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法 ？如上图 ，从甲地到乙地共有 3+2 种方法 。2. 乘法原理（1）定义做一件事 ，完成它需要 n个步骤

2、 ，做第一个步骤有 m1中不同的方法 ，做 第二个步骤有 m2种不同的方法 做第n个步骤有 mn种不同的方法 ，那么完成这件 事共有 N m1m2.mn 种不同的方法 。（2）本质 ：缺少任何一步均无法完成任务 ，每一步是不可缺少的环节 。（3）特点：分成几步，就有几项相乘 。专业 word 可编辑 例 2. 从甲地到乙地 ， 要先从甲地先乘火车到丙地 ，再于次日从丙地乘汽车到乙 地，一天中火车 2 班 ，汽车 3 班。那么两天中 ，从甲地到乙地共有多少种不同的 方法？解：由上图可知共有的可能路线为 ：火车 1汽车 1，火车 2 汽车 1火车 1汽车 2，火车 2 汽车 2火车 1汽车 3，火

3、车 2 汽车 3 所以共有 2 4 8种方式 。二、排列组合1.排列（1）排列的定义 ：从n个不同的元素中 ，任取 m个（m n ）元素，按照一定的 顺序排成一列 ，叫做从 n个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列 。（2）使用排列的三条件 n 个不同元素 ； 任取 m 个； 讲究顺序 。2.组合（1）组合的定义 ：从n个不同的元素中 ，任取 m个（m n ）元素并为一组 ，叫 做从 n个不同的元素中取出 m个元素的一个组合 。（2）使用三条件专业 word 可编辑 n 个不同元素 ； 任取 m 个； 并为一组，不讲顺序 。排列与组合的共同点 ：都是“从 n个不同元素中任取 m个元素”； 排

4、列与组合的不同点 ：排列与元素的顺序有关系 ，而组合与元素的顺序无关 也就是说 ：组合是选择的结果 ，而排列是选择后再排列的结果 。3 排列数的定义 ：从n个不同的元素中 ，任取 m个（m n ）元素所有排列的个 数，叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的排列数 ，记为 Anm例 1. 从甲 、 乙、丙三个中任取 2 个人分别参加明天上午和下午的比赛 。问共有多 少种方式 ？解：由上图可知 ，共有 6 种方式 。需要注意 ：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素 ，并按一定的顺序排 列，所有共有的排列数为 A32 ，即A32 6 3 2 ，其中上标 2 是相乘的项数 ，下标 是相乘中

5、的最大那一项 3，而且之后的每项总是比前一项少 1。例 2. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 2 个排成一列共有多少种可能 ？解 所以的可能排列为 ： ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc.共有 12 种，即 A42 12 4 3， 其中上标 2 是相乘的项数 ，下标是相乘中的最大那一项 4，而 且之后的每项总是比前一项少 1。专业 word 可编辑例 3. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 3 个排成一列共有多少种可能 ？解 所以的可能排列为 ： abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd, adb, b

6、ad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有 24 种，即 A43 24 4 3 2 ，其中上标 3 是相乘的项数 ，下标是相乘中的最 大那一项 4，而且之后的每项总是比前一项少 1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式Anm n(n 1)(n 2)(n m 1) n! ，其中上标 m 表示相乘的项数 ，(n m)!其中 n! n(n 1) 2 1 。 尤其 ： An0 1,An1 n,Ann n! 。5 组合数的定义 ：从 n 个不同的元素中 ，任取 m个( m n )元素所有组合的个 数，

7、叫做从 n个不同的元素中取出 m个元素的组合数 ，记为 Cnm。例 4. 从甲 、乙、丙三个中任取 2 个人参加某项比赛 。问共有多少种方式 ？ 解：可能的组合为 ：甲乙 ，甲丙，乙丙 。所以共有 3 种 需要注意 ：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素并成一组 ，所有共有的组合数为 C32，即C32 3。这个结果与例 1 比较发现C32 33 2 A322 1 A22解 所以的可能排列为例 2. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 2 个并成一组 ，共有多少种可能 ？ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有 6 种，即 C42 6 。这个结果与 例 2 比较发现

8、C2 6 4 3 A42C4 6 2 。4 2 1 A22专业 word 可编辑 例 6. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 3 个并成一组 ，共有多少种可能 ？ 解 所以的可能排列为 ：abc, abd, acd, bcd 。共有 4 种，即C43 4 。这个结果 与例 3 比较发现4 3 2 A4343 2 1 A33由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式Cm Anm n(n 1).(n m 1)Cn Ammm(m 1).2 1尤其：Cn0 1,C1n n,Cnn 1,Cnm Cnn m我们这本书用 nm 表示 Cnm下面 3 题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛 ，（1） 列出所有各场比赛的上方 ；（ 2）列出所有冠军的可能情况 。2.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复