立体几何高考专题之空间点线面的位置关系(原卷版含解析)

1、1 1 1 111 1111.(2019 全国 iii专题 08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系2019 年文 8）如图，点 n 为正方形 abcd 的中心 ecd 为正三角形，平面 ecd平面 abcd，m 是线段 ed 的中点，则a bm=en，且直线 bm、en 是相交直线b bmen，且直线 bm，en 是相交直线c bm=en，且直线 bm、en 是异面直线d bmen，且直线 bm，en 是异面直线2.（2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 abcda b c d 的底面是菱形，aa =4，ab=2， bad=60，e，m，n 分别是 bc，bb ，a d 的中点.

2、（1） 证明：mn平面 c de；（2） 求点 c 到平面 c de 的距离3.（2019 全国 ii 文 7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 a 内有无数条直线与 平行b 内有两条相交直线与 平行1 1 11 1111 1 1 1111 11c ， 平行于同一条直线d ， 垂直于同一平面4.（2019 北京文 13）已知 l，m 是平面 a外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m a；l a以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _5.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 abca b c 中，d，e 分别为 bc，ac 的中点，ab=bc 求证：

3、（1）a b 平面 dec ；（2）bec e6.（2019 全国 ii 文 17）如图，长方体 abcda b c d 的底面 abcd 是正方形，点 e 在棱 aa 上，beec .（1） 证明：be平面 eb c ；（2） 若 ae=a e，ab=3，求四棱锥e -bb c c 1 1的体积7.(2019 全国 iii文 19）图 1 是由矩形 adeb、 abc 和菱形 bfgc 组成的一个平面图形，其中 ab=1，be=bf=2， fbc=60.将其沿 ab，bc 折起使得 be 与 bf 重合，连结 dg，如图 2.（1）证明图 2 中的 a，c，g，d 四点共面，且平面 abc平

4、面 bcge； （2）求图 2 中的四边形 acgd 的面积.8.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 p -abcd中， pa 平面 abcd，底部 abcd 为菱形，e 为 cd 的中点（）求证：bd平面 pac；（）若abc=60，求证：平面 pab平面 pae；（）棱 pb 上是否存在点 f，使得 cf平面 pae？说明理由9.（2019 天津文 17）如图，在四棱锥 p -abcd 中，底面 abcd 为平行四边形，vpcd 为 等边三角形，平面 pac 平面 pcd ， pa cd ， cd =2 ， ad =3 ，（）设g ，h分别为pb ，ac的中点，求证：gh 平面pad

5、；（）求证： pa 平面 pcd ；1 1 11 1111 11（）求直线ad与平面pac所成角的正弦值.10.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 abca b c 中，d，e 分别为 bc，ac 的中点，ab=bc 求证：（1）a b 平面 dec ；（2）bec e11. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱abc -a b c 1 1 1， 平 面a acc 1 1平 面abc , abc =90，bac =30 ,a a =ac =ac , e , f1 1分别是 ac，a b 的中点.（1）证明： ef bc；（2）求直线 ef 与平面 a bc 所成

6、角的余弦值.12.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 p -abcd 中， pa 平面 abcd，底部 abcd 为菱 形，e 为 cd 的中点（）求证：bd平面 pac；（）若abc=60，求证：平面 pab平面 pae；（）棱 pb 上是否存在点 f，使得 cf平面 pae？说明理由1 1 1 111 11113. （2019 全国 1 文 16）已知acb=90，p 为平面 abc 外一点，pc=2，点 p 到acb 两 边 ac，bc 的距离均为 3 ，那么 p 到平面 abc 的距离为_14. （2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 abcda b c d 的底面是菱形

7、，aa =4，ab=2， bad=60，e，m，n 分别是 bc，bb ，a d 的中点.（1） 证明：mn平面 c de；（2） 求点 c 到平面 c de 的距离15.（2019 天津文 17）如图，在四棱锥 p -abcd 中，底面 abcd 为平行四边形，vpcd为等边三角形，平面pac 平面pcd，pa cd，cd =2，ad =3，（）设g ，h分别为pb ，ac的中点，求证：gh 平面pad；1 11（）求证：pa 平面pcd；（）求直线ad与平面pac所成角的正弦值.16.（2019 浙江 8）设三棱锥 v-abc 的底面是正三角形，侧棱长均相等，p 是棱 va 上的点（不含端

8、点），记直线 pb 与直线 ac 所成角为 ，直线 pb 与平面 abc 所成角为 ，二面 角 p-ac-b 的平面角为 ，则a，c，b，d，17. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱abc -a b c 1 1 1， 平 面a acc 1 1平 面abc , abc =90，bac =30 ,a a =ac =ac , e , f1 1分别是 ac，a b 的中点.（1）证明： ef bc；（2）求直线 ef 与平面 a bc 所成角的余弦值.2015-2018 年一、选择题1(2018 全国卷)在正方体abcd -a b c d1 1 1 1中， e为棱 cc

9、的中点，则异面直线 ae 1与cd 所成角的正切值为1 1 1 11 11 1a22b32c52d722(2018 浙江)已知平面a ，直线 m，n满足m a ， n a，则“mn”是“m a ”的a充分不必要条件c充分必要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件3（2017 新课标）如图，在下列四个正方体中， a， b为正方体的两个顶点， m ，n，q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 ab与平面 mnq不平行的是4（2017 新课标）在正方体abcd -a b c d1 1 1 1中，e为棱cd的中点，则aa e dc1 1ba e bd1ca e bc1 1da e ac15（2

10、016 年全国 i 卷）平面过正方体 abcd - a b c d 的顶点 a，平面 cb d ， i平面 abcd=m， i 平面 abb a =n，则 m，n 所成角的正弦值为a32b22c33d136（2016 年浙江）已知互相垂直的平面 a，b 交于直线 l若直线 m，n 满足 m，n， 则aml 三、解答题bmn cnl dmn7（2018 全国卷）如图，在三棱锥p -abc中，ab =bc =2 2，pa =pb =pc =ac =4 ， o 为 ac 的中点paocbm(1)证明：po 平面abc；(2)若点m在棱bc上，且mc =2 mb，求点c到平面pom的距离8（2018

11、全国卷）如图，矩形 abcd 所在平面与半圆弧cd所在平面垂直，m 是 cd 上异于c， d的点(1)证明：平面amd 平面bmc；(2)在线段 am上是否存在点 p ，使得 mc 平面 pbdm？说明理由dcab9（2018 北京）如图，在四棱锥 p -abcd 中，底面 abcd 为矩形，平面 pad 平面 abcd ， pa pd ， pa = pd ， e ， f 分别为 ad ， pb 的中点paefdcb(1)求证：pebc；(2)求证：平面 pab 平面 pcd ；(3)求证：ef平面pcd10（2018 天津）如图，在四面体 abcd中，dabc是等边三角形，平面 abc平面

12、abd ，点 m 为棱 ab 的中点， ab =2 ， ad =2 3 ， bad =90o(1)求证： ad bc；(2)求异面直线 bc与 md 所成角的余弦值；(3)求直线 cd 与平面 abd 所成角的正弦值ambcd11(2018 江苏)在平行六面体abcd -a b c d1 1 1 1中，aa =ab1，ab b c1 1 1a1d1b1c1adbc求证：(1)ab 平面a b c1 1；(2)平面abb a 平面 a bc 1 1 112(2018 浙江)如图，已知多面体abca b c ， a a ， b b ， c c 均垂直于平面 abc ， 1 1 1 1 1 1abc

13、 =120o，a a =41，c c =11，ab =bc =b b =21a1b1ac1cb(1)证明：ab1平面a b c1 1 1；(2)求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值13（2017 新课标）如图，四棱锥p -abcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，ab =bc =12ad，bad =abc =90opadbc(1)证明：直线bc平面pad；(2)若 dpcd 的面积为 2 7 ，求四棱锥 p -abcd 的体积。14（2017 新课标）如图，四面体 abcd 中， dabc 是正三角形， ad =cd dceba(1)证明： ac bd ；(2) 已知dac

14、d是直角三角形，ab =bd若e为棱bd上与d不重合的点，且ae ec，求四面体abce与四面体acde的体积比平面 pbc ；15（2017 天津）如图，在四棱锥 p -abcd 中，ad ad =1 ， bc =3 ， cd =4 ， pd =2 （）求异面直线 ap 与 bc 所成角的余弦值； （）求证： pd 平面 pdc，ad bc ，pd pb ，（）求直线 ab与平面 pbc 所成角的正弦值16（2017 山东）由四棱柱abcd -a b c d 截去三棱锥 c -b cd1 1 1 1 1 1 1后得到的几何体如图所示，四边形 abcd 为正方形， o 为 ac 与 bd 的交

15、点， e 为 ad 的中点， a e 1平abcd面，（）证明：a o1平面b cd1 1；（）设 m 是 od 的中点，证明：平面a em 平面 b cd 1 1 1a1b1aed1bocmd17 （ 2017 北京）如图，在三棱锥 p -abc 中， pa ab ， pa bc ， ab bc ，pa =ab =bc =2， d 为线段 ac的中点， e 为线段 pc上一点（）求证： pa bd ；（）求证：平面 bde 平面 pac ；（）当 pa 平面 bde 时，求三棱锥 e -bcd 的体积18（2017 浙江）如图，已知四棱锥p -abcd，dpad是以ad为斜边的等腰直角三角形

16、，bc ad，cd ad，pc =ad =2 dc =2cb，e为pd的中点（）证明： ce 平面 pab ；（）求直线 ce 与平面 pbc 所成角的正弦值peadb c19（2017 江苏）如图，在三棱锥 a -bcd 中，abad，bcbd，平面 abd平面 bcd， 点 e、f（e 与 a、d 不重合）分别在棱 ad，bd 上，且 efad求证：（1）ef平面 abc；（2）adacaebfdc20（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线ac的长为 107cm，容器的两底面对角线eg，e g1 1的长分别为 14cm

17、和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm 现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器中，l的一端置于点a处，另一端置于侧棱cc1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器中，l的一端置于点e处，另一端置于侧棱gg1上，求l没入水中部分的长度11111abdcbc= a dmend= ，可得11专题 08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系答案部分2019 年1.【解析】如图所示，联结 be ， bd .因为点 n为正方形 abcd的中心 ecd为正三角形，平面 ecd 平面 abcd，m 是线段 ed 的中点，所以 bm

18、平面 bde ，en 平面 bde ，因为 bm 是bde 中 de 边上的中线， en 是 bde 中 bd 边上的中线，直线 bm ， en 是相交直线，设 de =a ，则 bd =2 a ， be =3 5a 2 + a 2 = 2a 4 4，6所以 bm = a ， en =23 1a 2 + a4 42=a，所以 bm en 故选 b2. 【解析】（ 1 ）连结 b c , me . 因为 m ，e 分别为 bb , bc 的中点，所以 me b c ，且1 1 1me = b c .又因为n为 a d 的中点，所以 nd = a d .2 2 由题设知 ，故 = ，因此四边形mn

19、de为平行四边形， 1 1 1 1mned.又mn 平面c de1，所以mn平面c de1.（2）过c作c e的垂线，垂足为h. 由已知可得 de bc ， de c c1，所以de平面 c ce ，故dech.1从而ch平面c de1，故ch的长即为c到平面c de1的距离，由已知可得ce=1，c c=4，所以c e =117，故ch =4 1717.从而点c到平面c de1的距离为4 1717.1 1 11 11 11 1 111 111 1 11111 11 1 11 111 113.【解析】对于 a， a内有无数条直线与 b 平行，则 a与 b相交或 ab，排除；对于 b， a内有两条

20、相交直线与 b平行，则ab；对于 c， a， b平行于同一条直线，则 a 与 b相交或 ab，排除；对于 d， a ， b垂直于同一平面，则 a与 b相交或 ab，排除 故选 b4.【解析】若m /a，过 m 作平面 bi a =m ，则m /m，又l a，则l m，又 m，m同在 b 内，所以 l m ，即 .5.【解析】证明：（1）因为 d，e 分别为 bc，ac 的中点， 所以 edab.在直三棱柱 abc-a b c 中，aba b ，所以 a b ed.又因为 ed平面 dec ，a b 平面 dec ，所以 a b 平面 dec .（2）因为 ab=bc，e 为 ac 的中点，所以

21、 beac.因为三棱柱 abc-a b c 是直棱柱，所以 cc 平面 abc. 又因为 be平面 abc，所以 cc be.因为 c c平面 a acc ，ac平面 a acc ，c cac=c， 所以 be平面 a acc .因为 c e平面 a acc ，所以 bec e.1 11 11 111 16.【解析】（1）由已知得 b c 平面 abb a ，be 平面 abb a ，故b c be1 1.又be ec1，所以 be平面eb c1 1.（2）由（1）知beb =90.由题设知 abe a b e，所以 aa =2 ae =6故 ae=ab=3，.1aeb =a eb =451

22、1，作ef bb1，垂足为 f，则 ef平面bb c c ，且 ef =ab =3 1 1.所以，四棱锥e -bb c c 的体积v = 1 1133 6 3 =18.f7.【解析】（1）由已知得ad p be，cg p be，所以ad p cg，故ad，cg确定一个平面，从 而a，c，g，d四点共面由已知得ab be，ab bc，故ab 平面bcge又因为ab 平面abc，所以平面abc 平面bcge（2）取 cg的中点 m ，联结 em ， dm .因为 ab de ， ab 平面bcge，所以 de 平面bcge，故 de cg .由已知，四边形 bcge 是菱形，且 ebc =60 因

23、此 dm cg .得 em cg ，故 cg 平面 dem .在 dem 中， de =1 ， em =3 ，故 dm=2 .所以四边形acgd的面积为4.8.【解析】（）因为 pa 平面abcd，且 bd 平面abcd，所以 pa bd又因为底面abcd为菱形，所以 bd ac 又 pa 平面 pac ， ac 平面 pac ， pa i ac =a，所以 bd 平面pac（）因为pa平面abcd， ae 平面abcd， 所以paae因为底面abcd为菱形，abc=60，且e为cd的中点， 所以aecd又 ab /cd ，所以abae又 pa 平面 pab ， ab 平面 pab ， pai

24、 ab =a，所以ae平面pab又 ae 平面 pae，所以平面pab平面 pae（）棱pb上存在点f，且 f为 pb的中点，使得cf平面pae取f为pb的中点，取g为pa的中点，连结cf，fg，eg因为g， f分别为 pa， pb的中点，则fgab，且fg=12ab因为底面abcd为菱形，且e为cd的中点，所以ceab，且ce=12ab所以fgce，且fg=ce1 1 11 11 11 1 111 111 1 11111 11 1 11 111 1111 11所以四边形cegf为平行四边形， 所以cfeg因为cf 平面pae，eg 平面pae， 所以cf平面pae9.【解析】（）连接 bd

25、，易知ac i bd =h，bh =dh .又由bg =pg，故gh pd，又因为gh 平面 pad， pd 平面 pad，所以gh 平面 pad.（）取棱 pc 的中点 n ，连接 dn .依题意，得 dn pc ，又因为平面 pac 平面 pcd ， 平面 pac i 平面 pcd =pc ，所以 dn 平面 pac ，又 pa 平面 pac ，故 dn pa .又已知pa cd，cd i dn =d，所以 pa 平面pcd.（）连接an，由（）中dn 平面pac，可知dan为直线 ad与平面pac所成的角，因为 pcd 为等边三角形， cd =2 且 n 为 pc 的中点，所以dn =3

26、 .又 dn an ，故在 rtand 中，sin dan =dn 3=ad 3.所以，直线 ad 与平面 pac 所成角的正弦值为33.10.【解析】（1）因为 d，e 分别为 bc，ac 的中点，所以 edab.在直三棱柱 abc-a b c 中，aba b ，所以 a b ed.又因为 ed平面 dec ，a b 平面 dec ，所以 a b 平面 dec .（2）因为 ab=bc，e 为 ac 的中点，所以 beac.因为三棱柱 abc-a b c 是直棱柱，所以 cc 平面 abc.又因为 be平面 abc，所以 cc be.因为 c c平面 a acc ，ac平面 a acc ，c

27、 cac=c，所以 be平面 a acc .因为 c e平面 a acc ，所以 bec e.11.【解析】（i）连接 a e，因为 a a=a c，e 是 ac 的中点，所以 a eac.1 111 11 111111111111111111111又平面a acc 平面abc，a e平面a acc ，平面a acc 平面abc=ac，所以，a e平面abc，则a ebc.又因为a fab，abc=90，故bca f. 所以bc平面a ef.因此efbc.（）取bc中点g，连接eg，gf，则egfa 是平行四边形由于a e平面abc，故ae eg，所以平行四边形egfa 为矩形 由（i）得bc

28、平面egfa ，则平面a bc平面egfa ，所以ef在平面a bc上的射影在直线a g上.连接a g交ef于o，则eog是直线ef与平面a bc所成的角（或其补角）.不妨设ac=4，则在a eg中，a e=2 3 ，eg= 3 .a g 15由于o为a g的中点，故 eo =og = 1 = ，2 2eo 2 +og 2 -eg 2 3所以 cos eog = =2eo og 5因此，直线ef与平面a bc所成角的余弦值是3512.【解析】（）因为 pa 平面abcd，且 bd 平面abcd，所以 pa bd 又因为底面abcd为菱形，所以 bd ac 又 pa 平面pac，ac 平面pac

29、，pa i ac =a，所以 bd 平面pac（）因为pa平面abcd， ae 平面abcd， 所以paae因为底面abcd为菱形，abc=60，且e为cd的中点， 所以aecd又 ab /cd ，所以abae又 pa 平面 pab ， ab 平面 pab ， pai ab =a，所以ae平面pab又 ae 平面 pae，所以平面pab平面 pae（）棱pb上存在点f，且 f为 pb的中点，使得cf平面pae取f为pb的中点，取g为pa的中点，连结cf，fg，eg因为g， f分别为 pa， pb的中点，则fgab，且fg=12ab因为底面abcd为菱形，且e为cd的中点，所以ceab，且ce=

30、12ab所以fgce，且fg=ce所以四边形cegf为平行四边形， 所以cfeg因为cf平面pae，eg平面pae，所以cf平面pae13.【解析】过点p作po平面abc交平面abc于点o，过点p作pdac交ac于点d，作pebc交bc于点e，联结od，oc，oe， 则 ac 平面 pod , bc 平面 poe ,所以 ac od , bc oe ,又 acb =90,( )2rt pcopo = 2211111abdcbc= a dme= nd= ，可得由题设知，故，因此四边形mnde为平行四边形，11故四边形 odce为矩形.有所做辅助线可知 pd =pe =3，所以 cd =ce =2

31、2-3 =1，所以矩形 odce为边长是1的正方形，则 oc =2.在 中，pc =2, oc =2，所以 .po即为点 p 到平面 abc 的距离，即所求距离为 .14.【解析】（1）连结 b c , me . 因为 m，e 分别为 bb , bc 的中点，所以 me b c ，且1 1 1me = b c .又因为n为 a d 的中点，所以 nd = a d .2 2 1 1 1 1mned.又mn 平面c de1，所以mn平面c de1.（2）过c作c e的垂线，垂足为h. 由已知可得 de bc ， de c c1，所以de平面 c ce ，故dech.1从而ch平面 c de ，故c

32、h的长即为c到平面 c de 的距离，1 1由已知可得ce=1，c c=4，所以c e =117，故ch =4 1717.从而点c到平面c de1的距离为4 1717.15.【解析】（）连接bd ，易知ac i bd =h，bh =dh.又由bg =pg，故gh pd，又因为gh 平面 pad， pd 平面 pad，所以gh 平面 pad.（）取棱pc的中点n，连接dn.依题意，得dn pc，又因为平面pac 平面pcd，平面 pac i 平面 pcd =pc ，所以 dn 平面 pac ，又 pa 平面 pac ，故 dn pa .又已知pa cd，cd i dn =d，所以 pa 平面pc

33、d.（）连接an，由（）中dn 平面pac，可知dan为直线 ad与平面pac所成的角，因为 pcd 为等边三角形， cd =2 且 n 为 pc 的中点，所以dn =3 .又 dn an ，故在 rtand 中，sin dan =dn 3=ad 3.所以，直线 ad 与平面 pac 所成角的正弦值为33.16.【解析】解法一：如图g为ac的中点，v在底面的射影为o，则p在底面上的射影d在线段 ao上，作de ac于e，易得pevg，过p作pfac于f，过d作dhac，交bg于h，则a=bpf ， b =pbd ， g=ped，则cosa =pf eg dh bd = = =cospb pb

34、pb pbb，可得 ba；tangpd pd= = =taned bdb，可得 bg.解法二：由最小值定理可得 ba，记 v -ac -b 的平面角为 g(显然bg=g由最大角定理可得；g=g)，解法三 特殊图形法 ：设三棱锥 v -abc 为棱长为2的正四面体，p为va的中点，23311 111 111 11 111111111111111111111166易得cosa = =336，可得sina =336，sinb= =323，sing= =32 23，2故选b17.【解析】（i）连接 a e，因为 a a=a c，e 是 ac 的中点，所以 a eac. 又平面a acc 平面abc，a

35、 e 平面a acc ，平面a acc 平面abc=ac，所以，a e平面abc，则a ebc.又因为a fab，abc=90，故bca f.所以bc平面a ef.因此efbc.（）取bc中点g，连接eg，gf，则egfa 是平行四边形由于a e平面abc，故ae eg，所以平行四边形egfa 为矩形 由（i）得bc平面egfa ，则平面a bc平面egfa ，所以ef在平面a bc上的射影在直线a g上.连接a g交ef于o，则eog是直线ef与平面a bc所成的角（或其补角）.不妨设ac=4，则在ra eg中，a e=2 3 ，eg= 3 .a g 15由于o为a g的中点，故 eo =o

36、g = 1 = ，2 2eo 2 +og 2 -eg 2 3所以 cos eog = =2eo og 5因此，直线ef与平面a bc所成角的余弦值是352015-2018 年1c【解析】如图，连接be，因为ab cd，所以异面直线 ae 与 cd 所成角等于相交直线ae与ab所成的角，即eab不妨设正方体的棱长为 2，则ce =1，bc =2，由勾股定理得be =5，又由ab 平面bcc b1 1，可得ab be，所以tan eab =be 5=ab 2，故选 cd1c1a1b1eda bc2a【解析】若 m a， n a， m n ，由线面平行的判定定理知 m a若 m a，m a，n a，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“ma” 的充分不必要条件故选 a3a【解析】由正方体的线线关系，易知 b、