矩阵论在人口迁移问题中的应用_矩阵论报告

1、4/5夬莘研究生“矩 阵论”课程课外作业姓名：_ 学 号： _学院：_专业： _类另比_ 上课时间： _成绩： _矩阵论在人口迁移问题中的应用摘要本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题， 做出简单的分析和概括。 文中运用方阵函数f (A)的相关基本理论来解决这一实际问题， 使得实际问题得 到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。1、待解决问题内容：假设有两个地区一如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%50%的人 口迁移到南方，同时有25%25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说 明理由；如果不会，那北

2、方的人最终人口分布会怎样？2、基本术语解释方阵函数f (A):最简单的方阵函数是矩阵多项式B f (A) a0E a1A L anAn，其中 A Cn n,ai C。一般运用复变幕级数的和函数定义方阵幕级数和函数一方阵函数。3、基本理论阐述：1 1、Hamilton-CayleyHamilton-Cayley 定理：设矩阵A A的特征多项式为f ()，则有f (A)0 o设A A的特征多项式为：fn an 1 n 1 La1a0Hamilton-CayleyHamilton-Cayley 定理表明：f A An an 1An 1 L a1A a0E 0，即方阵函数可以由An, An 1,L ,

3、A,E的线性组合表示。方阵函数是多项式f A a0E a1A L，其中A Cnn,ai C。2 2、最小多项式的相关理论:定义1 1: A A是n n阶方阵，f 是方阵A A的特征多项式。如果有f A 0,则称f 是方阵A A的零化多项式。由Hamilton-CayleyHamilton-Cayley定理知一个矩阵的零化 多项式一定存在。定义2 2:在n n阶方阵A A的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为 A A的最小多项式。设A Cn n的最小多项式为m( ) (1)tl(2)t2L (s)t其中 t1 t2Lts t， i j(i j,i, j 1,2,L ,s)，而方阵函数 f

4、AfA 是收敛的方阵幕级数akAk的和函数，即k 0f (l)(z)在z i(i 1,2,L ,s)处的导数值，即均为有限值，便称函数f (Z)在方阵A A的谱上给定，并称这些值为f(Z)在A A上 的谱值。4、报告正文根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为s和n，第n年人口数量分别为xn和yn。根据题意可以列出下式:f(A)akAk0设T( ) b0 b11，使bt1 t1,2,L0,1L,s,ti 13 3、运用f(Z)在A A上的谱值计算方阵函数f(l)( i) T(l)( i)则 T(A) f (A)akAkk 0其中f (A)的理论:设n n阶方阵A A的最小多项式为m()

5、(1)t1(2)t2L (s)ts，2,L , s是A A的互不相同的特征根。如果复函数f (Z)及其各阶导数f(l)( i)dlf(z)dzli1,2,L ,sl0,1L ,ti 11433x20.75s 0.5ny20.25s 0.5 nx30.75s2 0.5 n2y30.25s2 0.5 n2以此类推，可得到一个递推公式：xn 0.75s n 1 0.5 nn 1y 0.25sn i 0.5nn 1将其写成矩阵形式：x0.750.5sn 1yn0.250.5 n 10.750.50.75 0.5xn令A，同理可得Xn 10.250.5y 10.25 0.5ynXn 1An sy in那

6、么，问题转化为在n 时，lim An为多少的问题了nF面利用f (z)在A A上的谱值计算方阵函数 An :0.5f()E A0.750.250.5(0.25)(1)得到A A的特征值：10.25, 21矩阵A A的最小多项式为m()(0.25)(1)，设 Ana0E a1A可得方程组如下：a。0.25ai 0.25na。 ai 13(；) ,a1解得:1 1口将为一个 稳定的 值保持不 变，北方人口将是- s n，南方人口将 是335、报告结论本文通过运用矩阵论的基本原理来解决实际的人口迁移问题，将解决实际问题转化为数学模型，通过解方阵函数 f (A)和An以及lim An从而解决了实际模 n型。通过以上分析，所给南北两方人口迁移的最终结果是： 北方人口不会全部到 南方，北方的最终人口分布为：1的初始北方人口加1的初始南方人口。3 33 322xnsn3311ysn33则有: