2.1数列的概念与简单表示法1

1、第二章第二章 数数 列列2.1数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 第1课时 1，2，3，4，5， n， . （1） 1， ， ， ， ， ， . （2）n1213141511，1.4，1.41，1.414， . （3） 4，5，6，7，8，9，10. （4）1，1，1，1， . （6）10，9，8，7，6，5，4。 （5）下面几列数有什么共同特点？下面几列数有什么共同特点？数列数列;探究一、探究一、 数列的定义数列的定义(2)数列中的每个数列中的每个数数叫做数列的叫做数列的项项;(3)数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成:简记为简记为an.思考思考1： na与与 有什么不同？

2、有什么不同？ nana表示数列表示数列123,naaaa而而 只只na表示数列的第表示数列的第n n项项. .123,naaaa下面数列：下面数列： 1，1.4，1.41，1.414，1.4141中，中， = ；当当 = 时时， =1.414 3anna441. 1注意注意:符号符号“an”有双重意义有双重意义,右下标右下标“n”表示表示该项的序号该项的序号(该项是第几个数该项是第几个数)；a与与 n复合而复合而成的符号成的符号“an”表示第几个数是什么表示第几个数是什么.牢记数列中牢记数列中nN*2）根据数列项的大小分：）根据数列项的大小分：递增数列：递增数列：从第从第2项起，每一项都大于它

3、的前一项的数列。项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：递减数列：从第从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：常数数列：各项相等的数列。各项相等的数列。摆动数列摆动数列：从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列有穷数列：有穷数列：项数有限的数列项数有限的数列. 例如数列例如数列1，2，3，4，5，6。 是有穷数列是有穷数列无穷数列无穷数列：项数无限的数列：项数无限的数列.例如数列例如数列1，2，3，4，5，6，是无穷数列是无穷数列1）根据数列项数的多少分：）根据

4、数列项数的多少分：探究二、数列的分类：探究二、数列的分类： an :3nan数列数列an :, 1,21,31,41,511nan数列数列an :2, 4, 6, 8, 10, 122nan通项公式通项公式:( )naf n数列数列an :1, 3, 5, 7, 9, 1121nan探究三、数列的通项公式探究三、数列的通项公式 如果如果数列数列 an 的第的第n项项 an 与与n之间的关系可用一个公式来之间的关系可用一个公式来表示表示, ,那么这个公式就叫做这个数列的那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式. .1223455634(1). , , , , ;(2).-1 ,2 ,-3,

5、4 ,-5.解解:在通项公式中依次取在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5.得到数列的前得到数列的前5项分别为项分别为:例例1.根据下面数列的通项公式根据下面数列的通项公式,写出它的前写出它的前5项项.(1);1nnan(2)( 1).nnan 典型例题：典型例题：例例2 写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项使它的前几项分别是下列各数分别是下列各数:（2）-1, 1, -1, 1, -1,（1）1，2，4，8，16，12.nna121,(N )( 1) .12nnnkaknk 总结：已知数列的前几项总结：已知数列的前几项, ,求数列的一个通项公式求数列的一个通项

6、公式, ,实质实质是找数列的项与序号间是找数列的项与序号间的对应法则方法是：先找出各项之间构成的的对应法则方法是：先找出各项之间构成的共同规律共同规律，与项数无关的因素让，与项数无关的因素让其保持不变；再找随项数变化的因素与项数其保持不变；再找随项数变化的因素与项数 的联系的联系( (出现正负相间时，出现正负相间时， 用用 或或 调节调节););经以上观察、分析、比较、归纳经以上观察、分析、比较、归纳, ,写出一个通项公式；写出一个通项公式；最后将写出的通项公式代回检验最后将写出的通项公式代回检验. . n1 11nn说明：写出数列的一个通项公式的说明：写出数列的一个通项公式的规律规律：（1

7、1）关键是寻找与的对应关系；）关键是寻找与的对应关系；（2 2）符号数列用）符号数列用 或或 来调节；来调节；（3 3）分式的分子，分母可以分别找通项，但常要充分借助分子与分母的关）分式的分子，分母可以分别找通项，但常要充分借助分子与分母的关系；系；（4 4）对奇偶项各有规律的数列可以写成分段数列；）对奇偶项各有规律的数列可以写成分段数列；（5 5）形如）形如a,aa,aaa,aaaaa,aa,aaa,aaaa, ,(, ,(a aNN* *) )等数列的通项可统一写成等数列的通项可统一写成 ; ;（6 6）形如）形如a a，b b，a a，b b，a a，b b，的摆动数列可归纳为一公式的摆

8、动数列可归纳为一公式: :（7 7）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的。是唯一的。上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等等等. .遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研

9、究分子和分母之间的关系子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系. .) 110(9nnaa1( 1)22nnababa ( 1)n1( 1)n 这说明：数列的项是序号的函数，序号从这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。就是数列的实质。 所以：所以：数列数列可以看成以正整数集可以看成以正整数集N*（或它的有（或它的有限子集限子集1，2，3，4，,n）为定义域的）为定义域的函数函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，当自变量按照从小到大的顺序依

10、次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如如果果f(i) (i=1,2,3,)有意义，那可得到一个数列有意义，那可得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n), 即即数列是一种特殊的函数。数列是一种特殊的函数。，5141312111 2 3 4 5 。项项序号序号探究四、数列与函数的关系探究四、数列与函数的关系:注：数列与函数的关系注：数列与函数的关系y=fy=f（x x）a an nn n （正整数集（正整数集N N或它的有限子或它的有限子集集1,2,3, ,n)1,2,3, ,n)项项通项公式通项公式函数值函数值自变量自变量图

11、象3nan1nan探究五探究五. 数列的图象数列的图象 从函数的观点来看从函数的观点来看,数列可以看作定义域为正整数数列可以看作定义域为正整数集集(或其子集或其子集)的函数的函数,其图像是由一些孤立的点组成其图像是由一些孤立的点组成.数列数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象的图象12345678910123456789100数列数列 8，4，2，1, 0.5 , 的图象的图象数列的图象表示数列的图象是数列的图象是一群孤立的点一群孤立的点n数列作为特殊的函数的特殊性表现在：数列作为特殊的函数的特殊性表现在：（1）它的定义域是正整数集）它的定义域是正整数集,通项是序号的函通项是序号的函数，即数，即 .（2）其图象是）其图象是对应对应的函数图象上的孤立点的函数图象上的孤立点.（3）我们仅讨论数列的单调性，周期性，它不）我们仅讨论数列的单调性，周期性，它不具有奇偶性。具有奇偶性。)(nfan - -1.1.观察下面数列的特点，用适当的数填空：观察下面数列的特点，用适当的数填空： B BA A小结：一、数列的定义一、数列的定义 ：按照一定的次序排成的一列数，叫做数列.数列的每一个数叫做数列的项，依次叫做第1项，第2项，第3项， ,第n项，