[VIP专享]第六章弯曲内力

1、第六章弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标掌握弯曲 变形与平面弯曲等基本概念；熟练掌握用截面法求弯曲内力；熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；利用载荷集度、剪力和弯矩 间的微分关系 绘制剪力图和弯矩图；掌握叠加法 绘制剪力图和弯矩图。2、教学内容平面弯曲等基本概念；截面法及 简便方法求弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、 绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩 间的微分关系 绘制剪力图和弯矩图；叠加法 绘制剪力图和弯矩图。二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正 负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图

2、和弯矩图。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答 问题。四、计划讲课学时4 学时五、实施学时记录1六、讲课提纲1、平面弯曲的概念及梁的种 类平面弯曲的概念简单回顾轴向拉、压：图 6-1受力：F p 作用在横截面上，作用 线与杆轴线重合。变形；沿轴线方向的伸 长或缩短。剪切：图 6-2受力：F p 作用在杆的两 侧面上，作用线轴线 。变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。扭转：2图 6-3受力：T 作用在垂直于杆 轴的平面内（横截面内）。变形：相邻截面发生相对转动。弯曲：讨论杆的弯曲 暂时限制在如下的范 围； 杆的横截面至少有一根 对称轴（一个对称面）图

3、6-4 载荷作用在 对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通 过杆件轴线的纵向对称平面内：3图 6-5变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。何谓梁？凡是以弯曲 为主要变形的杆件，通常称为梁。梁的种 类： 简支梁图 6-6 悬臂梁图 6-74 外伸梁图 6-8 多跨静定梁图 6-9 超静定梁图 6-1052、梁的内力及其求法梁的内力 剪力与弯矩 确定约束反力图 6-11 内力分析用截面法沿 m-m 截面截开（任取一段）图 6-12按平衡的概念 标上 FQ ,M 。FQ -与横截面相切 剪力M内力偶矩 弯矩6 内力值的确

4、定用静力平衡条件：Fy0FAFQ0 得FQF AM o0FAaM0得MFAa（O- 截面形心）剪力、弯矩的正、负号规定：剪力：当截面上的 FQ 使该截面邻近微段有做 顺时针转动趋势时为 正，反之为负。图 6-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受 压为正（即凹向上时为正），反之为负。图 6-147求指定截面上的剪力和弯矩图 6-15求图示梁截面A、C 的内力：解： 求反力：F A5kN ，FB4kN校核： F y0F pq6FAFB03 16540(无误) 求指定截面上的内力：截面 A 左（不截到FA ）：F y0 FpFQA左 0FQA左FP3kN（使该段有逆 时针转动

5、的趋势）M O0F p 2M A左08图 6-16M A左326kN m（上拉下压）截面 A 右（截到FA ）：y0图 6-17截面 C 左 （不截到M 1）：图 6-18截面 C 右 （截到M 1）：F pFQA左FA0FQA左53N2kM O0F p 2M A右0M A右326kN mF y0FAFPq2FQC左0FQC左5320M O0F p4 F A2 q 2 1 M C左 0M C左3452 12 14kN mFy0F AFPq2FQC右0FQC右5320M O 0F p4 FA2 q2 1 M5M C右0M C右3 41212129图 6-196kN m小结基本规律 求指定截面上的

6、内力 时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段 为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（ FQ、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的 FQ、M 即为正的剪力和弯矩。若 计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是 负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体 图上假设的内力方向改过来）。 梁内任一截面上的剪力 FQ 的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考 虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使 该截面上产生正号的剪力，而所有向

7、下的外力会使 该截面上产生负号的剪力。 梁内任一截面上的弯矩的大小，等于 这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考 虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使 该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使 该截面上产生负号的弯矩。另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转 向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆 时针转向的外力偶会使 该截面上产生负号的弯矩。103、剪力图和弯矩图为了知道 FQ、M 沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的 FQ、M 是不够的，并能找到 FQ max 、M max 的值及其所在截面，以便 对梁进行强度，刚度计算，

8、我们必须作梁的剪力 图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的 FQ、M 一般随横截面的位置不同而 变化，横截面位置若用沿梁轴线的坐标 x 来表示，则梁内各横截面上的 FQ、M 都可以表示 为坐标 x 的函数，即FQFQ (x)剪力方程MM (x)弯矩方程在建立FQ (x) 、M (x) 时，坐标原点一般 设在梁的左端。剪力图和弯矩图根据 FQ (x) 、M (x) ，我们可方便地将 FQ 、M 沿梁轴线的变化情况形象地表现出来，其方法是横坐标 x- 横截面位置纵坐标 FQ 或 M -按比例表示梁的内力FQ、 M 画在横坐 标的上边FQ 、 M 画在横坐 标的下边剪力图、弯矩图的特点：（举例

9、说明）11例题 6-1 ：图 6-20解：求约束反力整体平衡，求出约束反力：12FAFP ；FP注意；约束反力的校核FBll分段列 FQ ( x) 、M ( x)注意：三定 定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端；正向：自左向右为正向。 定方程区 间即找出分段点；分段的原 则：载荷有突变之处即为分段点。 定内力正 负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立FQ (x) 、M (x)列 FQ ( x1 ) 、M ( x1 ) ：AC 段：（根据图 b 列方程）FP bFQ ( x1 )FA（0x1a）lM (x ) FAx1FP b x111（0xa）lCB 段：（图 c）FQ ( x2 )

10、FAFPFP bFP （ax2b 时，FQ maxFP al据 M 图可见，c 截面处有，M maxFP abl若 a=b=l/2,则 M maxFP l4特点之一：在集中力作用 处，FQ 图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；FP bFP aFP (a b) FP ；图有一转折点，形成尖角。（M 图的切线斜lll率有突然 变化）例题 6-214图 6-21AC 段：FQ ( x1 )FAM O（0x1a）lM (x1 ) F Ax1M O x1（0x1a）lCB 段：FQ (x2 )FAM O2l（axl）M (x2 ) FA x2M OM Ox2M O（ab,则集中力偶左 侧

11、截面上有最大弯矩MM O amaxl特点之二：在集中力偶作用下，弯矩 图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集15中力偶矩的大小；改变斜率）。M O aM O bQ图连续，并不lM O；但剪力图没有突变。（Fl例题 6-3图 6-22FQ ( x)FAqlqx（0xl ）qx2M ( x)FAqx 2qlxqx2x22（0 xl）2由 FQ、M 图可见：ql支座处：FQ max2ql 2FQ=0 处：M max8特点之三：从例题 8-1（集中力）、例题 8-162（集中力偶）、例题 8-3（均布荷载）可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点 铰支座上没有集中力偶的作用

12、， 则铰支座处的弯矩等于零。例题 6-4图 6-23FQ ( x)qx（0 xl）qx 2M ( x)（0 xl）2在固定端 处： QqlFmaxMql 2max2特点之四：17在梁的外伸自由端点 处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。特点之五：在固定端 处，剪力和弯矩分别等于该支座处的支座反力和 约束力偶矩。特点之六：最大剪力、最大弯矩及其位置。最大剪力 发生位置：梁的支座处及集中力作用 处有 FQ max ，例题 6-3 及 6-4最大弯矩一般 发生在下列部位； 集中力作用的截面 处 例题 6-1 集中力偶作用的截面 处 例题 6-2 FQ=

13、0 处，M 有极值 例题 6-3 悬臂梁的固定端 处 例题 6-4（外伸梁的支座处往往也有 M max ）例题 6-518图 6-24特点之七：在梁的中 间铰上如果没有集中力偶作用， 则中间铰处弯矩必等于零，而剪力图在此截面 处不发生突变。例题 6-6再分析例 题 6-1；集中作用在l /2 处19图 6-26再分析例 题 6-3：简支梁承受均布 载荷图 6-27特点之八：对称结构、对称载荷，FQ 图反对称，M 图对称，据此特点，下面这道题即可方便作出 FQ、M 图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作 图）20图 6-25q( x)10x2q( x)5xF( x)F15x x 102.5x2（

14、0xl）AC段：QA2M (x)FAx1 (5x) xx10 x5 x3（0 x2）236根据特点之八，可画出整个梁的FQ、M 图21例题 6-7图 6-26特点之九：对称结构，反对称载荷，FQ 图对称，M 图反对称。特点之十：梁中正、负弯矩的分界点称 为反弯点，反弯点处 M=0 ，构件设计中确定反弯点的位置具有 实际意义。224、q(x) 、FQ ( x) 、M (x) 之间的微分和 积分关系。留心例题 6-1 到例题 6-4；特别是例题 6-3、例题 6-4，可以发现：dM (x)dxdFQ (x)FQ (x)，q(x) 。是否普遍存在着 这样的关系？dx q(x) 、FQ (x) 、M

15、(x) 之间的微分关系。图 6-27取 dx 一段讨论，任设 FQ (x) 、M (x) 均为正值。Fy0FQ ( x)q( x)dx FQ ( x)dFQ ( x)0dFQ ( x)q( x)dx式的物理意 义：梁上任一横截面上的剪力 FQ(x) 对 x 的一阶导数 dFQ ( x) ，dx等于该截面处作用在梁上的分布荷 载集度 q(x) 。式的几何意 义：任一横截面上23的分布荷 载集度 q(x) ，就是剪力图上相关点 处的斜率。M O0M (x)FQ ( x)dx q(x)dx dxM ( x) dM ( x)02略去高 阶微量dM ( x)( x)FQdx式的物理意 义：梁上任一横截面

16、上的弯矩 M (x) 对 x 的一阶导数 dM (x) ，dx等于该截面上的剪力 FQ (x) 。式的几何意 义：任一横截面处的剪力 FQ (x) ，就是弯矩图上相关点 处的斜率。对式的两 边求导，则d 2 M ( x)dFQ (x)q(x)dx 2dx式的物理意 义：梁上任一横截面上的弯矩 M (x) 对 x 的二阶导数d 2 M ( x) ，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度 q( x)dx 2数学上：二阶导数可用来判定曲 线的凹向，因此：式的几何意 义：可以根据 M (x) 对 x 的二阶导数的正、负来定出 M (x) 图的凹向。根据 q(x) 、FQ (x) 、M (x) 之间的微

17、分关系所得出的一些规律： 若 q(x) =0 Q ( x) = q( x) =0 ，即FQ (x) =常数dxdFFQ 图为一水平直 线；24又dM (x)FQ (x) =常数，即 M 图的斜率为一常数dxM 图为一斜直线。并且当 FQ 0 时，M 图为上升的斜直 线（/）；当 FQ 0 时，M 图为下降的斜直 线（）. 若 q(x) 0 （即分布荷载向下） Q ( x) = q 0dFdxFQ 图为一下降的斜直 线（）又dM (x)FQ0dxM 图下降。再d 2 M (x)dx 2q0M 图为一凹向下的曲 线（） 若 q(x)0 （即分布荷载向上） Q ( x) = q0dFdxFQ 图为一

18、上升的斜直 线（/）dM (x)又FQ0M 图上增。d 2 M (x)q0再2dxM 图为一凹向上的曲 线（） 若 dM (x)FQ ( x)0（即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M, 而dx梁上又无 q、FP 作用）25则 M 图的斜率为零，M 图为一水平直 线。若 dM ( x)FQ0 ，M 图在该处的斜率为零时，dx则在此截面上 M 为一极值。 若 dM (x)FQFQ 或 dM (x)FQFQdxdx（即分段列内力方程的分段点， FQ 变号）则 M 在该处必有极值。当FQFQ 时， M 有极大值；当FQFQ 时， M 有极小值。 q(x) 、FQ (x) 、M (x) 之间的积分关系dM ( x)q( x)FQ ( x)q( x)dx若梁上任有两点：a 和 b，则FQFQ aFQbba q(x)dx几何意义；任何两截面（b，a）上的剪力之差，等于此两截面间梁段上的荷载图的面积；又dM (x)q(x)dxM (x)FQ (x)dxMM bM aba FQ ( x)dx几何意义；任何两截面上的弯矩之差，等于此两截面 间的剪力图的面积。 q(x) 、FQ (x) 、M (x) 之间的微分关系和 积分关系的 应用26作内力图既快又正确的三句 话：抓住 “关系 ”；注意突变；定点