3单自由度系统强迫振动(4)

1、密码：jixiezhendong2011机械振动课件邮箱： 一般情况下一个周期性函数都可以展成付氏级数，因此一个一般情况下一个周期性函数都可以展成付氏级数，因此一个周期激振周期激振函数（激振力）总可以分解为一系列不同频率的简谐函数函数（激振力）总可以分解为一系列不同频率的简谐函数来处理。来处理。.sin)(2,cos)(2,)(20000 TjTjTjptdttFTbjptdttFTadttFTa)()(TtFtF 假定粘滞阻尼系统受到的周期激振力假定粘滞阻尼系统受到的周期激振力一般都可以展成付氏级数：一般都可以展成付氏级数： 10sincos2)(jjjjptbjptaatF 前面讨论的强迫

2、振动，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励或一般激励而很少为简谐激励。工程问题中遇到的大多是周期激励或一般激励而很少为简谐激励。T为周期为周期频率频率P P=2=2 /T/T称为基本频率，简称基频；对应于基频的简谐分量，称为基波。称为基本频率，简称基频；对应于基频的简谐分量，称为基波。对应于频率为对应于频率为2 2p p，3 3p p的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。一个有阻尼的弹簧一个有阻尼的弹簧质量系统在周期激振力质量系统在周期激振力 作用下的微分方程

3、为：作用下的微分方程为：)(tF 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 因为振动系统是线性的，由激振力的各个分量所引起的稳态振动可以迭加，因为振动系统是线性的，由激振力的各个分量所引起的稳态振动可以迭加，所以单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应可以表示为：所以单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应可以表示为： 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax 其中：其中：)(1/2an21 jpjptj 为相角。为相角。一个有阻尼的弹簧一个有阻尼的弹簧质量系统在单个简谐激振力质量系统在单个简谐激振力 作用下的微分方程为：作用

4、下的微分方程为：pthxxnxsin22 Hsinpt)sin(ptp4)p(1kHptpnphx222222 )sin(4)(22222稳态响应：稳态响应： 在小阻尼情况下，只要在小阻尼情况下，只要 时，即当振系的固有频时，即当振系的固有频率为激振频率的整数倍时，振系将发生共振。率为激振频率的整数倍时，振系将发生共振。 jp n 为振系的固有频率为振系的固有频率， 为阻尼比。为阻尼比。 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax 其中其中：)(1/2an21 jpjptj 为相角，为相角，单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应：单自由度振系在周期

5、激振力作用下的稳态响应：1）系统对周期激振力的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为）系统对周期激振力的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。的特点。2）在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接）在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式

6、来减振。 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax )(1/2an21 jpjptj 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 3） 代表着平衡位置，即代表着平衡位置，即 作用于系统上所产生的静变形。作用于系统上所产生的静变形。ka2020a例例2 如图（如图（a）所示是机床凸轮进给系统的简化模型。）所示是机床凸轮进给系统的简化模型。m代表滑台及其上代表滑台及其上面刀架的质量，面刀架的质量，k、c分别为切削刚度和阻尼，分别为切削刚度和阻尼，k1为驱动系统的刚度。为驱动系统的刚度。凸轮使顶杆凸轮使顶杆D沿水平线作周期的往复运动，

7、其运动规律如图（沿水平线作周期的往复运动，其运动规律如图（b）所示）所示的锯齿波形，再通过弹簧的锯齿波形，再通过弹簧k1使振系产生强迫振动。已知凸轮升程为使振系产生强迫振动。已知凸轮升程为2cm，转速为，转速为n=60r/min，求此振系的稳态响应。，求此振系的稳态响应。Tt,0Tt2x1 解：顶点解：顶点D的运动方程：的运动方程：11s60s60radf -1s2 p1s ,T sinjptj121(t)x1j1 （一个周期内）（一个周期内）激振频率：激振频率：)x(xkkxcxxm11 .j2jptdtsin)t (FTb,jptdtcos)t (FTa,dt)t (FTaTjTjT 00

8、0020222振系的微分方程：振系的微分方程： 1j111sinjptj12kk)xk(kcxxm sinjptj2k1 m)k(k1 )k(kkx11 对应于等式右端第对应于等式右端第j次简谐力次简谐力系统的响应为：系统的响应为：2221j1)jp(2jp1)jk(k)sin(jpt2kx )(1/2an21 jpjptj 对应于等式右端的常数项对应于等式右端的常数项k1，系统的响应：，系统的响应：系统的稳态响应：系统的稳态响应： 1222)2()(1 )(jj11jpjpjjptsin21kkkx 设系统的固有频率为设系统的固有频率为srad 60/ 0Tt rad/s0,30,6010,

9、12,15,2p 10. rad/s1080p K与与k1相比较小可忽略不计，在激励频率相比较小可忽略不计，在激励频率范围内，每隔一定间隔计算一次系统在范围内，每隔一定间隔计算一次系统在 范围的响应范围的响应 x（t），），并取出峰值，标为并取出峰值，标为xmax，绘出频域响应曲线，可以看出，在，绘出频域响应曲线，可以看出，在响应出现尖峰，它们分别是由激振力的基波和响应出现尖峰，它们分别是由激振力的基波和26次谐波所激起。次谐波所激起。例例3汽车单缸活塞式发动机的振动力学模型如图。发动机的运动部件主要由汽车单缸活塞式发动机的振动力学模型如图。发动机的运动部件主要由活塞、连杆和曲柄（或称曲轴）组

10、成。现以等效集中的方法，把连杆的活塞、连杆和曲柄（或称曲轴）组成。现以等效集中的方法，把连杆的质量集中到活塞和曲柄销上。运动部件的质量最后可用曲柄销上的质量质量集中到活塞和曲柄销上。运动部件的质量最后可用曲柄销上的质量m1和活塞上的质量和活塞上的质量m2来表示。设发动机的总质量为来表示。设发动机的总质量为m，曲柄转速为，曲柄转速为n，连杆长度为连杆长度为l，发动机支承刚度和阻尼分别为，发动机支承刚度和阻尼分别为k和和c。按图中所示取坐标。按图中所示取坐标轴，求发动机垂直振动响应轴，求发动机垂直振动响应。RcosptpmF211 解：发动机垂直振动的激励有两个：解：发动机垂直振动的激励有两个：曲

11、轴的偏心质量在垂直方向的分力：曲轴的偏心质量在垂直方向的分力：cos2pt)lR(cosptRp-mxmF2222 )ptsinlR1l(1cospt)R(1x22pptsin2lRR(1-cospt)x22p 活塞的惯性力活塞的惯性力F2：活塞的位移：活塞的位移：sin2pt2lpRcosptRpx22p cos2ptlpRcosptRpx222p Xp为活塞从最高点下降的距离，L+R减去m2o的距离激振力：激振力：cos2pt)lRR(pRcospt-m)pm(mFFF22222121 R)pm(mF22101 )p(/pt21112an cos2pt)lRR(pRcospt-m)pm(m

12、kxxcxm222221 系统的振动微分方程：系统的振动微分方程：22202)lRR(pmF 设：设：系统的响应：系统的响应：)cos(2pt)p(4p411(kF)cos(pt)p(2p11(kFx(t)222202122201 )p(/pt212414an 在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。脉冲响应函数法傅立叶变换法拉普拉斯变换法单自由度线性系统在单自由度线性系统在非周期激励非周

13、期激励 作用下的强迫振动作用下的强迫振动求解方法求解方法脉冲响应函数法解决问题的思路：脉冲响应函数法解决问题的思路：把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的分力（脉冲力）的叠加；把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的分力（脉冲力）的叠加；在脉冲力作用下的响应在脉冲力作用下的响应 应用动量定理；应用动量定理；总响应总响应 叠加原理。叠加原理。设在设在 时有一脉冲作用在有阻尼的时有一脉冲作用在有阻尼的振系上，如图所示。则此系统的响应可振系上，如图所示。则此系统的响应可以看作是以脉冲作用后产生的以看作是以脉冲作用后产生的状态状态作为作为初始条件初始条件的一种自由振动。的一种自由振动。1.5.1系统

14、对脉冲激励的响应系统对脉冲激励的响应 t)(mvdFd 根据动量定理，元冲量等于系统动量的根据动量定理，元冲量等于系统动量的微分，即：微分，即：mFddv 上式表明，在脉冲力作用下系统的速度上式表明，在脉冲力作用下系统的速度有了一个增量。但因作用时间短，还来有了一个增量。但因作用时间短，还来不及发生位移的变化（或者说位移是二不及发生位移的变化（或者说位移是二阶微量）。阶微量）。将这个初始条件代入有阻尼自由将这个初始条件代入有阻尼自由振动公式，便得系统对脉冲激振振动公式，便得系统对脉冲激振的响应：的响应：因此，在这样一个脉冲作用下，系统的因此，在这样一个脉冲作用下，系统的响应相当于初始条件为（假

15、设原系统是响应相当于初始条件为（假设原系统是静止的）：静止的）： 时时的自由振动。的自由振动。)(sin)( temFdxtn)( t22n mFdxxt 00, 0,1.5.21.5.2线性系统的迭加原理线性系统的迭加原理则两个脉冲联合作用下该系统的响应为：则两个脉冲联合作用下该系统的响应为：t)(sin)(11 temdFxtn有两个脉冲有两个脉冲 F1F1、F2 F2 作用在有阻尼振作用在有阻尼振系上。根据线性系统的迭加原理，系上。根据线性系统的迭加原理，振振系在这两个脉冲作用下的响应可看作系在这两个脉冲作用下的响应可看作是两个脉冲单独作用下所产生的响应是两个脉冲单独作用下所产生的响应的

16、迭加的迭加。对应于对应于 时的脉冲响应为：时的脉冲响应为：在在 时的脉冲响应为：时的脉冲响应为：st )(sin)(22stemdsFxstn 21xxx 1.5.3 1.5.3 系统对任意激振的响应系统对任意激振的响应- -杜哈美杜哈美(Duhamel)(Duhamel)积分积分)(tF)(tFkxxcxm 设有任意激振力设有任意激振力 作用在振系上。作用在振系上。系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为： 把时间分割为无数微小的间隔把时间分割为无数微小的间隔 ，则，则任意任意激振力的作用可视为一系列微冲量的连续作用激振力的作用可视为一系列微冲量的连续作用。因而，可先分别求出振系对每一个微

17、冲量的响应，因而，可先分别求出振系对每一个微冲量的响应，然后根据线性迭加原理，将各个响应迭加，就得然后根据线性迭加原理，将各个响应迭加，就得到振系对任意激振力的响应。到振系对任意激振力的响应。 d系统在任意时刻系统在任意时刻 时的微冲量时的微冲量 作用下的响应（记为作用下的响应（记为 ）可写成：）可写成： t dF)(dx)(sin)()( temdFdxt当激振力当激振力 从从 瞬时瞬时 到到 连续连续作用时响应为：作用时响应为：)( F0 t dtemFtxtt)(sin)()()(0 ttdteFm0)()(sin)(1 杜哈美（杜哈美（Duhamel）积分积分 tdtFmx0)(sin

18、)(1 当当 时，时， ，即为无，即为无阻尼系统对任意激振力的响应。阻尼系统对任意激振力的响应。 )(tFkxxcxm 1.5.3 系统对任意激振的响应系统对任意激振的响应-杜哈美杜哈美(Duhamel)积分积分系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为：当激振力当激振力 从从 瞬时瞬时 到到 连续连续作用时响应为：作用时响应为：)( F0 t 任意激任意激振力振力 ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 0 上述方程是在零初始条件下，对于任意激振力的响应。若在上述方程是在零初始条件下，对于任意激振力的响应。若在t=0时，任意激时，任意激振力振力F（t）作用的瞬时，系统的初始位移和初

19、始速度为：）作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为：00 xx ,xx (0)(0)则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加：则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加：d)(tsine)Fm1)sintcos(e(t)(tt0000t(txxxx tdtFmx0)(sin)(1 d) t (sin)(Fm1)sincos() t (t000txtxx当当 时，时， ，即为无阻尼系统对任意激振力的响应：，即为无阻尼系统对任意激振力的响应： 0 考虑初始条件引起的响应与任意激振力的响应的叠加，得无考虑初始条件引起的响应与任意激振力的响应的叠加，得无阻尼系统的全响应：阻尼系统的全响应：初

20、始条件引起的响应初始条件引起的响应(无阻尼自由振动无阻尼自由振动)例例1.10 求有阻尼振系在求有阻尼振系在 时受到突加常力时受到突加常力 作用下的响应。作用下的响应。这种载荷称为这种载荷称为阶跃函数阶跃函数，用，用 （常数）表示，如图所示。（常数）表示，如图所示。0 t0F0)(FF 解解 令令 ，则，则tt t dd 0t0sintdtemFxt tttdtemF00sin ) sin (cos1 0ttekFxt 突加载荷突加载荷 除了使弹簧产生静变形除了使弹簧产生静变形 外，还使振系发生振幅为外，还使振系发生振幅为 的衰减振动。当的衰减振动。当 时，时， ，则上式变为：，则上式变为：

21、此时弹簧的最大变形为静变形此时弹簧的最大变形为静变形 的两倍。的两倍。),cos(11 20 tekFxtkF0)1(2 0 keFt , 0)cos1(0tkFx 211an t0F0 kF0运用分部积分法得：运用分部积分法得：得：得：或或 ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 10tt )cos1(0tkFx 1tt tdtFmx 0)(sin)(1 11 0 )(sin)(1)(sin)(1tttdtFmdtFm 10100cos)(cos)(sinttttkFdtmF （ 表示表示 时的振幅。）时的振幅。）2112210212121sin)cos1()(ttkFxxA Tt

22、kFtkF1010sin22sin2 2 T0FTt1 若取矩形脉冲持续若取矩形脉冲持续 ，我们得到振幅，我们得到振幅 （见图（见图b）。若取）。若取 ，则则 , 在此情况下，常力在此情况下，常力 从从0至至A作正功，从作正功，从A回到回到0作相等量负功，所以系统保作相等量负功，所以系统保持静止（见图持静止（见图c）。）。21Tt kFA02 Tt 10 A0F例例1.11 求无阻尼系统在矩形脉求无阻尼系统在矩形脉冲作用下的响应。冲作用下的响应。1x1tt 振系的响应为：振系的响应为：在在 阶段，振系的响应就是除去激振力后的自由振动。用杜哈美积分有：阶段，振系的响应就是除去激振力后的自由振动。

23、用杜哈美积分有：振系的振幅为振系的振幅为：其中其中为振系的固有周期。为振系的固有周期。在去掉常力在去掉常力 后，振幅随比值后，振幅随比值 而改变。而改变。解：解： 在在 阶段，阶段，第一章第一章 总结总结1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动1 .振动微分方程的建立：振动微分方程的建立： （1） 牛顿运动定律：牛顿运动定律： 牛顿运动定律可用于质点、刚体和结构微元体运动微分方程的建牛顿运动定律可用于质点、刚体和结构微元体运动微分方程的建立。对于自由度比较少、受力分析也不复杂的系统，一般可以考虑采立。对于自由度比较少、受力分析也不复杂的系统，一般可以考虑采用。牛顿运动定律适合惯性坐标系中物体各种运

24、动的描述，但要注意用。牛顿运动定律适合惯性坐标系中物体各种运动的描述，但要注意有关物理量的方向。有关物理量的方向。 （2 2） 拉格朗日方程：拉格朗日方程： 拉格朗日方程中用到的广义坐标通常不要求具有明确的方向和物拉格朗日方程中用到的广义坐标通常不要求具有明确的方向和物理意义，对于动能和势能函数比较容易确定的系统，都可以选择这种理意义，对于动能和势能函数比较容易确定的系统，都可以选择这种方法。对于复杂系统，这种方法更具有优越性。方法。对于复杂系统，这种方法更具有优越性。拉格朗日方程：拉格朗日方程：jjjjQqUqT- )qT(dtd q qj j第第j j个广个广义坐标义坐标广义力广义力（非保

25、守力）（非保守力）2 .振动微分方程的求解与振动特性分析振动微分方程的求解与振动特性分析描述系统动态特性的三个要素：振幅描述系统动态特性的三个要素：振幅A、相位、相位 和固有频率和固有频率 tmk 振幅是指系统作简谐运动时，描述振动状态的量（通常指位移）偏离平振幅是指系统作简谐运动时，描述振动状态的量（通常指位移）偏离平衡位置的最大值。衡位置的最大值。相位是指物理量（通常指位移）随时间作简谐变化时，任意时刻对应的角相位是指物理量（通常指位移）随时间作简谐变化时，任意时刻对应的角变量。变量。t=0时对应的相位就是初相位。它是相对时间坐标原点而言的。时对应的相位就是初相位。它是相对时间坐标原点而言

26、的。固有频率为线性系统固有振动的频率。对于单自由度系统，固有频率和自固有频率为线性系统固有振动的频率。对于单自由度系统，固有频率和自由振动的频率相同，对于多自由度系统，固有频率和自由振动的频率是不由振动的频率相同，对于多自由度系统，固有频率和自由振动的频率是不一致的。一致的。无阻尼线性系统的振动特性为：无阻尼线性系统的振动特性为：0 kxxcxm 022 xxnx mcnmk 2 ,2 特征方程特征方程0222 nrr特征根特征根222, 1 nnr)tnsin(Aex22nt )sin( tAexnt22n 20020)( nxxxA000annxxxt 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减欠阻尼是一种

27、振幅逐渐衰减的振动。的振动。振动方程的通解振动方程的通解衰减振动的周期衰减振动的周期：222122 TnTTnTtnntiieAeAeAAii )(1 mkcn2 振幅衰减率振幅衰减率TnAAii 1ln 对数衰减率对数衰减率)tn2tn1nt2222ece(cex t)c(cex21nt 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。临界阻尼也是一种按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。临界阻尼也是一种按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。ptHkxxcxmsin pthxxnxsin22 )t (x)t (x

28、)t (x21 振动微分方程振动微分方程)tsin(Ae)t (xnt 1)sin()(2 ptBtx222224)(pnphB 222anpnpt 20020)( nxxxA000annxxxt 1.振动方程及其通解振动方程及其通解振动方程的通解振动方程的通解2220222222222212114)(BpnphpnphB)sin()(2 ptBtx影响振幅的主要因素：影响振幅的主要因素：uB B0 0的影响：的影响： 它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H H静止地作静止地作用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅用在弹簧

29、上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B B与激振力幅值与激振力幅值H H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。u 的影响：的影响：频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明静力偏移静力偏移频率比频率比相对阻尼系数相对阻尼系数振幅比（放大因子，动力系数）振幅比（放大因子，动力系数）221 p共振频率共振频率振幅振幅 20BBmax 幅频特性幅频特性u 的影响的影响: : 从幅频特性曲线看出，在共振附近一定范围内，从幅频特性曲线看出，在共振附近一定范围内，阻尼对减小振幅有显著作

30、用，增加阻尼，振幅可以阻尼对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。明显下降。20maxBB222anpnpt 在离开共振较远的范围，阻尼对减小振幅的在离开共振较远的范围，阻尼对减小振幅的作用是不大的，尤其在作用是不大的，尤其在p p ，阻尼几乎没有什么，阻尼几乎没有什么作用。作用。)sin()(2 ptBtx相频特性：相频特性：2.偏心质量引起的强迫振动偏心质量引起的强迫振动ptmepkxxcxMsin 2 ptsinpMmexxnx222 )ptsin(Bx 振动振动微分方程：微分方程：222221)()(MmeB 特解：特解：3.支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动振动振

31、动微分方程：微分方程：支承运动支承运动)ptsin(B)ptsin(Bx 2特解：特解：2223412 tg4. 振动的隔离振动的隔离（1 1）主动隔振）主动隔振 对于自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响，对于自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响，将其与支撑它的地基隔离开，这类隔振称为主动隔振。将其与支撑它的地基隔离开，这类隔振称为主动隔振。主动隔振系数主动隔振系数（2 2）被动隔振）被动隔振 对于受振动影响很大的精密仪器或设备，为减少周对于受振动影响很大的精密仪器或设备，为减少周围环境振动对其造成的影响，将其和支承的基础隔离，围环境振动对其造成的影响，将其和支承的基础隔离，这类隔

32、振成为被动隔振。这类隔振成为被动隔振。被动隔振系数被动隔振系数主、被动隔振幅频特性主、被动隔振幅频特性1 1）无论阻尼大小，只有当）无论阻尼大小，只有当 时才时才有隔振效果。有隔振效果。2 2） 以后，随着频率比的增以后，随着频率比的增大，隔振效果提高，但当大，隔振效果提高，但当以后，无明显变化。以后，无明显变化。5. 等效粘滞阻尼等效粘滞阻尼vcFe cvF 等效粘滞阻尼等效粘滞阻尼ce等效粘滞阻尼系数等效粘滞阻尼系数干摩擦的等效粘滞阻尼系数与干摩擦的等效粘滞阻尼系数与摩擦力成正比，与系统的振幅摩擦力成正比，与系统的振幅和频率成反比。和频率成反比。等效粘滞阻尼等效粘滞阻尼1 1）干摩擦阻尼）

33、干摩擦阻尼2 2）速度平方阻尼）速度平方阻尼速度平方阻尼的等效粘滞阻尼系数与系统的振幅速度平方阻尼的等效粘滞阻尼系数与系统的振幅和频率成正比。和频率成正比。3 3）结构阻尼）结构阻尼结构阻尼的等效粘滞阻尼系数结构阻尼的等效粘滞阻尼系数与系统的频率成反比。与系统的频率成反比。有了非粘滞阻尼的等效粘滞阻尼系数，其强迫振动的微分方程：有了非粘滞阻尼的等效粘滞阻尼系数，其强迫振动的微分方程：特解：特解：振幅：振幅：222anpnpt mcn2e 初相位初相位)()(TtFtF 10sincos2)(jjjjptbjptaatF.sin)(2,cos)(2,)(20000 TjTjTjptdttFTbj

34、ptdttFTadttFTa 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax )(1/2an21 jpjptj 周期力周期力展成傅里叶级数：展成傅里叶级数：振动微分方程振动微分方程：响应：响应：)(sin)( temFdxtn)t ( 22n 系统对单个脉冲的响应：系统对单个脉冲的响应：则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加：则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加：00 xx ,xx (0)(0) ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 考虑初始条件引起的响应与任意

35、激振力的响应的叠加，得无阻尼系统的考虑初始条件引起的响应与任意激振力的响应的叠加，得无阻尼系统的全响应：全响应：当激振力当激振力 从从 瞬时瞬时 到到 连续连续作用时响应为：作用时响应为：)(F 0 t d)(tsine)Fm1)sintcos(e(t)(tt0000t(txxxxd) t (sin)(Fm1)sincos() t (t000txtxx例例1 1 如图所示系统中，均质刚杆如图所示系统中，均质刚杆AB的质量为的质量为m，A端弹簧的刚度为端弹簧的刚度为k。求。求O点铰链支座放在何处时系统的固有频率最高。点铰链支座放在何处时系统的固有频率最高。解：设解：设q q为广义坐标，系统的动能

36、为：为广义坐标，系统的动能为：2222Onl)l2m(ml12121I21T 2eq222)(nlm21)n31n1(1m(nl)21 eqmk 等效质量等效质量meq：)n31n1m(1m2eq 欲得最高的固有频率，必须使欲得最高的固有频率，必须使meq最小：最小：0n32n3dndm3eq 得：得：32n 0nn)2(1dnmd42eq2 代入二阶导数，得：代入二阶导数，得：是极小值，故铰链应放在距是极小值，故铰链应放在距A端三分之二杆长处。端三分之二杆长处。例例2 一质量一质量m=2000kg，以匀速度，以匀速度v=3 cm/s运动，与弹簧运动，与弹簧k、阻尼、阻尼c相撞后一相撞后一起做

37、自由振动，已知起做自由振动，已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，问质量，问质量m在相撞后多少时在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少？间达到最大振幅？最大振幅是多少？)/(.mks194200048020 )s(.arctant301m 0kxxcxm )tsintcos(exxt 0tsinexxt 0解：系统自由振动的微分方程为：解：系统自由振动的微分方程为：在在 的初始条件下的响应：的初始条件下的响应：0 xx,0 x,0t 由由 ，得最大振幅发生在，得最大振幅发生在0 x )/(.mcs187542000219604.922222 最大振幅最大振幅)cm(.tsinexxmtmaxm52900 注意：最大振幅并不发生在注意：最大振幅并不发生在cm.xt ,tsin526021 20020)( nxxxA000annxxxt )tsin(Ae)t (xnt 1例例3 如图所示的质量如图所示的质量弹簧系统中，在两个弹簧的连接处作用一激励弹簧系统中，在两个弹簧的连接处作用一激励ptsinF 0tpsinkkFkxkkkkxm2102221212 。试求质量块。试求质量块m的振幅。的振幅。解：设解：设 坐标如图。坐标如图。分别以两弹簧的连接处和质量块为对象运用牛顿定律：分别以两弹簧