【2019年整理】浅谈数学中的变形技巧论文

1、成绩：学年论文题 目：浅谈数学中的变形技巧学 院：专 业： 班 级:学 号:姓 名:指导教师：2012 年 12 月 20目录1. 弓丨言 32. 数学变形的概述 33. 变形技巧在初等数学中的应用 34. 结论 105. 参考文献 11浅谈数学中的变形技巧摘 要：变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。本文主要介绍了变形技巧在初等数学中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向， 减少解题的盲目性， 提高解题效率。关键词：初等数学；代数；变形；技巧1引言近些年来，在中学数学考试中的考试题目越来越新颖，特别是在中考

2、，高 考的试题当中，有些试题的技巧性又非常强，考生一味的在上面钻牛角尖的话， 这不但会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案。所以有必要针 对有些题研究解题技巧，对有些题作出一些变形。随着国内外数学工作者对数 学变形技巧的研究，使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手， 增加了我们的解题信心，更提高了对数学的兴趣。本文从先对数学中变形进行 概述性介绍，接着主要从变形技巧在初等数学中的一些具体的应用加以阐述说 明。2数学变形的概述什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，总而言之，它是为了达到某种 目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段。它属于技能 性的知识，所以

3、它存在着技巧和方法，需要人们在学习数学的实践中反复操练 才能把握，才能够灵活应用。在中学数学中的基本方法中大致可以分为三类：1、逻辑学中的方法：例如 分析法、综合法、反证法等。这些方法既要遵循从逻辑学中的基本规律和法则， 又因运用于数学之中而具有数学的特色。2、数学中的一般方法，3、数学中的 特殊方法：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法、拆项补项法、 因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题 时起着重要作用。而变形也是数学中一种重要的方法之一，了解并掌握这些变 形技巧不仅能够帮助我们解题，激发我们对于数学的学习兴趣，而且由于变形 技巧的灵活多变性，有助于

4、思维的锻炼。3变形技巧在初等数学中的一些应用很多式子中的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为c a2 b2，亦可表述为a2二c2 -b2, b2 =c2-a2等。若问3 (1/3)=?，这显然是一个不屑回 答的问题，但若问 仁？就成了最富灵活性的问题，例如1=1 1, 1=(一1)10 ,仁sin= cos等。可见“变形”实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著 名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。接下来将主 要给大家介绍一元二次方程，三角函数，“0”，“ T等的变形应用，希望对这几 方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到举一反三的功效。3.1 一元二次方程变

5、形技巧对有些含有(或可转化)一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简。下面列举例子说明：例1已知是方程x2 -x -1 =0的两根，求：4 3一：的值。解：因为是方程X2 -X -1 = 0的根 .2八-1 = 0，2 -1贝U4 =(:.亠 1)2=2亠 2：亠1 = 1 亠 2：亠1=3展亠 2，所以，:-43 =3二-2 - 3 一： =3(二 1-.-) - 2又因为，是方程x2 -x-1 =0的两根，.- T，.:-4 3 - 5分析：如果要求出：，一：的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通 过变形的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率，

6、节省时间。例2若m，n是一元二次方程x2 2000x 0的两个根，求(m2 1999m 6)(n22001 n 8)的值。解：由题设得2 2m 2000m 7=0，n 2000n 7=0，及 m n 二-2000， mn =72 2 (m 1999m 6)(n2001 n 8)= (m22000m 7 -m -1)(n2 2000n 7 n 1)=-(m 1)(n 1)= -mn -(m n) -1=-7 2000-1 =1992分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决，不必求出 m和n的值例3设实数s、t分别满足19s2 99s 0，t2 99t 1

7、 0，并且st = 1，求std的值t22解：由题设可得 99s =-(19s1)，99t =-(t T9).2两式相除，得巴二竽-t t2+19由比例的基本性质，得st219s =19s2t t，整理得 19st-19s=st -t，即 19s(st1)=t(st1)因为st ，所以t =19s，2st 4s 1 s 19s 4s 1(19s1) 4s -99s 4s -95s 匚 t19s19s19s19s分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件19s2 99s0，t2 99t 10进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。我们在解决一元二次方程的代数问题时， 首先要认真仔细地观察题目的

8、已 知条件和所要求的式子，观察他们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件 来解决所要求的问题。特别是要灵活应用韦达定理：即如果X1，X2为方程ax2 bx c=0( a =0)的两个根，贝U X1 x -b，为x-在解这类题目时，aa可以先从已知条件出发，也可以从结论入手。关键是要善于观察所要求式子的 特点。3.2三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等函数、初等几何的关系十 分密切。特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三 角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等

9、变形创造 条件 例 1 已知 tan=2，求 2sin : -3sin cos -2cos :-的值。2 2解：原式=2sin3sin : cos ： - 2cos :- 2sin 二 “ cos :2 22sin ： 3sin ： cos： 2cos :2 2 2COS ： cos ： cos :22sin ： cos :-22cos ： cos :22tan :- -3tan ： -2tan2 a +12 22 -3 2 -222 1=0分析：除了这里的1=sin2二cos2-：外，还有以 下等式 也经常用到：1 二 tan： cot，1 =sec 二-tan : , 1 二 esc co

10、t :- ，1 = tan 灵活运用这些等4式，可以使许多三角函数问题得到简化。例 2 已知 A B ，求(1 tan A)(1 tan B)的值.4解：(1 tan A)(1 tan B) = tan A tan B (1 tan Atan B)=tan(A B)(1 _tan Atan B) (1 tan Atan B)it=tan (1tan Atan B) (1 tan Atan B)4(1 -tan Atan B) (1 tan Atan B)=2分析：对于正切和角公式tan()=需启 可正用也可逆用。而1 -tan ： tantan j 1 tan - - tan(J 】)(1 -

11、 tan ： tan :)为变形形 例 3 试求 cos210； cos250 -sin 40sin80 的值。解：原式=sin280： sin2 40 -2sin40【sin80，cos60：构造 ABC，使.A = 80：, . B = 40： , . C = 60 ,外接圆直径 2R = 1 ,则3由正弦定理，得a二sin80：，b二sin 40：，c=sin60 3.又由余弦定2理，得 c2 二 a2 b2 -2abcos60、，=sin2 80、sin2 40 - 2sin40sin80 cos60223.sin 80、 sin 40 -sin40、sin80、：43故 cos210

12、、cos2 50 -sin 40 sin80 3 =4分析：注意到cos2二 sin2=1， cos2二sin2二cos2，我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。再观察所求三角函数式，不难发现它与余 弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识。它包 括化简三角函数式，三角函数式的变形公式。变形中要注意三角函数定义域和 值域的要求，以及符号的变化和选择。3.3“0”的变形技巧恩格斯在自然辩证法一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而 且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有

13、更丰富的内容零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不 等于零的数，都等于零，”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活 动中我们若能多这些特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面 我们举例几个“ 0”的特性在解题中的应用：例1若a b c，求证4-a b b c a c证明：因为 a b c， a-b 0， b-c 01 1 1 1 (a-c)()=(a-b) (b-c)()a-bb-ca-b b-c-2 .(a=b)(b=c) 21 1=4a-b b-c又因为ac .0 ,故-2ab bc ac分析：通过观察可发现 a-c可以变形为a-b b-c，即式子a-c加了0（

14、-bb=：0）。则再利用不等式的性质可方便解决这道题。例2在等差数列 an和等比数列 bn中，印=b 0 , ab20 ,求证：当n _3时，an :：: bn证明：bn =aiainF（亚）nP（艺壬色）n（分子上加“ 0” a1= aJC0aad1 （n -1）屯 鱼=站（n-1）-aj =a.a1分析：本题主要在a（亚）n二印/2 _a1 a1）n变形，即分子加上0,再利用 aa不等式和等差数列的有关知识去解即可。“0”是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题。如果有些题目可以借助“ 0”来解决，我们应该充分利用“ 0”的有关特性去解决。这样可以很快确定解题

15、方向，提高解题效率。3.4“ 1”的变形技巧众所周知“ 1”的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉“1”，恰当地用“ 1”来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了。下面我们来看它的应用：22cos2 a -1例1化简2cos 2 11-2s in2a2 2 2 2解:原式=2cos a -1 _2cos a (sin a +cos a)2 2 2 212sin ： (sin 二亠 cos ： )-2sin :2- 2cos ： -sin :2cos ： -sin :=1说明：本题充分利用1= cos2二亠sin2使问题巧妙解决。本题也可以用三角函数的知识来

16、解答，但是比较麻烦n例2在等差数列 an中，a 0 ,公差d = 0 ,设& 八，则mSn=(解：因为1d1a 卅 一 ai11 )dai ai 1daiai 1d( )aiai 1y a ai 1a ai 11 an 1 - 41 1 1 所以Sn J (丄-丄)d C an*a1 an 11冃(色d)nlim Sn =-x厂Qd分析：这里巧妙的运用1使问题得以解决。即式子一 变形为1 dai anfd ai 日叶而这里的1d例 3 设a， b， c运 R +，求证 abc (a + b_c)(b+c_a)(c + a_b)解：(1)若a，b-c， b，c-a， c，a-b中有两个或三个为负

17、，不妨设a b c ： 0， b c a ： 0，贝U a b-c b c-a ：0，即 b 0 矛 盾，因而a，b-c， b，c-a， c，a-b中至多有一个为负。(2) a，b-c，b，c-a， c，a-b中只有一个为负时不等式显然成立(3) 当 a b -c， b，c-a， c，a -b 均为非时，a2*(a b-c) (c ab)同理 b _ . (b c - a) (a b -c)c _ . (c a _b) (b c_a)故 abc . (a b -c)(b c -a)(c a -b)分析：这道题如果不认真去思考，那么将很容易遗漏（1）和（2）这两种情 况。即要讨论a，b-c， b

18、y-a， c，a-b这三个数的正负情况。而第三种情 况用到了 1和0的变形技巧，即.a7 （：）2用到了 1的变形技巧，而 ,（：a）2（a F-cJc sb）2用到了 o的变形技巧。然后再利用不等式的 性质便可解决这道题。通过以上的例子可以看出，如果借助“ 1”来解决有关的数学问题，则效率 非常高，因为“ 1”的变形是多种多样的，对不同的题目，“ 1”的变形是不同的。 有些题目若能利用“1”来求解，那么我们应该灵活应用“ 1”去解决。4结论通过对中学数学中的初等数学的一些变形技巧加以梳理、归类，发现变形 在我们的初等数学中应用的形式和空间非常的广泛，合理地运用变形技巧于数 学学习中，是学习者学好数学、提高能力的一种重要方法和手段。运用得好不 但能使学习者在数学学习过程中触类旁通、举一反三，而且能使学习者在数学 学习中产生无穷的乐趣甚至有所创新。学习变形技巧在数学学习中有广泛的应 用，特别是培养创造