第4章随机数与随机变量的生成

1、生产系统建模与仿真生产系统建模与仿真 Modeling and Simulation of Production System第第4章章 随机数与随机变量的生成随机数与随机变量的生成 第第4章章 随机数与随机变量的生成随机数与随机变量的生成 4.1 随机数的生成和性质随机数的生成和性质 4.2 常用的随机数发生器常用的随机数发生器 4.3 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 4.4 随机变量的生成 基本要求v理解几种常用随机数发生器的基本思想和原理 v理解随机变量的生成方法v了解随机数的基本性质 v 了解随机数发生器的性能检验 随机数的生成及其性质v 随机数是包括生产系统在内的所有离

2、散事件系随机数是包括生产系统在内的所有离散事件系统仿真中一个必不可少的基本元素，是整个仿真过统仿真中一个必不可少的基本元素，是整个仿真过程得以运行的基础。程得以运行的基础。 v 对于包括生产系统在内的几乎所有离散事件系对于包括生产系统在内的几乎所有离散事件系统来说，其仿真程序或模型都要求必须具备比较完统来说，其仿真程序或模型都要求必须具备比较完善的能够产生指定分布的随机变量生成模块或子程善的能够产生指定分布的随机变量生成模块或子程序。序。v 大多数计算机语言都提供能够产生随机数的子大多数计算机语言都提供能够产生随机数的子程序、对象或函数。同样，仿真语言也能产生用于程序、对象或函数。同样，仿真语

3、言也能产生用于事件发生时间和其他随机变量的随机数。事件发生时间和其他随机变量的随机数。 随机数的生成及其性质v随机数定义：随机数定义： 指从每一数出现几率相等的一系列数中，靠随机的指从每一数出现几率相等的一系列数中，靠随机的方法抽取出来的数。方法抽取出来的数。v随机数生成方法随机数生成方法 关于随机数生成方法的研究已有很长的历史。最早关于随机数生成方法的研究已有很长的历史。最早的随机数是用的随机数是用手工实现手工实现的，如的，如抽签、发纸牌、从罐抽签、发纸牌、从罐子中摸取带数字的球子中摸取带数字的球等方法。其中，有些方法至今等方法。其中，有些方法至今仍然还采用。仍然还采用。随机数的生成及其性质

4、v随机数生成方法随机数生成方法 随着随着Monte-Carlo方法的出现，方法的出现，20世纪初出现了生世纪初出现了生成随机数的成随机数的机械装置和电子装置机械装置和电子装置，如，如抽奖机抽奖机等。但等。但是机械装置和电子装置不能重复生成与原来完全相是机械装置和电子装置不能重复生成与原来完全相同的随机数，对计算结果无法进行检查，并且生成同的随机数，对计算结果无法进行检查，并且生成过程比较复杂。因此，它们未能得到进一步推广。过程比较复杂。因此，它们未能得到进一步推广。 目前，在用目前，在用计算机计算机生成随机数的方法中，一类使用生成随机数的方法中，一类使用最广、发展较快的方法是最广、发展较快的方

5、法是数学方法数学方法，其特点是占用，其特点是占用内存少、速度快并且便于检查。内存少、速度快并且便于检查。随机数的生成及其性质v用数学方法生成随机数用数学方法生成随机数是指按照一定的算法是指按照一定的算法（递推公式），来生成（递推公式），来生成“随机随机”数列（也称数列（也称随机数流）。随机数流）。v这种用这种用算法算法生成的随机数，只要给定初始的生成的随机数，只要给定初始的种子值，则以后所生成的种子值，则以后所生成的“随机随机”数都是确数都是确定的数值，从本质上说这并不具有真正的随定的数值，从本质上说这并不具有真正的随机性，因此称这种方法为机性，因此称这种方法为伪随机数伪随机数PRN（Pseu

6、do Random Number）。）。随机数的生成及其性质v用数学方法生成随机数所依赖的用数学方法生成随机数所依赖的算法和程序算法和程序就称为随机数发生器。就称为随机数发生器。v 仿真模拟钟所用到仿真模拟钟所用到各类随机变量都是以随机数发生器产生的随机数发生器产生的0, 1)0, 1)间均匀分布随机间均匀分布随机数数为基础而得来的。 v如果精心设计算法，就可以生成具有真正随如果精心设计算法，就可以生成具有真正随机数的统计性质的伪随机数。通常，只要所机数的统计性质的伪随机数。通常，只要所生成的伪随机数能通过一系列生成的伪随机数能通过一系列统计检验（如统计检验（如独立性、均匀性）独立性、均匀性）

7、就可以把它们作为真正的就可以把它们作为真正的随机数使用。随机数使用。随机数的生成及其性质v优良的随机数发生器具有特征1. 生成的随机数序列要尽可能地逼近理想的均生成的随机数序列要尽可能地逼近理想的均匀总体随机样本所具有的随机性、均匀性和匀总体随机样本所具有的随机性、均匀性和独立性等统计性质。独立性等统计性质。2. 生成的随机数序列必须要有足够长的周期，生成的随机数序列必须要有足够长的周期，以满足仿真计算的需要。以满足仿真计算的需要。 3. 产生随机数的速度快产生随机数的速度快4. 所生成的随机数序列必须是完全可重复的所生成的随机数序列必须是完全可重复的 5. 占有内存小占有内存小关于均匀性和独

8、立性：关于均匀性和独立性：v 1、如果将区间、如果将区间0,1分为分为n类或等长的子区类或等长的子区间，那么在每个区间的期望观测次数为间，那么在每个区间的期望观测次数为N/n，其中，其中N为观测的总次数。为观测的总次数。v 2、观测值落在某个特定区间的概率与以、观测值落在某个特定区间的概率与以前的观测值无关。前的观测值无关。随机数的生成及其性质常用的随机数发生器 生成随机数的方法经历了一段漫长的发展过程生成随机数的方法经历了一段漫长的发展过程，下面介绍几种有代表性的算法，主要有：，下面介绍几种有代表性的算法，主要有：v （1）早期的随机数发生器：）早期的随机数发生器：平方取中随平方取中随机数发

9、生器机数发生器、乘积取中随机数发生器、常数、乘积取中随机数发生器、常数乘子法、乘子法、斐波那契法（斐波那契法（Fibonacci）等；等；v （2）线性同余随机数发生器：线性同余随机数发生器：混合同余混合同余随机数发生器、乘同余随机数发生器；随机数发生器、乘同余随机数发生器；常用的随机数发生器 v1.平方取中随机数发生器平方取中随机数发生器 由冯诺依曼于1940年提出的，基本原理是：将一个N位数平方后，取中间N位数为第一个随机数，然后再平方取中间N位数为第二个随机数，递推公式如下：递推公式如下：常用的随机数发生器 221200mod1010/10(),knnkknnxxuxxkx初始值为正整数

10、为 的位数的一半1.平方取中随机数发生器平方取中随机数发生器常用的随机数发生器 v1.平方取中随机数发生器平方取中随机数发生器常用的随机数发生器 常用的随机数发生器 v例4.1 取k=1， x0 =76，求由“平方取中法”可以得到如下随机数。解：解：220765776x 22220176mod 10mod 1010105776mod 10010577 mod 10077xx（或者直接从（或者直接从5776取中取中间的两个数得取中取中间的两个数得77)常用的随机数发生器 常用的随机数发生器 由上例可以看出，由于由上例可以看出，由于 k 取值较小，很快进取值较小，很快进入退化状态；当入退化状态；当

11、 k 取值较大时，将使退化现取值较大时，将使退化现象延迟。象延迟。 平方取中法易退化且均匀性差异显著平方取中法易退化且均匀性差异显著2. 乘积取中法随机数发生器乘积取中法随机数发生器位正整数为、及初始值为kxxxxxuxxxknnkknnn2,10/10mod10101021211 乘积取中法随机数发生器的其递推公式为：乘积取中法随机数发生器的其递推公式为：乘积取中法随机数发生器中要有两个种子值为乘积取中法随机数发生器中要有两个种子值为x0、x1， x0、x1为为2k位非负整数，位非负整数，k一般最小取一般最小取2；常用的随机数发生器 例例4.2 取取k=2， x0 =5167， x1 =37

12、29，求由，求由“乘积取乘积取中法中法”可以得到不同的随机数。可以得到不同的随机数。192677433729516710 xx26772x2677.010000/21 xu解解：由于由于取取则则0998253399825332677372921 xx9825. 010000/32 xu取取则则同理同理98253x依次取下去，我们可以得到如下表：依次取下去，我们可以得到如下表：常用的随机数发生器 n123456192677430998253326301525296223751876234547437929 2677982530156223762343790. 26770. 98250. 3015

13、0. 62230. 76230. 4379nnxx11nxnu “乘积取中法乘积取中法”的周期比的周期比“平方取中法平方取中法”长，均匀长，均匀性也有所改善，但主要缺点是最后仍要进入退化状态。性也有所改善，但主要缺点是最后仍要进入退化状态。常用的随机数发生器 3.常数乘子发生器常数乘子发生器MxxuxMxknnkknn及乘子初始值为022110/10mod10 常数乘子发生器是乘积取中法随机数发生常数乘子发生器是乘积取中法随机数发生器的一种变形，这种方法需要选取一个器的一种变形，这种方法需要选取一个 2k 位位的非负整数的非负整数M为常数因子，其递推公式为：为常数因子，其递推公式为：常数乘子发

14、生器中的常数乘子发生器中的x0为为2k位非负整数，位非负整数，k一般一般最少取最少取2。3.常数乘子发生器常数乘子发生器常用的随机数发生器 例例4.3 取取k=2， M=3987， x0=7223，求由常数乘子，求由常数乘子法可以得到不同的随机数。法可以得到不同的随机数。解解798110mod28798110mod01.28798110mod102879810110mod10222222222201xMx7981.010000/798110/2211xu常用的随机数发生器 同理同理820210mod31820210mod47.31820210mod103182024710mod10222222

15、222212xMx8202.010000/820210/2222xu常用的随机数发生器 n1234562879810131820247327013742796083138307096122400907981820270139608307324000. 79810. 82020. 70130. 96080. 30730. 24001nMxnxnu 同乘积取中法一样，常数乘子法的周期比平同乘积取中法一样，常数乘子法的周期比平方取中法长，均匀性也有所改善，但主要缺点方取中法长，均匀性也有所改善，但主要缺点是最后仍要进入退化状态。是最后仍要进入退化状态。依次取下去，我们可以得到如下表：依次取下去，我们

16、可以得到如下表：常用的随机数发生器 4. 斐波那契发生器斐波那契发生器11101()mod/nnnnnxxxmuxmxx初 始 值 为及 斐波那契（斐波那契（Fibonacci）法基于）法基于Fibonacci 序列，序列，其递推公式为：其递推公式为：其中，其中， x0、x1、m为为非负整数。非负整数。常用的随机数发生器 例例4.4 取取x0 =0， x1 =1，m=8 ，求由上述递推公式，求由上述递推公式可以得到不同的随机数。可以得到不同的随机数。则则18mod1mod)(102mxxx125.08/1/21mxu解：解：常用的随机数发生器 同理同理则则28mod2mod)(213mxxx2

17、5.08/2/32mxu常用的随机数发生器 若继续计算可得，若继续计算可得， u 1=u13=0.125，且从，且从n=13开始，开始，un循环取循环取u1从到从到u13的值，周期的值，周期T=12m。此法的优点是。此法的优点是计算方便，周期长，缺点是序列中的数重复出现。计算方便，周期长，缺点是序列中的数重复出现。n1234567891011121312350552710110.1250.250.3750.625 0 0.6250.6250.250.8750.12500.1250.1251nxnu依次取下去，我们可以得到如下表：依次取下去，我们可以得到如下表：常用的随机数发生器 （以上四法）（

18、以上四法）历史历史上常用方法的特点上常用方法的特点v简单、直观、易于实现；v数据内部特性难以控制，容易出现退化等问题。常用的随机数发生器 00 5. 目前目前常用方法常用方法线性同余随机数发生器线性同余随机数发生器 此方法是由莱默尔于此方法是由莱默尔于19481948年提出的，是目前在离年提出的，是目前在离散系统仿真中应用最广泛的随机数发生器，基本公式散系统仿真中应用最广泛的随机数发生器，基本公式如下：如下：1()(mod )iiiiZaZcmZum常用的随机数发生器 v线性同余随机数发生器的讨论线性同余随机数发生器的讨论 例例 Z= A (MOD M) 则则 *AZAMM常用的随机数发生器

19、由上述递推公式得到的由上述递推公式得到的xn满足：满足： ，从而从而 至多能取至多能取m个不同的整数。个不同的整数。mxn0nx 称称数列数列 xn 重复值之间的最短长度为重复值之间的最短长度为 xn 的周期，记的周期，记为为T。若。若T=m，则称为满周期的。下面举例说明线性同余，则称为满周期的。下面举例说明线性同余随机数发生器的应用。随机数发生器的应用。例例4.5 取取a =3，c =1，m=8 ，x0 =1，求线性同余法产生随机，求线性同余法产生随机数。数。解解：48mod48mod)13(01xx5.08/48/11 xu常用的随机数发生器 同理同理58mod138mod)13(12xx

20、625.08/58/22 xu08mod168mod)13(23xx08/08/33 xu常用的随机数发生器 n1234567891041316141316141345014501450.50.62500.1250.50.62500.1250.50.625nunx131nx从从n=5开始，开始， ， ， un循环取循环取u1从到从到 u4 的值，周期的值，周期T=4 21亿。亿。m可取一个可取一个足够大的质数。足够大的质数。va和和c的选取的选取 c与与m互质，一般为奇数；互质，一般为奇数；a-1可为可为4整除；则整除；则a一定为一定为4的倍数的倍数+1。vx0的选取的选取 因为因为xi可以是

21、可以是0m之间的任一数，所以之间的任一数，所以x0的选的选取不是很重要，但是如果取取不是很重要，但是如果取x0=0有时确实会使有时确实会使通式的结果退化。通式的结果退化。常用的随机数发生器 v常用同余式随机数发生器常用同余式随机数发生器15351311(51)(mod2 )(314159269453806245)(mod2 )iiiiZZZZ常用的随机数发生器 v组合发生器组合发生器 把把两个或者更多个两个或者更多个独立的随机数发生器独立的随机数发生器(通常是两个通常是两个不同的线性同余发器不同的线性同余发器)以某种方式组合起来以某种方式组合起来，使得新组，使得新组合的随机数发生器具有合的随机

22、数发生器具有更长的周期和良好的统计更长的周期和良好的统计性质。性质。 最著名的是麦克拉伦最著名的是麦克拉伦(M. D. Maclaren )和马尔萨利亚和马尔萨利亚(G. Marsaglia )于于1965年提出的年提出的组合同余法组合同余法 常用的随机数发生器 v组合发生器组合发生器 把把两个或者更多个两个或者更多个独立的随机数发生器独立的随机数发生器(通常是两个通常是两个不同的线性同余发器不同的线性同余发器)以某种方式组合起来以某种方式组合起来，使得新组，使得新组合的随机数发生器具有合的随机数发生器具有更长的周期和良好的统计更长的周期和良好的统计性质。性质。 最著名的是麦克拉伦最著名的是麦

23、克拉伦(M. D. Maclaren )和马尔萨利亚和马尔萨利亚(G. Marsaglia )于于1965年提出的年提出的组合同余法组合同余法 常用的随机数发生器 v 组合发生器组合发生器组合同余法组合同余法v 采用第一个线性同余发生器采用第一个线性同余发生器LCGl生成生成k个随机数，一般取个随机数，一般取k=128，把这，把这k个数按序依次存放在某一向量个数按序依次存放在某一向量T中，中，T=(t1，t2 ,，tk );并置并置n=1。v 采用第二个线性同余发生器采用第二个线性同余发生器LCG2生成一个随机的整数生成一个随机的整数j，满，满足足1jk。v 令令xn= tj，然后再采用第一个

24、发生器，然后再采用第一个发生器LCGI生成一个新的随机生成一个新的随机数数y来替代来替代tj，亦即令，亦即令tj=y；并置；并置n=n+1。v 重复一，得到随机数序列重复一，得到随机数序列xn ，此即组合同余发生器，此即组合同余发生器生成的数列。若第一个发生器生成的数列。若第一个发生器LCG1的模为的模为m，令，令un=xn/m，则则un即为由该组合发生器生成的均匀随机数序列。即为由该组合发生器生成的均匀随机数序列。 常用的随机数发生器 v随机数生成随机数生成 特点：特点：有周期性，伪随机有周期性，伪随机 应用中，我们并不真正需要应用中，我们并不真正需要“真真”的随机数；的随机数； 满足满足“

25、某些条件某些条件”的的“伪伪”随机数已经足够了随机数已经足够了v面临的问题面临的问题 如何验证所得的随机数是否满足使用要求。如何验证所得的随机数是否满足使用要求。 由于由于“伪伪”随机数应该是随机数，又具有均匀、随机数应该是随机数，又具有均匀、独立的特点，因此要进行以下三个方面的检验：独立的特点，因此要进行以下三个方面的检验： 参数检验参数检验; 均匀性检验均匀性检验; 独立性检验。独立性检验。随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 在实际应用中，随机数发生器的性能检验方随机数发生器的性能检验方法，主要包括有两大类法，主要包括有两大类:v一类是经验检验方法;v另一类是理论检验方法。 随机

26、数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 45随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 参数检验参数检验 v参数检验参数检验 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v参数检验参数检验例：给定显著性水平a=0.05，对P54例4-5中得到的随机数序列un的前100项数据(见表4一5)进行参数检验。 解:计算样本均值和样本方差分别为 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 对给定的显著性水平a = 0. 05 , z0.025=1. 96。而由式 计算可得 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 所以，在显著性水平a = 0.05时，该随机数序列un总体的均值和方差与均匀分

27、布U(0, 1)的均值和方差没有显著的差异。 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v均匀性检验均匀性检验 均匀性检验是校验所产生的随机数落均匀性检验是校验所产生的随机数落在各在各子区间的频率子区间的频率和和理论频率理论频率之间的差异是否之间的差异是否显著。显著。随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v均匀性检验均匀性检验 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v例：给定显著性水平a=0.05,用检验对P54例4-5中得到的随机数序列un的前100项数据(见表4-5)进行均匀性检验。 将0，1区间等分成10个子区间(即m=10),显然易见，其相应的理论频数为=n/m=1

28、0。 对该随机数序列un落在各子区间中的个数(经验频数)进行统计，得到ni(i=1，2,10)分别为13, 14, 10, 7,7、9、9、6, 14、5，由此可计算得随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 练习：练习：使用使用2 2检验判断下列数据是否具检验判断下列数据是否具有均匀分布，有均匀分布，取取0.050.05。0.340.900.250.890.870.440.120.210.460.670.830.760.790.640.700.810.940.740.220.740.960.990.770.670.560.410.520.73

29、0.990.020.470.300.170.820.560.050.450.310.780.050.790.710.230.190.820.930.650.370.390.420.990.170.990.460.050.660.100.420.180.490.370.510.540.010.810.280.690.340.750.490.720.430.560.970.300.940.960.580.730.050.060.390.840.240.400.640.400.190.790.620.180.260.970.880.640.470.600.110.290.78使用使用n=10n=10

30、个等长区间，查表得个等长区间，查表得9 .1629 ,05. 0区间区间OiEiOi-Ei(Oi-Ei)21810-240.42810-240.4310100004910-110.151210240.46810-240.471010000814104161.691010000101110110.1总计总计10010003.4iiiEEO2)(v均匀性检验均匀性检验 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v（二）（二） K- S检验检验 例：给定显著性水平a = 0.05，用K- S检验方法对P54例4-5中得到的随机数序 un 的前10项数据(见表4一5)进行均匀性检验。 把随机数按照

31、由小到大的顺序进行重新排列，相关的计算数据及结果如表 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 v（二）（二） K- S检验检验 随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 因此，可认为该随机数序列因此，可认为该随机数序列un的总体分布与均匀分布的总体分布与均匀分布U(0, 1)之间无显著的差异。之间无显著的差异。 v独立性检验独立性检验 独立性检验是检查一个序列的随机数是否独立性检验是检查一个序列的随机数是否存在相关性。存在相关性。随机数发生器的性能检验随机数发生器的性能检验 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v给定了随机数的生成方法，只是构建随机变量的给定了随机数的生成方法，只是构

32、建随机变量的第一步。第一步。v理论上说，可以通过函数映射关系，即构造函数理论上说，可以通过函数映射关系，即构造函数关系来从关系来从0,1)上的均匀分布随机数来构造任意分上的均匀分布随机数来构造任意分布的随机变量。布的随机变量。v因此，如何来构造适当的函数关系就成为了关键。因此，如何来构造适当的函数关系就成为了关键。v对于不同分布随机变量的要求，有多种生成方法，对于不同分布随机变量的要求，有多种生成方法，如逆转换法，结合法等等。如逆转换法，结合法等等。61随机变量生成的特点随机变量生成的特点v需要需要: 快速生成满足精度要求的随机变量。快速生成满足精度要求的随机变量。v评价标准评价标准: 精度：

33、比较确切符合的给定分布精度：比较确切符合的给定分布 省时：快速省时：快速 省内存：省内存： v常用生成方法常用生成方法 逆变换法；合成法；结合法；经验分布随机变量。逆变换法；合成法；结合法；经验分布随机变量。 随机变量生成的基础随机变量生成的基础U(0,1)。62随机变量的生成的基本定理随机变量的生成的基本定理v定理：定理： 若若F(x)是任意随机变量是任意随机变量X的的CDF(累积分布函数累积分布函数)，则则:Y=F(x) IID U(0,1)，且与，且与X的分布特性无关的分布特性无关v说明性证明：说明性证明： 令令Y=F(x)，F(x)是是X的的CDF；Y也是一个随机变也是一个随机变量，令

34、量，令G(y)为为Y的的CDF。G(y) = P(Y=y) = P(F(x) =y) = P(x=F-1(y) = F(F-1(y) = y (F(x)的单调非降特性的单调非降特性)即：即：G(y) = y；Y为具有均匀分布随机变量的为具有均匀分布随机变量的CDF，并在，并在0, 1区间，区间， 所以所以Y=F(x) IID U(0,1)；显然显然G(y) = y与与X的分布特性无关。的分布特性无关。v该定理为该定理为利用随机数生成所需随机变量的基础利用随机数生成所需随机变量的基础。 生成随机变量有许多种不同的方法，一般采用生成随机变量有许多种不同的方法，一般采用的具体算法与所要生成的随机变量

35、有关。的具体算法与所要生成的随机变量有关。通常在通常在仿仿真中要用到各种分布的随机变量，它们一般都是以真中要用到各种分布的随机变量，它们一般都是以U0,1）随机数为基础，通过适当的变换生成。）随机数为基础，通过适当的变换生成。 这里介绍几种有效的、常用的抽样方法以及相这里介绍几种有效的、常用的抽样方法以及相应分布的随机变量的生成。常用的方法主要有：应分布的随机变量的生成。常用的方法主要有： 逆转换法逆转换法、函数变换法、近似法、函数变换法、近似法、合成法、结合法。合成法、结合法。随机变量的产生方法随机变量的产生方法 逆转换法是利用拟合分布的分布函数的反逆转换法是利用拟合分布的分布函数的反函数来

36、产生随机变量函数来产生随机变量. 如果已知分布的分布函数，并可以从分布函数如果已知分布的分布函数，并可以从分布函数求出它的反函数，就可以利用它的反函数来产求出它的反函数，就可以利用它的反函数来产生已知分布的随机变量。生已知分布的随机变量。1. 逆转换法（逆变法）逆转换法（逆变法） 随机变量的产生方法随机变量的产生方法 纵坐标表示累计分布值，范围纵坐标表示累计分布值，范围0,1)。利用随机。利用随机数发生器产生数发生器产生0,1)间均匀分布的随机数，相当于间均匀分布的随机数，相当于在纵坐标上随机地找到一个点在纵坐标上随机地找到一个点Ui，从这一点利用，从这一点利用反函数就可以求得反函数就可以求得

37、该分布该分布在这一点上的随机变量在这一点上的随机变量Xi。随机变量的产生方法随机变量的产生方法 其步骤如下其步骤如下: 1. 确定随机过程中该随机变量的拟合分布确定随机过程中该随机变量的拟合分布. 2. 确定拟合分布的参数及分布函数确定拟合分布的参数及分布函数F(X). 3. 求出分布函数的反函数求出分布函数的反函数 Xi=G(Ui) =F-1(Ui). 4. 用随机数发生器产生用随机数发生器产生 0, 1 )间均匀分布的间均匀分布的随机数随机数Ui 5. 用用 Xi=G(U)=F-1 (Ui) 来计算来计算, 求得该分布的求得该分布的随机变量随机变量Xi. 6. 返回步骤返回步骤4，产生下一

38、个随机变量。，产生下一个随机变量。随机变量的产生方法随机变量的产生方法 则则)(xFX 这说明对于分布函数是这说明对于分布函数是F(x)的随机变量，若要的随机变量，若要生成其随机数，我们最关心的是下列表达式：生成其随机数，我们最关心的是下列表达式：1( )XFU 在仿真过程中，要生成规定分布的在仿真过程中，要生成规定分布的随机数，随机数，通常先要生成通常先要生成0,1)区间上均匀分布的随机数，然区间上均匀分布的随机数，然后才能按上述方法从所需要的分布函数中生成相后才能按上述方法从所需要的分布函数中生成相应的随机数，因此，应的随机数，因此，0,1)区间上均匀分布的随机区间上均匀分布的随机数是生成

39、其它分布随机数的基础数是生成其它分布随机数的基础。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法A A 连续型随机变量连续型随机变量(1) (1) 均匀分布均匀分布Ua,bUa,b 随机数的生成随机数的生成( )() / ()()yF xxabaaxb其它0)/(1)(bxaabxf均匀分布均匀分布Ua,b的概率密度函数为的概率密度函数为对应的分布函数为对应的分布函数为即即 ayabx)()/()(abaxy由由yabax)(得得随机变量的产生方法随机变量的产生方法其算法的步骤为：其算法的步骤为：（1）产生独立的产生独立的U0,1)随机数随机数u1, u2, , un ；（2）令）令xi = (b-a

40、)ui+a (i=1, 2, , n)，则，则 x1, x2, , xn即为即为Ua,b随机数。随机数。 则由逆变法的生成原理知则由逆变法的生成原理知 为一随机变量，其为一随机变量，其分布函数是分布函数是F(x)。）（即)()(1UFXaUabX令令X若随机变量若随机变量 0,1)UU故故F(x)的的反函数为反函数为:ayabx)(随机变量的产生方法随机变量的产生方法(2)指数分布指数分布 随机数的生成随机数的生成)(E指数分布指数分布 的概率密度函数为的概率密度函数为:当当 时，对应的分布函数为：时，对应的分布函数为：)(E其它00)(xexfxxxtxtxedtedtdtedttfxF10

41、)()(0000 x随机变量的产生方法随机变量的产生方法令令）（即)()1ln()/1(1UFXUX则由则由逆变法逆变法的生成原理知的生成原理知 为一随机变量，其为一随机变量，其分布函数是分布函数是F(x)。X若随机变量若随机变量 0 ,1)UU故故F(x)的的反函数为反函数为: )1ln()/1()(1yyFx即即由由xexFy1)(得得yex1)1ln()/1(yx随机变量的产生方法随机变量的产生方法72指数分布指数分布 随机数的生成步骤为：随机数的生成步骤为：（1）产生独立的产生独立的U0,1)随机数随机数 u1, u2, , un ；（2）令）令 则则 x1, x2, , xn 就是所

42、要求就是所要求指数分布指数分布的随机数。的随机数。 ),.,2,1()ln()/1(niuxii)(E由于由于 U 与与 1-U 均为均为0,1)区间上的均匀区间上的均匀分布的随机变分布的随机变量，因此抽样公式取为量，因此抽样公式取为:)ln()/1(UX)1ln()/1(UX随机变量的产生方法随机变量的产生方法随机变量的产生方法随机变量的产生方法vB 离散型随机变量离散分布的反变换法离散分布的反变换法随机变量的产生方法随机变量的产生方法vB 离散型随机变量随机变量的产生方法随机变量的产生方法vB 离散型随机变量v例 设离散随机变量x的质量函数及累积分布函数如下表所示：在概率论中，概率质量函数

43、 (probability mass function，简写为pmf)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法vB 离散型随机变量解：随机变量的产生方法随机变量的产生方法vB 离散型随机变量练习练习某均匀分布的概率密度函数为：某均匀分布的概率密度函数为： 其中a=2，b=5。用逆转换法生成符合该分布的随机数。用逆转换法生成符合该分布的随机数。其它0)/(1)(bxaabxf随机变量的产生方法随机变量的产生方法v卷积法随机变量的产

44、生方法随机变量的产生方法v卷积法v例4-12 埃尔朗分布。设X的概率密度函数为 若Y1，Y2，Ym独立且同服从指数分布E()，令X=Y1+Y2+Ym，则X服从n阶埃尔朗分布。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v卷积法生成随机变量算法：v生成独立的均匀分布U(0, 1)随机数u1，u2，um 。v计算u=u1u2.um。v令x=-(1/)ln(u)，则x即为服从n阶埃尔朗分布的随机变量。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v组合法随机变量的产生方法随机变量的产生方法v组合法重复步骤(1)一(2)，就可以得到所求的分布函数为F(x) 的随机变量数列。随机变量的产生方法随机变量的产生方法v组合

45、法例 双指数分布。设随机变量X的概率密度函数为 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v组合法 可用两个密度函数f1(x)和f2(x)的组合来产生服从密度函数f(x)的随机变量X。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v组合法随机变量生成步骤如下:v 产生均匀分布U(0, 1)的随机数u1及u2 。v 如果u10. 5，则生成服从与密度函数f1(x)相应的分布函数的随机变量，根据反变换法，可得X=lnu2。v 如果u10. 5，则生成服从与密度函数f2(x)相应的分布函数的随机变量，同样，有X=lnu2。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v 以上方法都有一个共同的特点，即以反变换法为基础，直接面向分布函数，因而又称为直接法。 当反变换法难于使用(例如随机变量的分布函数不存在封闭形式等)或者效率不高时，有时就需要使用非直接的方法。舍选法就是其中最主要的一种。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v舍弃法 这种方法是由一种分布函数产生随机变量并排除其中的某些部分，以便剩余的随机变量符合所要求的分布函数，它适用于离散型或连续型，单变量或多变量的概率密度函数f(x)已知，分布F(x)难以显式表达的情况。 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v舍弃法 设f(x)为所求随机变量的概率密度函数，舍选法要求选定一个覆盖函数t(x)，