第6章-向量空间及向量的正交性

1、一、一、n n 维向量的定义及运算维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间第一节第一节 向量空间向量空间第二节第二节 向量的正交性向量的正交性一、向量空间及其维数和基一、向量空间及其维数和基二、向量在基下的坐标二、向量在基下的坐标例 1 设设V是一些是一些 n 维实向量的组成的非空集合，如果维实向量的组成的非空集合，如果 V 关关于向量的加法与数乘封闭于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭线性运算封闭)，即，即(1) a, b V, 有有 a+b V.(2) a V, k R, 有有 ka V.则称则称 V 是一个是一个实实向量空间向量空间.一、向量空间及其维数和基一、向量空间及其维数和基定义

2、定义1 1全体 n 维向量的集合(x1, x2, , xn)T| xi R, i=1, 2, , n 是一个向量空间，记为 Rn.特别的特别的n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间;n = 3 时全体三维向量 (x1, x2, x3)T |xi R, i= 1, 2, 3 是一个向量空间，记为R3.n = 2 时全体平面中的向量 (x1, x2 )T | xi R, i=1, 2 是一个向量空间，记为R2. 注注：向量空间中向量空间中必含有零向量必含有零向量。例 3例 2而W = (a1, a2, , an)T|01niia是一向量空间.1|),(121niiTnaaaaS 不是一向量空间

3、, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, , 0)T 的集合 0 构成一个向量空间，称为零空间零空间. 除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间非零空间。设设 V 是一个向量空间，是一个向量空间，W V, W . 如果如果 W 关于向关于向量的加法与数乘也封闭，则称量的加法与数乘也封闭，则称 W 是是 V 的的子空间子空间.定义定义2 2若W V，并且V W, 则称两个向量空间相等向量空间相等，记为W=V.例 51, 2 , 1,|)0 ,(1211niaaaaWiTnR R|),(2R RaaaaaWTn个分量都是 R n 的子空间.及例

4、6 设 a V, 则 spana = ka | k R 为 V 的子空间，称它为由由a生成的子空间生成的子空间，a 称为这子空间的生成元生成元. , 2 , 1,|,11sikkspanisiiisR Raaaaa是 V 的由由a1, a2, , as 生成的子空间生成的子空间.更一般地，设 a1, a2, , as V.上一页例 4V 本身和 0 都是 V 的子空间，称它们为 V 的平凡子空间平凡子空间例 7上一页 证明：mn阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向量空间，称S为 齐次方程组Ax=0的解空间解空间证明证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足Au=0,Av=0.

5、 设k为任一实数。那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。因此u+vS, kuS. 从而S为一个向量空间。 称向量组称向量组 V 的的极大无关组极大无关组为向量空间为向量空间 V 的一组的一组基底基底( (基基) )，而，而V 的的秩秩 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数，记为，记为 dim(V). 定义定义3 3规定：规定：零空间的维数为0, 它没有基.向量组的任何一个极大无关组都是一组基，存在而不唯一。例 9例 8设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, , 0

6、 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基, 且 dim(Rn) =n.由矩阵判别法知 e1, e2, , en 线性无关. 设 a = (a1, a2, , an )T为任一 n 维向量, 显然有a = a1 e1+ a2 e2+ + anen .所以 a 可由 e1, e2, , en 线性表出, 即 e1, e2, , en 是 Rn 的基,从而dim(Rn )= n. 设设 V 为一向量空间，且为一向量空间，且 dim V = r, 而而 a1, a2, , ar 为为 V 中中 r 个线性无关的向量，则个线性无关的向量，则 a1, a2, , ar 必为

7、向量空间必为向量空间 V 的一组基的一组基.上一页例 10证明向量组a1 = (1, 2, 1)T, a2 = (3, 0, 1)T, a3 = (2, 3, 5)T为空间R3 的一组基.由于 dim R3 = 3, 故只要证明 a1, a2 , a3 线性无关即可. 由于123132, 203 0115a a a因此 a1, a2 , a3 线性无关，从而 a1, a2 , a3 可构成空间 R3 的一组基。上一页例 11的一组基，则为若生成的向量空间表示。的结构可用它的一组基维向量空间VVrrvv,1111,|,1,.rrriVspancccR irvvv vvv从而R3=spana1,

8、a2 , a3 。的一组基。都可扩充为个线性无关向量中的任意维向量空间VnmmVnmvv,)(1定理定理1 1.,1,111线性无关个向量使得，因此必存在向量证明：由于mmmmVnmvvvv矛盾。，这与已知的极大无关组，因此为向量空间线性表示，那么可知必可由向量相关，则都线性个向量使得否则，对任意向量mnVmVVmVmmm)dim()dim(,1,111vvvvvvvvv的一组基，定理证毕。的一组极大无关组，即为则如果VVnmmm11,1vvv 组基，定理证毕。的一的一组极大无关组，即为，使得，向量按照如上方法，必存在如果VVVnmnmmnmvvvvvv,1112二、向量在基下的坐标二、向量在

9、基下的坐标 设设 a1, a2, , am 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基, b V, b 可由可由 a1, a2, , am 线性表示线性表示:b = b1 a1 + b2 a2 + + bm am ,则组合系数构成的向量则组合系数构成的向量 (b1, b2, , bm )T 称为向量称为向量 b 在基在基 a1, a2, , am 下的下的坐标向量坐标向量而而bi 称为称为坐标坐标( b1, b2, , bm R )定义定义4 4注：注：b 在基 a1, a2, , am 下的坐标向量是唯一的. b = c1 a1 + c2 a2 + + cm am , 那么可得 (b1 c1

10、) a1 + (b2 c2) a2 + + (bm cm) am = 0, 由于a1, a 2, , a m 线性无关, 故b1 c1 = b2 c2 = bm cm= 0,即 bi = ci ( i = 1, 2, , m).事实上, 若还有另一坐标向量 (c1, c2, , cm )T, 即例 12已知 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, , 0 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基. 而对 Rn 中任一向量 b , 有b = ( b1, b2, , bn )T = b1 e1+ b2 e2+ + bnen ,所以

11、b 在基 e1, e2, , en 下的坐标向量就是其自身.故 e1, e2, , en 称为空间 Rn 的标准基标准基.上一页例 13 设 a1 = ( 1, 1, 2 )T, a2 = ( 1,3, 0 )T , a3 = ( 1, 0, 1 )T, 证明 a1, a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b = ( 0, 1, 3)T 在这个基下的坐标向量.dim R3 =3, 而123111, 130 40,201 aaa所以 a1, a2 , a3 线性无关, 从而是 R3 的一个基.令 b = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3,因此 b 在基 a1, a2 , a3 下

12、的坐标向量为 (2, 1, 1 )T.即 ( 0, 1, 3) T= x1 (1, 1, 2)T + x2 (1, 3, 0)T+ x3 (1, 0, 1)T,则x1 + x2 + x3 = 0,x1 + 3x2 = 1,2x1 + 0 x2 + x3 = 3,x1 = 2,x2 = 1,x3 = 1.上一页设向量空间 V 的维数为 n, 则 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的基, 对于不同的基对于不同的基,同一个向量的坐标同一个向量的坐标向量向量一般是不同的一般是不同的.下面我们来看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系.设 a1, a2 , , an 及 b1, b 2

13、, , b n 是向量空间V 的两个基. 那么由基的定义, 向量 bi (i = 1, 2, , n ) 可由 a1, a2 , , an 唯一线性表出. 设,212222111211nnnnnncccccccccC矩阵 C 称为由基 a1, a2 , , an 到基 b1, b 2 , , bn 的过渡矩阵过渡矩阵, 它是可逆的.令即.),(),(2122221112112121nnnnnnnncccccccccaaabbb,1111111nnnnnnnccccaabaab(b1, b 2 , , b n) = (a1, a2 , , an ) C新基新基旧基旧基过渡矩阵过渡矩阵上一页定理定

14、理2 2设设n 维向量空间维向量空间V中的旧基中的旧基a1, a2 , , an到新基到新基b1, b2 , , bn的过渡矩阵为的过渡矩阵为C。 V中的向量中的向量v 在旧基与新基下的坐标向量分在旧基与新基下的坐标向量分别为别为 x, y, 则有则有 x=Cy, y=C-1x,111111ybbvxaavbbaaByyAxxBAnnnnnn且证明：设,().( )ABACACAr Anxyyxy0因此即由 的列向量组线性无关，因此，那么必有。，即xyyx0yx1CCC例 14设 R3 中一组基为 a1= (3, 1, 2)T, a2= ( 1, 1, 1)T, a3 = (2, 3, 1)T

15、, 求向量 a = (1, 0, 0)T 在基 a1 , a2 , a3 下的坐标向量.设 a = ( 1, 0, 0) T在基 a1, a2 , a3下的坐标为 (y1, y2 , y3)T, 在基 e1, e2, e3 下的坐标为 (x1, x2, x3)T = (1, 0, 0) T, 则由于(a1, a2 , a3) = (e1, e2, e3 )312113211因此由基 e1, e2, e3 (旧基)到基 a1, a2 , a3 (新基)的过渡矩阵为1123100yyCy 235157110112025 .1 从而上一页312113211C命题命题 1 1关于过渡矩阵关于过渡矩阵,

16、下面两个结论是经常用到的下面两个结论是经常用到的: 设由基设由基 a1, a2 , , an 到基到基 b1, b2 , , bn 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 C, 则由基则由基 b1, b2 , , bn 到基到基 a1, a2 , , an 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C 1.基 a1, a2 , , an C基 b1, b2 , , bnC1命题命题 2 2 设由基设由基 a1, a2 , , an 到基到基 b1, b2 , , bn 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C1, 则由基则由基 b1, b2 , , bn 到基到基 c1, c2 , , cn 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C2, 则由则由基基

17、a1, a2 , , an 到到 c1, c2 , , cn 的过渡矩阵为的过渡矩阵为C1 C2 .基 a1, a2 , , an C1基b1, b2 , , bn基 c1, c2 , , cnC2C1 C2上一页本节作业：本节作业：习题习题6-1：1(1,2,3),3, 5,6,7一、向量的内积一、向量的内积二、正交基与施密特正交化二、正交基与施密特正交化定义定义1 1两个两个n元实向量元实向量 的的内积内积定义为：定义为：TnTnbbbaaa),(,),(2121ba.),(2211abbabaTTnnbababa非负数非负数 叫做向量叫做向量 a的的长度长度(范数范数)，记为，记为|a|

18、, 即即2/1)(aa,.)()(|2/1222212/1aaaa,aTnaaa当当|a|=1时时, a 称为称为单位向量单位向量，对于非零向量，对于非零向量a, 称称a/|a|为为a 的的单位化向量单位化向量。 向量内积具有如下性质向量内积具有如下性质：;0|, 0),(|:)4(2/10aaaaa非负性|;| ),( |)7(baba施瓦茨不等式：正交., 0),(,|),(arccos,bababababa0b0a则称若的夹角。为向量：称若);,(),()1 (abba);,(),(),()2(bababakkk);,(),(),()3(cbcacba|;|)5(aa kk齐次性：|;|

19、)6(baba三角不等式：显然，一个向量组 为标准正交向量组的充要条充要条件件为：naaa,21., 0, 1,jijijTijiaaaa定义定义2 2由两两正交的由两两正交的非零向量非零向量组成的向量组称为组成的向量组称为正交向量组正交向量组，由单位向量组成的正交向量组称为由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组标准正交向量组。向量空间向量空间V的一组基如果为正交向量组，则称为的一组基如果为正交向量组，则称为正交正交基基，如果为标准正交向量组则称为，如果为标准正交向量组则称为标准正交基标准正交基。例如， 为向量空间Rn的标准正交向基。neee,21二、正交基与施密特正交化二、正交基与施密

20、特正交化定理定理1 1正交向量组必线性无关。正交向量组必线性无关。为正交向量组，并且证明：设raa,1(*). 02211rrkkkaaa得同时左乘上式两端，可利用T1a(*). 01212111rTrTTkkkaaaaaa为正交向量组，因此由于raaa,21. 0, 0131212111rTTTTaaaaaaaaa. 0, 0(*)1111kkT可知为那么aa式两端，可得分别同时左乘利用(*),2TrTaa. 032rkkk组必线性无关。式才成立，则正交向量零时因此，只有当系数全为(*)1111211., 3 , 2,jijiiiijijiijTijjmjbbbababbababab。等价的

21、标准正交向量组为与后得到的向量组经单位化mmjjjmjaaqqbbq, 2 , 1,11组，令为一个线性无关的向量设maa,1施密特正交化施密特正交化等价的正交向量组。为与则mmaabb,11的一组标准正交基。为正交基，而的一组为的一组基，则为某向量空间如果VVVmmmqqbbaa,111例 1则方程组得基础解系为：求线性方程x1+x2+x3+x4=0的解空间S的一组标准正交基。解解：线性方程可写为：x1= x2 x3 x4。因此x2，x3，x4可看作自由未知量，对其赋值.100,010,001432xxx,1001,0101,0011321aaa对其进行Schimidt正交化:,001111

22、 ab,01001121010121211212122bbababT101001121100131313121212321222321213133bbabbbababTT再进行单位化：,001121111bbq,021161222bbq.3111321333bbq则q1, q2, q3为原方程组的一组标准正交基。定义定义3 3对于对于n阶方阵阶方阵A , 如果如果即即 , 则则A称为称为正交阵正交阵EAATTAA1性质性质 1 1正交阵具有如下性质：正交阵具有如下性质：(1)若若A是正交阵，则是正交阵，则 与与 均为正交阵；均为正交阵；(2)若若A,B 为同阶正交阵，则为同阶正交阵，则AB 也是正交阵；也是正交阵；(3)正交阵的行列式为正交阵的行列式为1或或-1；(4)对对n 阶方阵阶方阵A为正交阵为正交阵的的充要条件充要条件为：为：A 的