高等代数Ⅰ行列式计算典型例题解析

1、行列式计算典型例题解析【例1】计算n阶行列式I% 分析 时于形如cV-1 Zh 1的所诅二条线的行列式*可直接展开降级.再利用三角或次三角行列式的结果直接计算-bn 站 I bi)(-1) h fi &【例2】计算2n阶行列式6? iYft,?=G- L占di.i分析 这是形如的所谓两条线行列式可直接展开得到递推公式.QnCidm 1dnbi5(1严dr-1an I/h-lcin dn(In-1=(為 d” - bnCn) (n-1)G|于是dn1Din = (an dn - bnCh) ZJ(n-l)=(dn h)Cn) ( cin- I dn-1(3n dn - b?G)(弘1 必1 -k

2、h Cn. 1 ) D(o2)=th Gi)(ai d ha)法2 利用拉昔拉斯定理计算按1*行展开Vi-jtfr tn ) B a- I )【例3】计算n阶行列式Dn =分析 对于形如尺.7L Z . X的所谓箭形（或爪形）行列式”可直接利用行列式性质将其一条边化为零从而可根据三角或次三角行列式的结 果求值.1i1 -_丄21100 200n - 10色0L0 fl0jaLxi-Ji F2 41 -11（-1）T| ! 4-打J【例4】计算n阶行列式2-10 00-12 V- 100Dn =0ftK-112 r卜0K10i000 2100y *-12分析 对于形如乡 的三对用或扶三对角行列式

3、+按艮第】行（列）或第朴行（列）展开得到两项的递推关系式.商利用变形递推的技巧求解,1行巌开解 a2Ui +000-12-1 - 1o“o0 2 - 1 “ 0中 0- 1200 0 0 20 0 0 1(-1)(严.”.2ZZ11 - ft 2直接递推不易得到结果（较低级时可以），变形得Da - Dn Dn- - L)n I Dn ； - Da- 1 二：=D -以=2 - 1-2=1-1 2于是R = Dn 1 + 1 = Dn 2 + 2 =D + ( n - 11 = 2 + (n - 1 ) = t?+1【例5】计算行列式分析 该行列式具有各行（列元素之和相等的特点可将第23列 （行

4、）都加到第1列（行）（或第1列（行加到第w列（行）,则第1（或 间列（行）时元素相等再进一步化简即可化为三角或次三角行列式.x + n - 1） a a ax + （ n - 1） a x a x + (n - 1)a ax + (n - 1)a a ax + ( n - 1 ti) ( x - a)n 1【例6】计算n阶行列式hb bb翅b bOn =bqbctj*bB(b=叭 i = 1 .2，n)tb*bAb B分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b b,、h.可在保持原行列 式值不变的情况下.増加一行一列（称为升级法或加边法）适当选择所増加行 （或列）的元素使得下一步化简后出现大量

5、的零元素（一般变成箭形行列式）u - ri1 =rj - rirj+i - tih00询-b0 b b a1bb-1 a - b 0-10- b【例7】计算行列式1dc?d分析门不是范德蒙德行列武,但具有该行列式的待点，可考虑构造5级的范德蒙德行列式再利用范德蒙德行列式的结果间接地求出。的值 解 构造5级范徳蒙徳行列式11111abed x?用 2/按5列展开*则D 4|5 + xAs + V 4is + .V5 As + V1 /Is其中交的系数为為=（一1川）=-D又利用范徳蒙徳行列式的结果得D = (b-r) ( c - cJ) ( d - 4H - c?) (c -d - b) Xg)

6、(7 - d ( d ( k - m =(b-3)( c - d1) ( (7 - d1) ( c - / (7 -坊（7 d X-(a + b + c+ d)交 + 其中卫的系数为-(b - a) (c - a) (t/ - a) ( c - d - ti (d - c) ( a + b+ c+ c!D = (b -司(c - a) (- ?) (e - /j) (J - ii (d - c) (a + b+ c + W【例8】求方程11解 法1将左边行列式按第4行展开.就得一个X的三次多项式(如果能 估讣出多项式的次数.不必具体写出其展开式).当取x= 或疋=2.或a二 -2时.总有两行相

7、同”从而行列式为0 .由干一元三次方程在复数域上总有3 牛根，从而1,2, - 2是该方稈的所有的根一法2 注愆到左边的行列式足范德蒙徳行列式的转宜，其中Aj = 1 ,= 2.- 2 . A4 = A从而行列式的值为D = ( A? - JU ) ( A2 - M)(舶-Al ) ( AJ - H- A2)(加-舶=(2 - 1)(-2- 1 ) ( A - 1 ( - 2 - 2) ( .- 2)(X+ 2)=12( . - I)(X - 2) ( X+ 2)从而得到方程的根为1乙-2 -【例9】氓厂亍汽沆 ； 1 z. .-.： -：.：-.分析 如呆具休埒岀D+可以发现该行列式具有相邻

8、行元索差1的特点. 对这娄行列式可采用前行(列)减去后行(列)(或右行(列)减去前行(列)的方法赴理即可得到大磺元索为1或-】的行列式.解刁出行列式得012 n - 2n - 1101 n - 3n - 20,210 ii-4n - 3+j = 1,2,a - 1n - 2n - 3- 401n - 1n - 2n- 310-111 1 1-1-11 1 1-1-1-1 1 1Cj + C|B+4BJ =2.3,n-1-1-1 1 1n - 1n-2n- 31 0-100 00-1-20 00-1-2-2 00=(-l)n 2n-2 (n - 1)-1-2-2 -20r? - 12 32n - 4n n - 1【例101计算4阶行列式abed-b a - d c-c d a - b-d - c b a直接计算较闲难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得a分析A M