安徽省江南十校高三下学期联考数学（理）试题带答案

1、2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第i卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第ii卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第i卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，则中的元素个数为(a) (b) (c) (d)（2）若复数满足，则的实部

2、为(a) (b) (c) (d)（3）“”是“函数为奇函数”的(a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件（4）已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为(a) (b) (c) (d) （5）在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为(a) (b) (c) (d) （6）在数列中，为的前项和.若，则数列 的前项和为(a) (b) 开始结束否是输出输入 (c) (d)（7）设是所在平面内一点，则(a) (b)(c) (d)（8）执行如图所示的程序

3、框图，如果输入的，则输出的(a) (b) (c) (d)（9）已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是(a) (b) (c) (d)（10）若满足约束条件则的取值范围为(a) (b) (c) (d) （11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为侧视图正视图俯视图(a) (b) (c) (d) （12）已知函数存在极小值，且对于的所有可能取值，的极小值恒大于，则的最小值为 (a) (b) (c) (d) 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二

4、.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）年月日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，岁以下的约人，岁至岁的约人，岁以上的约人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为人，则 .（14）的展开式中，的系数为 .（15）椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于 两点，若，则椭圆的离心率为 .（16）已知为数列的前项和，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为 .三.解答题：解答应写出文字说

5、明，证明过程和演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图，平面四边形中，求（）；（）的面积.(18)(本小题满分12分)如图，多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为等腰梯形，平面平面.（）证明：平面;（）若梯形的面积为，求二面角的余弦值.cbfeda(19)(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团

6、获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望.中国俄罗斯12345(20)(本小题满分12分)已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.（）求线段的长；（）设不经过点和的动直线交于点和

7、，交于点，若直线、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由. (21)(本小题满分12分)已知函数.（）当时，讨论的单调性；（）设函数，讨论的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲如图，过外一点作的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点.（）证明：；（）若,求的值.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标

8、系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，圆的方程为（）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数，记的解集为.（）求；（）已知,比较与的大小.2016年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试题参考答案与评分标准（1）b【解析】，中有3个元素，故选b（2）a【解析】由，得，的实部为，故选a（3）c【解析】的定义域为，关于原点对称当时，故为奇函数；反之，当为奇函数时，又，故所以“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选c（4）c【解析】，不妨设的方程为，设由得，故到轴的距离为，

9、故选c（5）b【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，为半径的球位于第一卦限的部分，体积为，故选b（6）c【解析】的前项和为，故选c（7）d【解析】，故选d（8）b【解析】第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后；第四次运行后；第五次运行后；第六次运行后；此时不满足，输出，故选b（9）a【解析】由的最小正周期为，得.因为恒成立，所以，即，由，得，故.令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选a（10）b【解析】作出可行域，设直线，平移直线，易知当过与的交点时，取得最大值；当与抛物线相切时取得最小值由，消去得：，由，得，故，故选b（11）d【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半

10、圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为，两个底面面积之和为；半圆柱的侧面积为，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故选d（12）a【解析】因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根故由得，分析易得的极小值点为， 因为，所以设，则的极小值恒大于等价于恒大于因为，所以在单调递减故，解得，故，故选a（13）【解析】由题意可得，故（14）【解析】的系数为（15）【解析】不妨设点在第一象限，由对称性可得，因为在中，故，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率（16）或【解析】时， 整理得，又，故不等式可化为：设，由于，由题意可得，解得或 (17) 【解析】（）在中，由正弦定理得：， 2分在中，由余弦

11、定理得： 4分所以 6分（）因为，所以因为 8分所以 12分（18）【解析】（）设的交点为，则为的中点，连接由，得所以四边形为平行四边形，故 3分又平面,平面pmocbfeda所以平面 6分（）方法一：因为平面平面，交线为，所以平面，作于，连平面，又平面，,故为二面角的平面角. 8分取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故因为所以.由，得 因为所以，故 10分所以故二面角的余弦值为 12分方法二：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故，又平面平面，交线为，故平面，如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为所以, 因此 8分设平面的法向量为由，得，令，则因为，

12、所以平面，故平面的法向量为 10分于是由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角的余弦值为 12分 (19) 【解析】（）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下中国俄罗斯12345682 814 3 7 62 3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。 6分（）解：的可能取值为，设事件分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则 故的分布列为 10分 12分(20) 【解析】（）由抛物线经过点，得，故，的方程为 2分在第一象限的图象对应的函数解析式为，则 故在点处的切线斜率为，切线的方程

13、为令得，所以点的坐标为故线段的长为 5分（）恒过定点，理由如下：由题意可知的方程为，因为与相交，故由，令，得，故设由 消去得：则， 7分直线的斜率为，同理直线的斜率为直线的斜率为 因为直线、的斜率依次成等差数列，所以 即 10分整理得：， 因为不经过点，所以所以，即故的方程为，即恒过定点 12分(21) 【解析】（）当时， 易知在上单调递增，且， 2分因此，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增 5分（）由条件可得， （i）当时，无零点（ii）当时，在上单调递增若，即时，在上有一个零点若，即时，有一个零点若，即时，在上有一个零点 8分（iii）当时，令，得；令，得所以在单调递减，在单调递增，若，即时，无零点若，即时，有一个零点若，即时，在有一个零点； 10分设，则，设，则，当时，所以在单调递增，所以在单调递增，即时，故设，则，所以在单调递减，即时，因为时，所以，又，在上有一个零点，故有两个零点综上，当时，在和上各有一个零点，共有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点；当时，在上有一个零点；当时，有一个零点；当时，在上有一个零点。 12分(22) 【解析】（）连接、，因为、为圆的切线，所以垂直平分又为圆的直径，所以，所以又为的中点，