大学物理-波动学2

1、已知已知O点振动表达式：点振动表达式：)cos(0tAy波长为yx0uxp波方程任意坐标x处的振动方程xx2处相位落后)2cos(0 xtAy)200 xxxx（处相位落后处比)cos(0tAyX0点的振动方程点的振动方程：)2cos00 xxtAy（如果已知的不是O点振动方程yxou0 x0 xxxx波方程（波方程（X处的振动方程）：处的振动方程）：总结：要写出波动方程要知道那些条件)cos(0tAy1，某一点，某一点(x0)的振动方程的振动方程,2，写出坐标为，写出坐标为x这一点与该点的相位差这一点与该点的相位差两者间距：2)(20 xx X轴正方向与波的传播方向的关系轴正方向与波的传播方

2、向的关系)2cos00 xxtAy（任意坐标x处的振动方程波动方程给出了两方面信息任意时刻的任意时刻的波形图波形图)2cos(01xtAy任意位置的任意位置的振动方程振动方程)2cos(10 xtAy)2cos(0 xtAy)(cos),(0uxtAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)2cos(0 xtAy)(2cos),(0 xutAtxy这几个式子等价这几个式子等价几种变形例例1 一横波，其波动方程为一横波，其波动方程为)SI(2/)5200(cos2 . 0制xty求振幅、波长、频率、周期、波速；求振幅、波长、频率、周期、波速；分别画出分别画出t=0, t=0.0025s, t=0

3、.005s时刻的波形时刻的波形解：解：(1)比较法比较法上式与标准形式的波函数相比上式与标准形式的波函数相比可得可得：m4 .0, s01.0,m.s40,Hz100,m2 .01TuA)2cos(0 xtAyuY(m)x(m)0.2-0.2t=0t=0.0025st=0.005s2) 首先画出首先画出t=0时刻的波形曲线时刻的波形曲线2s005. 04s0025. 021TtTt ，)SI(2/)5200(cos2 . 0制xty例例2一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度 u=20m/s 自左向右传播自左向右传播 . 已知在传播路径上的某点已知在传播路径上的某点A的振动方程为

4、的振动方程为 y=3cos(4 t- )，一点一点D在在A点右方点右方9m处处 (1) 若取若取x轴方向向左轴方向向左 , 并以并以A为坐为坐标原点标原点 , 试写出波试写出波动动方程方程(2) 若取若取x轴方向向右轴方向向右 , 以以A点左点左方方5m处的处的o点为点为x轴原点轴原点 ,重新写出波重新写出波动动方程及方程及D点的振动点的振动方程方程 .AyxDuyxuoAD解解 : 该波波速该波波速u=20m/s , 圆频率圆频率 =4 s-1 , 则则1)5/(/2mu1)5/(/2mu(1) 可得波方程为可得波方程为)24cos(3xty)5/4cos(3xtPAyxDuxYA=3cos

5、(4 t- )A的振动方程为的振动方程为 y=3cos(4 t- )，(2) 可得波可得波动动方程为方程为5/ )5(4cos3xty)5/4cos(3xty)5/144cos(3tyDxD=14mD5yxuoAPYA=3cos(4 t- )(2) 若取若取x轴方向向右轴方向向右 , 以以A点左方点左方5m处的处的o点为点为x轴原轴原点点 ,重新写出波重新写出波动动方程及方程及D点的振动方程点的振动方程 .1)5/(/2mu例例3: 平面简谐波平面简谐波 . (a) 表示表示 t=0 时的波形曲线时的波形曲线 . (b) 表示表示 P点点 (x=1m)的振动曲线的振动曲线 . 求求: (1)

6、波动方程波动方程 . (2) x=2m 处质元在处质元在 t=0.1s时的振动速度时的振动速度 . y/mx/m0.22.00Pt=0Yp(m)t(s)0(a)(b)解解 :由图由图 (b) 知知 A=0.2m . T=0.2s 102 . 022Tm2再由图再由图(a)0t00y00v2mtyp)210cos(2 . 0y/mx/m0.22.00Pt=0Yp(m)t(s)0(a)(b)任一点任一点x与与P点的点的相相差：差： ) 1(2x) 1(22210cos2 . 0 xty210cos2 . 0 xt10A=0.2m (2) 再求再求 X=2m 处质

7、元在处质元在 t=0.1s时的振动速度时的振动速度X=2mst1 . 0sm/28. 622210cos2 . 0ty210cos2 . 0t210cos2 . 0 xty210sin2ttyv例例4 沿沿X轴负方向传播的平面简谐波在轴负方向传播的平面简谐波在 t=2s 时刻的波形曲时刻的波形曲线如图所示线如图所示 , 设波速设波速 u=0.5m/s . 求原点求原点 o 的振动方程的振动方程 . t=2s21uY(m)x(m0.5-0.5解解:m2smu/5 . 0所以所以T = 4s 5 . 0A秒时的相位：22121cos5 . 0tyo23动力学方法动力学方法依据各领域的基本原理得到依

8、据各领域的基本原理得到振动的动力学方程振动的动力学方程+解微分解微分方程方程描述振动的运动方程描述振动的运动方程研究振动现象研究振动现象依据各领域的基本原依据各领域的基本原理得到理得到波动的动力学波动的动力学方程方程波动的运动方程波动的运动方程（波动方程）（波动方程）求解求解第三节，波的动力学方程 轻质、柔弦的横波动力学方程轻质、柔弦的横波动力学方程 T221T1x+dxxxy如图，由牛顿定律有如图，由牛顿定律有221122sinsintydsTT 0coscos1122 TT微振动时微振动时1coscos21 022222xyutyTu)sin(sin12T取任意无穷小段弦取任意无穷小段弦作

9、为研究对象作为研究对象)(tgTd)(dxdyTd)(cos0uxtAy)(sin0uxtAtyv质量为质量为 的媒质其动能为（坐标为的媒质其动能为（坐标为X处）：处）：m221tymWk)(sin210222uxtVA)(sin212102222uxtVAtymWp略去推导过程略去推导过程)(sin0222uxtAVWWWpk任一质元总机械能随时间周期性的变化22AV0能量的输入过程能量的输入过程0能量输出的过程能量输出的过程)(sin0222uxtAVWWWpk能量密度：单位体积内的总机械能)(sin0222uxtAwwwpk 定义：平均能量密度（对时间平均定义：平均能量密度（对时间平均)

10、dtuxtATwT)(sin102202 2221AVWw即即)(sin0222uxtAVWWWpk 能流，能流密度能流能流 单位时间内通过某一截面的单位时间内通过某一截面的能量称为波通过能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。该截面的能流，或叫能通量。PStuW能流为：能流为：设波速为设波速为 u，在，在 时间内通过垂时间内通过垂直于波速方向截面直于波速方向截面 的能量的能量:SttuSuwSutWP)(sin0222uxtASuw平均能流)(sin0222uxtASupdtuxtASuTpT)(sin102202 w2221AwSuPwSuP 平均能平均能流流2221ASuwSuP通过垂直

11、于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为称为平均能流密度，通常称为平均能流密度，通常称为能流密度能流密度wuSPI2221Aw uA2221能流密度是矢量，其方向与波速方向相同能流密度是矢量，其方向与波速方向相同uAI2221波的强度波的强度能流密度例例1 一等幅平面简谐波，在直径一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空的圆柱管的空气中进行气中进行,波的强度波的强度I=0.009w/m2 频率为频率为300Hz，波速为，波速为300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在管中两个相邻同相面间的

12、波带中含有的波的平均能量管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式解：由公式uwI 波的平均能量密度波的平均能量密度)J.m(10335uIw)J.m(106235 wwm)(sin0222uxtAw2221Aw )J.m(10335uIw)J.m(106235 wwm因为两个相邻同相面间的距离为波长因为两个相邻同相面间的距离为波长 sWuTw22duTw) J (6210. 472224 rS2114 rS2211rArA球面简谐波的波动方程：球面简谐波的波动方程：rtrAy2cos001r2r1S2S球面简谐波的波动方程uswp111uswp2222221AwwSuP 1，

13、媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波，媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波源。源。 波的衍射及惠更斯原理 波的衍射现象波的衍射现象2，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。面。这些波行进的最前方的点组成的曲面这些波行进的最前方的点组成的曲面第六节第六节 波的叠加波的叠加 t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向平面波平面波t+ t 时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面球面波球面波t + t 惠更斯原理的应用惠更斯原理的应用 二 波的干涉 1、波的叠加原理几列波同时通过某一媒质时

14、，各自的特点几列波同时通过某一媒质时，各自的特点（频率、波长、振幅）可以保持不变。好（频率、波长、振幅）可以保持不变。好象在传播过程中没有遇到其它波一样。象在传播过程中没有遇到其它波一样。在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波单独单独传传播时在该处引起振动合成播时在该处引起振动合成。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为的事实称为波的叠加原理或波的独立性原理波的叠加原理或波的独立性原理波的干涉：相干条件波的干涉：相干条件 相干条件：相干条件： 两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率 具有

15、具有恒定的相位差恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 满足相干条件的波源满足相干条件的波源称为称为相干波源相干波源 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱分布波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱分布的现象的现象不满足此条件的不不满足此条件的不在我们的研究之列在我们的研究之列1r2r1S2Sp有两个频率振动方向相同的波源有两个频率振动方向相同的波源 其振动表达式为其振动表达式为)2cos(11011rtAy)2cos(22022rtAy)cos(101010tAy)cos(202020tAy传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为：波的干涉：定量分析)2cos(11011rtAy)2

16、cos(22022rtAy在在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成点的振动为同方向同频率振动的合成)cos(21tAyyy1r2r1S2Sp定量分析cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr cos22121IIIII 相干加强的条件：相干加强的条件：,.3 ,2, 1 ,0,2kk21maxAAAA2121max2IIIIIIcos22121IIIIIcos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 相干加强干涉相消的条件：干涉相消的条件：,.3 , 2 , 1 , 0,) 12()(2)(121020kkrr|21minAAAA2121min2IIIIIIcos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 相干相消)(2)(121020rr 当两相干波源为同相波源时，相干条件写为称称 为波程差为波程差,.3 , 2 , 1 , 0,12kkrr,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr相干加强相干加强干涉相消干涉相消 解解: : 15m20mPAB例例1 如图所示，如图所示，A、B两点为同一介质两相干波源。其频两点为同一介质两相干波源。其频率皆为率皆为100