华南理工大学 线性代数与解析几何 课时课件 (19)

1、第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量5.1 矩阵矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量 5.2 相似矩阵相似矩阵及矩阵可对角化的条件及矩阵可对角化的条件5.3 实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化n 特征值的性质特征值的性质性质性质 1.1n 特征值的性质特征值的性质性质性质 1.2性质性质 1.2 的证明的证明22221.3nAAAA 设 是 阶矩阵 的一个特征值，是 对应特征值 的一个特征向量。证明是矩阵的一个特征值，是对应特征值的一例题个特征向量。1110( )( ),( )( )mmmmAAf Aa AaAa Aa Eff Af设 是n阶矩阵 的一个特征值，是 对应特征值

2、的一个特征向量。则矩阵多项式的一个特征值为且也是矩阵对应特征值的一个特征向量。n 进一步推广进一步推广2110430102121( )31,( )Af xxxf A 已知矩阵的特征值为2,1,对应的特征向量分别是。求矩阵的特征值和特00 ，1征向量。2( )3f AAA E解：21 1 01 1 04 3 034 3 010 211 0 00 110 200 0 110( )430211f A( )(2)(1)f Aff的特征值为和，( )121f A 即的特征值为-1,特征向量001为，22(2)2(1)11ff-3 2+1=-1,-3+1=-12( )31f xxx-1-111AAAA 设

3、 是n阶的一个特征值，是 对应特征值 的一个特征向量。证明可逆矩：矩阵的一个特征值是，也是对应特征值的一例阵个特征向量。 的证明的证明 的证明的证明5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件n 设某城市总人口数保持不变设某城市总人口数保持不变，但每年但每年都有都有 5 的市的市区居民搬到郊区区居民搬到郊区；又有；又有 15 的郊区居民搬到市区的郊区居民搬到市区。问该城市市区人口与郊区人口的分布最终是否会趋问该城市市区人口与郊区人口的分布最终是否会趋向一个向一个“稳定状态稳定状态”？引例引例人口流动模型人口流动模型,nnnxXy110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy000 xyX

4、1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyyn 设某城市总人口数保持不变设某城市总人口数保持不变，但每年但每年都有都有 5 的市的市区居民搬到郊区区居民搬到郊区；又有；又有 15 的郊区居民搬到市区的郊区居民搬到市区。问该城市市区人口与郊区人口的分布最终是否会趋问该城市市区人口与郊区人口的分布最终是否会趋向一个向一个“稳定状态稳定状态”？引例引例人口流动模型人口流动模型1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyy-2021-nnnnXXXXAAA10012,14AA如：，要计算1 AP ABPP对于 ，若能找到，使得逆阵对角矩阵可1=A PBP求方阵求方

5、阵A的幂的幂Am的一种方法的一种方法直接做乘法，计算量大。111()()()mPBPPBPPBAPmBB其中， 是对角矩阵，容易计算1mPB P122-3141-3AP可对于，找到逆矩阵，10010010012-3201-11-3031/32/3APBP1001002-31-1201-31/32/3031011001011001001001001002322 32322 3 1=A PBP11-1122-320 1/32 /3141-303PABP使得n 相似矩阵相似矩阵则称则称12000000nEB1210000(,)00nnBdiag 与与A相似的矩阵有相同的特征值相似的矩阵有相同的特征值

6、， 而对角矩阵最容易计算特征值。而对角矩阵最容易计算特征值。12()()()n定理定理 2 2.1n, (1,2, )inniiin11：设 有 个线性无关特征向量相应特征值为，则 充分性AA11(,nnPP构造一个矩阵)，由于线性无关，故 可逆。1111(,)(,) (,)nnnnAPAAA 12110000(,)(,)00nnnP diag1( ,),nAPP diag即 定理定理 2 2.1111( ,) . ( ,)nnP APdiAdiagag则即 11(,)nn 12(,)nAPP diag 12121212,(,)nnnnPAdiag 设 则 121122,nnnAAA 1112

7、22 nnnAAA 1212,nnP 由于是可逆矩阵，知都不是零向量，且线性无关。所以，1212,nnnAA 有特有 个线征性值，无关对应的特征向的特征量是。向量。证毕12112(,), (,)nnAdiagPPAPdiag ：设则存在可逆矩阵使得必要性定理定理 2 2.1定理定理 2 2.2定理定理 322224242A ：判断是例否可以对角化。245242EA2-3-22解：=2=( -2)()122,对于1222244244EA12-200000012 ( 2,1,0) ,(2,0,1)TT 方程组的基础解系12325 特征值，12,它们是特征值、的特征向量的极大无关组2其向量个数特征值重数8225234243EA20-101100000 0000225A所以， ，1其向量个数特征值重数35, 对于3 (1, 2,2),T3方程组的基础解系是特征值 的特征向量的极大无关组1(2,2, 5)P APdiagP是相似变换矩阵，123,P 221102012100011001A：判断是否例可以对角化。1231 特征值（3重根）0001001000EA00100000011001EA-100解：=03=( -1)1231,对于1210 0 ,100 方程组的基础解系12 1,和是特征值的特征向量的极大无关组23,其