工程力学 第十一章-能量法

1、能量法能量法111 引言引言 Introduction112 应变能应变能,余能余能(补偿能补偿能) Strain Energy Complementary Energy113 卡氏定理卡氏定理 Castiglianos TheoremEnergy Method 第11章 能 量 法11.1 概 述1.1.能量法：能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。固体的位移、变形和内力等的方法。2.2.能量法的应用范围十分广泛：能量法的应用范围十分广泛：（1 1）线弹性体；非线性弹性体）线弹性体；非线性弹性体（2 2）

2、静定问题；超静定问题）静定问题；超静定问题（3 3）是有限单元法的重要基础）是有限单元法的重要基础能量法能量法一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即的功，即WU 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。和内力的方法称为能量方法。能量法能量法2.2.扭转杆的变形

3、能计算：扭转杆的变形能计算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122 或21:u比能3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能能量法能量法三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。LxEAxQd2)( 2S剪切挠度因子SxEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(22

4、2xEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222能量法能量法例例1 用能量法求用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：解：外力功等于应变能外力功等于应变能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在应用对称性，得在应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？点位移？qCaaAPBf能量法能量法例例2 2 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载的简支梁受均布荷载q作用，如图作用，如图所示。试求梁内的应变能

5、所示。试求梁内的应变能 。解：梁的挠曲线方程为：解：梁的挠曲线方程为：lxlxlxEIlqw44334224荷载所作外力功为：荷载所作外力功为：wxqWld210将前一式代入后一式得：将前一式代入后一式得：EIlqWV24052w x l y A B q x 能量法能量法2. 余能余能 设图设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图曲线如图b 。 “余功余功Wc”定义为：定义为：FCFW10d 与余功相应的能称为余能与余功相应的能称为余能Vc，余功，余功Wc与余能与余能Vc 在数值上相等。在数值上相等。F (a) F O dF 1 F1 (b)

6、能量法能量法FCcFWV10d（代表代表F- 曲线与纵坐标轴间的面积曲线与纵坐标轴间的面积）即：即：F O dF 1 F1 (b)能量法能量法对线弹性材料，余能和应变能对线弹性材料，余能和应变能在数值上相等，但其概念和计算在数值上相等，但其概念和计算方法截然不同。方法截然不同。注意：注意：对非线性材料，余能对非线性材料，余能V c与应与应变能变能V 在数值上不一定相等。在数值上不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。理概念，仅是具有功和能的量纲而已。 O F dF 1 F1 (b)能量法能量法113 卡氏定理卡氏定理 1

7、.1.卡氏第一定理卡氏第一定理 导出导出“力力”的定的定理理设图中材料为非线性弹性，设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与由于应变能只与最后荷载有关，最后荷载有关，而与加载顺序无而与加载顺序无关。不妨按比例关。不妨按比例方式加载，从而方式加载，从而有有iniifWVd101 假设与第假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则应变能的变化为：则应变能的变化为：iiVVdd1 2 3 n 1 2 3 n B iFidi能量法能量法 因仅与第因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量,而与其而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的

8、微余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量小增量d i ，仅，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：作了外力功，外力功的变化为：iiFWdd注意到上式与下式在数值上相等注意到上式与下式在数值上相等iiVVdd从而有：从而有：iiVF（卡氏第一定理卡氏第一定理 ）注意：注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。性弹性体。 式中式中Fi及及 i分别为广义力、广义位移。分别为广义力、广义位移。必须将必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。写成给定位移的函数，才可求其变化率。能量法能量法例例4 由两根横截面面积均为由两根横截面面积

9、均为A的等直杆组成的平面桁的等直杆组成的平面桁架，在结点架，在结点B处承受集中力处承受集中力F，如图，如图a 所示。两杆的所示。两杆的材料相同，其弹性模量为材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。的水平和铅垂位移。 解：解： 设结点设结点B的水平和铅垂位移分别为的水平和铅垂位移分别为 1和和 2， 先假设结点先假设结点B只发生水平位移只发生水平位移 1 （图（图b） 10112245cosBCAB则：则：A B (b) C B 1A B F 45 O (a) C l 能量法能量法同理，结点同理，

10、结点B只发生铅垂位移只发生铅垂位移 2（图（图c） 则：则：2022245sin0BCAB当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）21122BCABA B (c) C B 2能量法能量法21212121221212222lEAlEAlEAVii应用卡氏第一定理得应用卡氏第一定理得FVV21 0 及解得：解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的应变能为桁架的应变能为能量法能量法2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理 导出导出“位移位移”的定理的定理设有非线性弹性的梁，设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：梁内的余能为：iniFccfiWVd110假设第假

11、设第i个荷载个荷载Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余荷载均，而其余荷载均保持不变，因此，由于保持不变，因此，由于Fi改变了改变了dFi ，外力总余功的，外力总余功的相应改变量为：相应改变量为：iicFWdd余能的相应改变量为：余能的相应改变量为：iiccFFVVdd1 2 3 n 1 2 3 n B能量法能量法由于外力余功在数值上等于余能，得由于外力余功在数值上等于余能，得ccWVdd解得：解得：FVici（称为（称为“余能定理余能定理”） 特别：特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能应变能V 在数值上等于余能在数值上等于余能V c ， 此时上

12、式变为：此时上式变为： FVii（称为（称为“卡氏第二卡氏第二定理定理”）式中的式中的Fi 和和 i分别为广义力和广义位移。分别为广义力和广义位移。能量法能量法注意：注意：卡氏第一定理和卡氏第一定理和余能定理余能定理既适合于线弹性体，既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为作为余能定理的特例，仅余能定理的特例，仅适合于线弹性体。适合于线弹性体。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。所导出的位移是加力点沿加力方向的位

13、移。 当所求位移处无相应广义力时，可在该处当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加虚加”上广义力，将其看成已知外力，反上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该令该“虚加虚加”外力为外力为0 0。实际计算时，常采用以下更实用的形式：实际计算时，常采用以下更实用的形式：能量法能量法例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系xPxPxMA)(EIPL33将内力对PA求偏导xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()( LxEIPx02dALPEIxO 能量法能量法求转角求转角 A

14、求内力求内力AMxPxM)(没有与没有与 A向相对应的力（广义力），加之向相对应的力（广义力），加之。EIPL22 “负号负号”说明说明 A与所加广义力与所加广义力MA反向反向。EIPLA22 将内力对将内力对MA求偏导后，令求偏导后，令M A=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()( LxEIPx0d求变形（求变形（ 注意：注意：M A=0）LxO APMA能量法能量法 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载的简支梁受均布荷载q作用，作用，如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。w x l y A B q x PxqxqlxxM21212

15、1)(2xPMxMA210)(P求变形（ 注意：P=0）EIqldxEIqxqlxxPxMEIxMwlLC38454)(2d)()( 42/02求内力将内力对MA求偏导后，令P=0演习演习能量法能量法1 1能量守恒能量守恒弹性范围固体变形能弹性范围固体变形能U U在数值上等于外力所做的功在数值上等于外力所做的功W W，即，即U=WU=W。超出了超出了弹性范围弹性范围，塑性变形将消耗一部分能量，塑性变形将消耗一部分能量，变形能不能全部转变为功。变形能不能全部转变为功。2 2线弹性材料杆件变形能线弹性材料杆件变形能a.a.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：LxEAxNUd2)( 2n

16、iiiiiAELNU122 或21:u比能b.b.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122 或21:u比能c.c.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能能量法能量法卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理：若将结构的变形能卡氏第二定理：若将结构的变形能U U表示为载荷表示为载荷P P1 1，P P2 2，P Pi i，的函数，则变形能对任一载荷的函数，则变形能对任一载荷P Pi i的偏导数等于的偏导数等于P Pi i作用点作用点沿沿P Pi i作用方向的位移作用方向的位移i

17、 i，即：，即： 卡氏第一定理：杆件的变形能卡氏第一定理：杆件的变形能U U( (ii)()(i i=1,2, =1,2, ,n),n)，对于杆件，对于杆件上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有： , (i=1,2, ,n) , (i=1, 2, .n) 本定理只适用于线弹性材料。本定理只适用于线弹性材料。作业：3-1（b) (d) ,3-6-(a) (b)能量法能量法例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。)()()(111x

18、xPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx1能量法能量法变形（ 注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()( )(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP能量法能量法例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，0 Cf将内力对RC求偏导)5 . 0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(取静定基如图xLRxMCBC)(PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC能量法能量法变形LCCCxRxME

19、IxMRUfd)()( LCLxxLRxxLxLPEI025 .00d)(d)()5 .0(10)3485(133LRPLEIC165PRC能量法能量法2.求0Bf将内力对P求偏导)5 .0()(165)(xLPxLPxMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC求内力能量法能量法变形LBxPxMEIxMPUfd)()( LLLxxLPxLxPEI5 .0225 .002d)()165(d)16311(1EIPL76873能量法能量法例9-17d=20mm,h=180mm,b=100mm,E=200Gpa,s=235MPa,b=400MPa,n=2

20、,nst=3, 求Fd1m2m1mhbF1)1)计算柔度计算柔度解：解：200204110001il100P22Ecr22241dEAFcrcr2224131dEAFNcrCDKNF495.152）求）求CD杆的临界力杆的临界力3）校核梁的强度）校核梁的强度FM32maxMPaWMZ13.191801006110495.153223maxmaxNCD=F/3NA=2F/3F28.1213.19235maxstn卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理：若将结构的变形能卡氏第二定理：若将结构的变形能U U表示为载荷表示为载荷P P1 1，P P2 2，P Pi i，的函数，则变形能对任一载荷的函数，则变形能对任一载荷P Pi i的偏导数等于的偏导数等于P Pi i作用点作用点沿沿P Pi i作用方向的位移作用方向的位移i i，即：，即： 卡氏第一定理：杆件的变形能卡氏第一定理：杆件的变形能U U( (ii)()(i i=1,2, =1,2, ,n),n)，对于杆件，对于杆件上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的