北师大版高中数学导学案《函数的单调性与最值》

1、3.函数的单调性与最值一、知识梳理：1、 函数的单调性（1） 函数的单调区间必须在定义域内。分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.如：求函数的单调区间。（2）定义：设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间d上是增函数（减函数）；（3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法,导数法。定义法：对任意的，判断的符号，两法因式分解和配方法，以说明之（4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等函数的单调区间。具体说明。（5）设是定

2、义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在m上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在m上是增函数。如求函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。（6）简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。2、函数的最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0) = m。那么，称m是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i

3、，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0) = m。那么，称m是函数y=f(x)的最大值。其意义2点： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0i，使得f(x0) = m； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xi，都有f(x)m（f(x)m）。（2）求最值方法：函数单调性法（包括导数法）、基本不等式法；二、典例讨论：1、基本初等复合函数的单调区间例1.求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性. 解：（1）图象法:递增区间：和，递减区间：和（2）初等复合函数法:递增区间：，递减区间： （3）递增区间：，递减区间：例2

4、、已知讨论函数的单调性。解：的定义域为，且，为奇函数。所以只需讨论在上的单调性，任取且，则因为，因为为增函数，所以即，所以在上递减，因为为奇函数，所以在上也递减点评：对数函数的单调性讨论的处理。讨论练习1：判断函数 (0)在区间(1，1)上的单调性。解：设, 则, , , , 0, 当时, , 函数在(1, 1)上为减函数， 当时, , 函数在(1, 1)上为增函数.方法二、导数法： 当时, , 函数在(1, 1)上为减函数， 当时, , 函数在(1, 1)上为增函数.点评：解单调性大题时只有两种合法方法：定义法和导数法。xyo例3、函数的图象如图所示：则的单调减区间是（ ）解：令，则在和 上

5、为递增，所以在和由复合函数的单调性规则知，为递减，故选c 例4、（1）已知是r上的减函数，那么的取值范围是（ ）解：在递减，时。故选c（2）函数在上的最大值与最小值的和为，则 .解：无论和，与同增减，所以最大值与最小值的和一定是4、单调性的应用例5、已知函数是定义在r上的偶函数，且在上是增函数，令，则（ ）解：，所以，故选a5、综合问题例6、 定义在r上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、br，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xr，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是r上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1

6、，求x的取值范围.解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xr时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是r上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是r上的增函数，3xx20.0x3.评述：解本题的关键是灵活应用题

7、目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.三、课堂小结：四、课后作业：1.讨论函数f（x）=x+（a0）的单调性.解 方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.当0x2x1时，1,则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0，上是减函数.当x1x2时，01，则f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),故f（x）在，+）上是增函数.f（x）是奇函数，f（x）分别在（-，-、，+）上为增函数；f（x）分别在-，0）、（0，上为减函数.方法二 由f （x）=1-=0可得x=当x时或x-时，f (x)0，f（x）分别在（，+）、（-，-上是增函数.同理0x或-x0时，f（x）0即f（x）分别在（0，、-，0）上是减函数.2.求函数y=（4x-x2）的单调区间.解 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y= t.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).3.