理学常微分方程PPT学习教案

1、会计学1理学常微分方程理学常微分方程（二）主要结论（二）主要结论 1.如果函数 y1与y2是二阶齐次 线性方程0yP x yQ x y( )( )2211yCyCy*yyP x yQ x yf x( )( )( )的一个特解，而 Y 是它所对应的齐次方程的通解，则 是二阶非线性方程3.若 2.若 y1 与 y2 是上述方程的两个线性无关解, 则 y =C1y1 +C2y2 就是该方程的通解.的两个解，则 y = C1y1 +C2y2也是它的解，其中C1,C2是任意常数.*yyY就是该非齐次方程的通解.第1页/共75页 4.若在3中的方程的右边是几个函数的和，如 12( )( )( )f xf

2、xfx12*yy且与且与1( )( )( )yP x yQ x yf x2( )( )( )yP x yQ x yfx12*yyy对于高阶线性方程也有与上述定理相对应的定理. 就是原方程的特解.的特解,则分别为非齐次方程第2页/共75页5.可分离变量的方程 12120( )( )( )( )Mx My dxNx Ny dy ，1212( )( )( )( )MxNydxdyCNxMy 120( ),( ).NxMy ()dyydxxln( )duxCuu，.yux其中其中6.齐次方程其中第3页/共75页( )( )yP x yQ x( )( )( ).P x dxP x dxyeQ x edx

3、C0 1( )( )(, )nyP x yQ x yn1111()( )()( ) () ( ).n P x dxn P x dxnyen Q x edxC0( , )( , )P x y dxQ x y dy ，()QPxy满足满足( , ).u x yC的通解为9.全微分方程的通解为8.伯努利方程的通解为7.一阶非齐次线性微分方程 其中 000( , )( ,)( , ).xyxyu x yP x y dxQ x y dy第4页/共75页1( )( )( )nyf x( ,).yf x y( ),dpyp xydx设则代入方程有设则代入方程有(2) 不显含 y 的二阶方程 对方程两边连续积

4、分 n 次，便可得到其含有n个任意常数的通解.10.可降阶的高阶方程及其通解( , ).pf x p 积分后解之得 1( ,)px C1( ,),dyx Cdx则原方程的通解为则原方程的通解为12( ,).yx C dxC再积分第5页/共75页(3) 不显含 x 的二阶方程( ,).yf y y( ),dp dydpyp xypdy dxdy设则代入方程有设则代入方程有( ,).dppf y pdy1( ,)py C1( ,),dyy Cdx则原方程的通解为则原方程的通解为21.( ,)dyxCy C再积分解之得第6页/共75页11.二阶常系数线性方程 0.ypyqy20rprq12,rr12

5、,rr1 2,ri1212,r xr xyC eC e112(),r xyCC x e12(cossin).xyeCxCx(1) 二阶常系数齐次线性方程特征方程 两实特征根 两相等特征根 两共轭虚根微分方程的通解第7页/共75页(2) n 阶常系数齐次线性方程121210( )()(),nnnnnyp yp ypyp,rxCe112(),rxkkeCC xC x12(cossin),xeCxCx112112()cos()sin.xkkkkeCC xC xxDD xD xx根据特征方程的根，可按下表写出通解形式.特征方程的根 单实根 r k重实根 r 一对虚根 r1,2= i一对 k 重虚根 r

6、1,2= i 方程通解中对应的项第8页/共75页(3) 二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式*.yyY(I)( )( )xmf xePx型.型.是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解形式. 设 y* 是方程 y + py + qy = f(x)的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则20rprq12,.r r12,r r当当12,rr当当12,rr当当( )xmypyqyePx*( ),xmyQx e*( ),xmyxQx e2*( ).xmyx Qx e的特解形式的两个根为特征方程方程第9页/共75页(II)( )( )cos( )sinxlnf xeP xwxP xwx 型.20r

7、prq12,r r1 2,rwi当当1 2,rwi当当ypyqy方程方程( )cos( )sinxlneP xwxP xwx12*( )( )( )cos( )sin,xmmyeRxwxRxwx12*( )( )( )cos( )sin.xmmyxeRxwxRxwxmax( , ).ml n其中其中特征方程的两个根为第10页/共75页（三）结论补充（三）结论补充1.( )( )dxP y xQ ydy( )( )( ).P y dyP y dyxeQ y edyC1111( )()( )nnnnnnx yp xypxyp yf x,txe,ddt则则11( )()() .kkx fD DDky

8、用D 表示将方程写成算子形式，可以通过变换2.欧拉方程的通解是第11页/共75页3.简单的常系数线性微分方程组的求解步骤1()PQQyx1()( ).PQdxQyxxe与 y 无关，则有（1）如果4.P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 的简单积分因子的求法（3）把得到的函数代入原方程，求出其余的未知函数.（2） 解上述高阶方程，得到满足该方程的未知函数.只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程. （1） 消去方程组中一些未知函数及其导数，得到第12页/共75页（2）如果1()PQPyx1()( ).PQdyPyxye( , )( , )P x y dxQ x y dy() .PQ

9、QPxyyx111().dyaxbycfdxa xb yc5.准齐次方程则 (x,y) 应该满足一阶偏微分方程有积分因子(x,y),一般地，若与 x 无关，则当c = c1 = 0时，就是齐次方程； 当c , c1中至少有一个不为零时，总可以做变换，使之转化为齐次方程; 当ab1 a1b 0时, 令x = + , y = + ;当ab1 a1b = 0时，可令变换 z=ax+by.第13页/共75页2012( ),(,).nny xaa xa xa xxR R 其中系数a0, a1, a2, ,an, 可用待定系数法求出. 6.若方程 y + p(x)y + q(x)y = 0中的 p(x)和

10、 q(x)在区间 -R, R (R0)上可展成幂级数, 则该方程在此区间上有幂级数解 7.设f(x, y), fy(x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域内连续, 则存在x0的一个邻域，在该邻域内，定解问题00( , )()yf x yy xy 存在唯一解.此结论亦为柯西-毕卡(Cauchy-Picard)定理.1( )yx0( )( )yp x yq x y122( )( ).( )P x dxeyx CCdxx的一个解，则该微分方程的通解为是微分方程8.若第14页/共75页二、归类解析二、归类解析 （一）可分离（一）可分离变量的微分方程变量的微分方程例5-4 求23dyxyxydx22

11、2120()x ydxx dylndyyxydxx2222dxdyxxyyyxy例5-1 求微分方程的通解.例5-2 求满足方程且过点（1，2）的积分曲线.例5-3 求微分方程的通解.的通解.第15页/共75页例5-5 求22()yxydxxdy24dyyxdxyx的通解.的通解.11118( ),( ),ff44( )( )( ).duxfxf x dyyfx dx111( )( )( )xyxyf t dtyf t dtxf t dt对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .例5-8 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式求u (x, y), 使得例5-7 若f

12、 (x ) 二阶连续可微，例5-6 求的特解.满足y (1) =0第16页/共75页例5-9 求微分方程2ln1 lnxyxyx 的通解.122()yyy dxxy edy26dyyx ydxx的通解.3422, (1)1dyx yydxxy的特解.( )dyxp x yxdx求满足 y (ln2)=0 的特解.的一个解，例5-13 若y = ex 是方程例5-12 求例5-11 求方程的满足条件例5-10 求方程（二）一阶非齐次线性微分方程（二）一阶非齐次线性微分方程y (0)=1的特解.第17页/共75页 例5-16 若曲线过点N(1,1), 曲线上任意一点P(x,y)处的切线与 Oy 轴

13、交于Q, 经PQ为直径做的圆过A(1,0) ，求此曲线方程. 10112()( ),( ).f ux duf xf x求求00lim( ),xf xba又又( )( ),lim( ).xdybayf xy xy xdxa的一切解均有的一切解均有例5-14 若例5-15 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且证明方程第18页/共75页21ln0,xxyyx 满足初始条件212().xyxy22ln .yyyyy2340()()xxyex221()()yy000100( ),( ),( )yyy例5-17 求方程例5-18 解方程例5-19 解方程例5-20 求方程的通解.例5-21 求方程满足

14、初始条件的特解.（三）特殊的高阶微分方程三）特殊的高阶微分方程111,2xxyy 的特解.第19页/共75页222221()1d yydyd xydx的通解.例5-22 求微分方程 例5-23 若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为 a , 且曲线经过点(0,a), 并在(0,a)处的切线平行于Ox 轴,求曲线方程. 例5-24 设物体 A 从点(0,1)出发以常速度 v 沿 y 轴正向运动,物体B以常速度2v 从 点 (-1,0)与A同时出发,方向始终指向A .试建立物体B运动轨迹所满足的微分方程.第20页/共75页例5-28 设y1 = (x)是方程0034005xxyy

15、yyy 的特解.76sin.yyyx的通解的通解224482sin.xyyyxex0( )( )yP x yQ x y21( ),yy u x例5-25 求方程例5-26 求方程例5-27 求方程的一个解,若求出此方程的另一个与 y1线性（四）高阶线性微分方程四）高阶线性微分方程无关的解,并写出所给方程的通解.第21页/共75页 y=f (x) ,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小.001( )()( ),( ).xxxy t dtxty t dty x求求311( )( ),( )xf tdtf xt f tt236( )( ),xfxf xx 例5-29 设 y

16、(x) 是 x的连续可微函数,且满足例5-30 若可微函数f (x) 满足方程例5-31 设函数f (x) 满足求由曲线（五）五） 综合问题综合问题( ).f x求的无积分的表达式求的无积分的表达式第22页/共75页()( )( ),( ).xyf xye f ye f xf x求求21223,.xxxxxxxyxeeyxeeyxeee例5-32 若f (x) 可微, f (0)=0,对任何x, y, 有例5-33 若是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程.第23页/共75页形成的旋转体的体积为 0 xf xxxt f t dtf x连续函数求连续函数求( )sin() ( ),( )

17、.221239( )( ),( ),Vt f tff例5-34例5-35 设函数f (x) 在1，+上连续，直线 x= 1,x=t (t1) 与 x 轴所年围成的平面图形绕x 轴旋转一周( ).yf x求求第24页/共75页三、同步测试三、同步测试 测试测试5-1相切的积分曲线是 3dyxdx1yyx 答案：答案：2312yx答案：答案：(一)、填空题（3分*4=12分）1.以y = cex + x为通解的微分方程是2.微分方程的积分曲线中与直线 y = 2x -1 3.微分方程 y+y - 2y = 0的通解为 2123xxyCC eC e答案：答案： ( )sin( )cosxLf xey

18、dxf xydy12()xxee答案：答案：4.曲线积分与路径无关， f(0)=0, 则一阶连续可导函数 f(x) =第25页/共75页 为特解的最低阶常系数的齐次线性微分方程是 . 310(ln )xdyyxyx dx123,sin ,cosxxxyeyex yex( ) 3 4 20;A yyyy( ) 3 4 20;B yyyy( ) 0;C yyyy() 0.D yyyy(二)、选择题（4分*3=12分）1.方程属于 .(A) 全微分方程； (B) 齐次方程；(C) 线性方程； (D) 伯努利方程.答案：D2.以答案：A00sin(),( ).xyyefxf x的解，则在的解，则在3.

19、若 y= f(x) 是 (A) x0的某邻域内单调增加；(B) x0的某邻域内单调减少；(C) x0处取极小值；(D) x0处取极大值.答案：C第26页/共75页1.求方程适合 3()1, (0)0yxy yy的特解. 22222yxye 答案：答案：(三)、计算题（7分*5=35分）2.求方程210001()( )( )xyxyyy满足，的特解.满足，的特解.arcsinyx答案：答案：3.求方程2xyy的通解.1224()xx xyCC e答案：答案：23xyyye22233xxxyeexe答案：答案：4.求微分方程积分曲线中在原点处与直线 y=x 相切的积分曲线.4400204, ( )

20、,( ),yyyyy 0( ).y x dx求求1答案：答案：5.若 y= y (x) 满足第27页/共75页1.一个连续凸曲线过A(0,1), B (1,0)两点，对其上的21 56yxx 答案：答案：(四)、综合题（9分*4=36分） 2. 若曲线 L 位于 xoy 平面第一象限内，L上任意一点M 处的切线与 y 轴总相交，记交点为A, 已知3 32 2,MAOAL且 过点（ ，）,且 过点（ ，）,求L的方程.2303yxxx答案：答案： 3.一飞机以常速度 v 在16 km高空做水平飞行,在飞1324123yxxx答案：答案：任意一点P (x,y) ,恒有弧AP 与弦AP 之间的面积等

21、于P点横坐标的三次方，求曲线方程. 经地面导弹基地上空时，基地发射导弹，导弹始终瞄准飞机，其速度为2v ，求导弹的飞行轨迹.第28页/共75页4.若二阶常系数非齐次线性微分方程 xyyye21 ()xxyex e，,11111()dyaxbycaba bfdxa xb yc时，形如时，形如2321,;.xxxyCeDexe 答案：答案：的方程总可以经过线性变换化为齐次方程.证明当(五)、证明题（5分）试确定的一个特解为并求该方程的通解.第29页/共75页切于该点的积分曲线 2(1)20 xdyxydx的通解为12xy 21Cyx答案：答案：311162yxx答案：答案：(一)、填空题（3分*4

22、=12分）1.方程2. y = x的经过点M (0,1), 且与直线测试测试5-2 3.通解为 y = C1ex +C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程20yyy答案：答案：1012( )(),( )f xf ux dxf x则则 4.已知2( )f xCx答案：答案：是第30页/共75页20( )2( ).xf xf t dtx的解为;21)(2xCeAx;2121)(2xeBx;2121)(2xeCx.21)(2xCeDx答案：B(二)、选择题（4分*3=12分）1.满足( )( )( )yP x yQ x yf x321,CCC2.设线性无关的函数y1, y2 , y3都是方程的解，为任

23、意常数，则其通解为 .11223( );AC yC yy112233( );BC yC yC y1122123( )(1);C C yC yCCy1122123()(1);D C yC yCCy答案：Cxxxeyxeyey3,2,321; 022 yyyy; 0 yyyy; 06116 yyyy. 0 yyyy3.以为特解的三阶常系数的齐次线性微分方程是 .(A) (B)(C)(D)答案：D第31页/共75页1.若f (x) 可导，对任何的 x, y, 总有 0()( )( ),( ),yxf xye f xe f yfe1( )xf xxe答案：(三)、计算题 （7分*5=35分）求 f (

24、x).2.求方程202221(), ( ),( )xyx yyyy的特解.22ln()2xy 答案：2(3)20 xeydxxydy 的通解.3.求微分方程232(22)xxxex yC答案：244(1)xyyyex的通解.21tan22dyyydxxyx的通解.222162()()xxxyCDx exe答案：答案：2sinyCxx答案：答案：4.求方程5.求方程第32页/共75页 1.在上半平面内求一条向上凹的曲线，其上任意一点 P(x,y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数，且曲线在(1，1)处的切线与 x 轴平行(法线与 x 轴交点为Q).1()archyx 答案：答案：(四)

25、、综合题（12分*3=36分）试求 u 的表达式 f (x, y) .22()ufxy2222221uuuuxyxyxx，2222222( , )cossinf x yCxyDxyxy答案：答案：2.若具有连续的二阶偏导数，且第33页/共75页3.若函数f ( x ) 具有二阶连续导数，f(0)=0, (0)1,f 2()( ) ( )0 xy xyf x y dxfxx y dy ，221222sincosyxyxxyx yC答案：答案：是全微分方程，求f ( x ) ，并解此全微分方程.且方程(五)、证明题（5分） 12( ),( )( )( )y xyxyP x yQ x设是的两个不同的

26、解，设是的两个不同的解，121( )( ).( )( )y xy xCyxy x试证明方程的任何解y (x ),都有下列等式成立：这里C是任意常数.第34页/共75页例 5-1 求微分方程23dyxyxydx的通解.23dyxdxyyxdxyydy232111332(lnln)yyxC13,CCe 则通解为则通解为记 两边积分得 解 分离变量得2323.xyCey第35页/共75页222120()x ydxx dy ，2120()()uudxx dudxx212()dudxux ，112ln,xCu 即即121ln xCxy，这就是方程的通解，这就是方程的通解，1121ln.xxy 代入x =

27、 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是两边积分得解 设u= xy, 则 du = yd x + xd y,于是且过点（1，2）的积分曲线.例 5-2 求满足方程第36页/共75页例 5-3 求微分方程lndyyxydxxyux，dyduuxdxdx则，则，1(ln)dxduxuu，11,.CxCxueyxe积分得即原方程化为解 设的通解.lnlnln(ln1),xCuln1,Cxu第37页/共75页例 5-4 求2222dxdyxxyyyxy2221()()yydyxxyydxxx，积分得 解 原方程化为 的通解.,ydyduuuxxdxdx设则于是方程为1311()1222dxd

28、uuuux321,(2)uyCxuxuu代入23()(2 ) .yxCy yx第38页/共75页例 5-5 求22()yxydxxdy解 原方程化为满足y (1) =0的特解.21 () ,dyyyyudxxxx设则2,1dudxxu积分得21,uuCx221.yyCxxx第39页/共75页例 5-6 求24dyyxdxyx 解 设的通解.,xy则2,4dd2031.40 令，,ddarctan22,Ce 这是齐次方程,解之1arctan2233)(1).yxxyCe即（第40页/共75页例5-7 若f (x ) 二阶连续可微， 11118( ),( ),ff44( )( )( ).duxfx

29、f x dyyfx dx 解 这里 求u (x, y), 使得( , )4( ),( , )( )4 ( ),P x yyfx Q x yxfxf x7( ),( )0,QPfxfxxyx令则有71( )7( ),( )dfxdxfxC xfxx即812( ),8Cf xxC121,0,CC再利用初始条件，则81( , ).2u x yx yC于是进一步计算知第41页/共75页例5-8 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式 xyyxdttfxdttfydttf111)()()(解 固定 x , 对 y 求导，对任何正数x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .1()( )(

30、 ),xxf xyf t dtxf y1,(1)3,yf1( )( )3 ,xxf xf t dtx3( ),( )3ln,fxf xxcx(1)3,3,( )3ln3.fcf xx 两边再对x求导,整理得令第42页/共75页例5-9 求微分方程21lnlnxyxyx 解 将方程改写为的通解.21 ln,lnlnyxyxxxx2lnln1 lnlndxdxxxxxxyeedxCxx21 lnln()lnlnxxdxCxxx2lnln ()lndxdxxCxx 1ln (ln)lnxxCx 2111 lnln().xCxCC 第43页/共75页例 5-10 求方程 122()yyy dxxy e

31、dyx 却是线性的，把方程化为解 该方程关于 y 为未知数是非线性的，但是关于的满足条件y (0)=1的特解.12,yydxxedyy22111dydyydyyyyxeeedyC则1yyee dyC11.yyyeCe第44页/共75页例5-11 求方程26dyyx ydxx解 这是n = 6 的伯努利方程，代入公式得的通解.11(1 6)(1 6)1 62 (1 6)dxdxxxyex edxC55ln2515xyexdxCx255().2xxC第45页/共75页例 5-12 求342211, ( )dyx yydxxy解 把方程改写成的特解.42331,222dxxyyxxdyx yy31,

32、22yxxxy44422 42dydyyyyxeedyC222(2(2ln).yy y dyCyyC(1)11,yC由于有，42(12ln ).xyy即这是关于n = - 3的伯努利方程第46页/共75页例5-13 若y =ex是方程( )dyxp x yxdx1( )(),xp xx e(1)1xyey这是一个一元线性非齐次方程 ，于是于是有程有解 首先，求出未知函数p (x),把y = ex 代入原方求满足 y (ln2)=0 的特解.11 1xxxxeedxdxeeyeedxC .xx exCee12(ln2)0,yCe 由于12.xexxyee 故所求特解为的一个解，第47页/共75页

33、例5-14 若 10112()( ),( ).f ux duf xf x求求解 设 ux=t ,则,dtdux当 u = 0, t = 0;当u = 1, t = x.01( )( ) 1,2xdtf tf xx0( )( ),2xxf xf t dtx12( )( ),fxf xxx 2( )dxdxxxf xeedxCx2.Cx第48页/共75页例 5-15 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且00lim( ),xf xba又又( )( ),lim( ).xdybayf xy xy xdxa的一切解 均有解 方程( )dyayf xdx的解为证明方程0( ),xaxatyeCf t e

34、 dt0( )lim( )limxataxxxCf t e dty xe( )lim.axaxxf x ebaea第49页/共75页 例 5-16 若曲线过点N(1,1), 曲线上任意一点P(x,y)处 的切线与 Oy 轴交于Q, 经PQ为直径做的圆过A(1,0) ，求此曲线方程.解 过点P(x,y)的切线方程为 ().Yyy Xx),2,2(xyyx2222(0)()()(1)0() .2222xxyxxyyxyyy由于MQ = MA, 则线段PQ的中点M令 x =0, 则点Q (0, y xy ),整理得 111(1),yyyxx. 1222xCxy这是 n = -1的伯努力方程，解之得.

35、 122 xy考虑到 y (1) = 1,则 C = 0，于是所求曲线为第50页/共75页例 5-17 解方程解21ln0,xxyyx 满足初始条件111,2xxyy 的特解.12lnln1,xxydxCxxx 1(1)23,yC，ln1(3)xydxxx 22ln3ln,2xxxC2(1)12,yC ，2233ln2,22xxyxxC31(1)0,2yC223ln12.222xxxyx第51页/共75页例 5-18 解方程 212().xyxy解 设,yp 221,dpxdxpx积分得 再积分得原方程的通解为.32311CxCxCy则原方程可化为21(1),pCx21(1),yCx 即第52

36、页/共75页例 5-19 解方程 22ln .yyyyy解 由于22()(ln ) ,yyyyyyy设 ,ln yz 则 ,zz 其特征根是1，-1，所以12,xxzC eC e12ln.xxyC eC e即第53页/共75页23(4)()0 xxyex例 5-20 求方程解 23111,()yxxyyyyy 代入原方程得 24,xyye解这个微分方程，得其通解为.41222xxxxeDeCey的通解.第54页/共75页22()()1yy(0)0,0)1,(0)0yyy例 5-21 求微分方程适合条件的特解.解 设,yp 21,pp 则原方程化为解之1arcsin.pxC 由于积分两次有.si

37、n32CxCxy (0)0,(0)1,yy1(0)(0)0,0,pyCsin .yx 2sin;sin .yxxyx或第55页/共75页222221()1d yydyd xydx的通解.例 5-22 求方程解 设,dpypypdy则则原方程可化为,11222pyydydpp221,1dpydypyarctan2arctan112(1),1yyepyCyeC dxdyy或arctan12, (yC xeCyC也包含于此通解中).当p = 0时，y = C是方程的解，当p 0时，有积分得第56页/共75页 例 5-23 若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为 a , 且曲线经过点

38、(0, a), 并在(0, a)处的切线平行于Ox 轴,求曲线方程.解 依题意有3222,(1)(0),(0)0yayyya y设,dpypypdy3222(1) .dpy papdy第57页/共75页分离变量，解之得 ,1112Cyap由由于 y(0)=a,20,C于是原方程的通解为.xyarcha10,0,y apC222221,1ayapyap或22,yadypdxa2,yyarchCaa第58页/共75页 例 5-24 设物体 A 从点(0,1)出发以常速度 v 沿 y 轴正向运动,物体B以常速度 2v 从 点 (-1,0) 与A同时出发,方向始终指向A .试建立物体 B运动轨迹所满足

39、的微分方程.解 在时刻 t, 物体B位于P(x,y), Q(0,vt+1),过 P(x,y)的切线方程是().Yyy Xx代入点Q(0,vt+1),有1(0),vtyyx 1,vtyxy 即2121,xvty dx由弧长公式212(1)1,xyxyy dx 2210,xyy求导得2210,(0)0,(0)1.xyyyy所求方程为：xoy( , )P x y(0,1)( 1,0)Q第59页/共75页0034005xxyyyyy 的特解.例 5-25 求方程解 特征方程21 23401 4, .rrr 原方程的通解41414,xxxxyCeDeyCeDe 代入初始条件，解得 C = 1, D =

40、-1.于是原方程的特解为4.xxyee第60页/共75页例 5-26 求方程76sinyyyx的通解.的通解.解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的 6,xxyCeDe可以判断出其特解为代入初始条件解得57,7474AB通解为*sincos ,yAxBx*()cossin ,yAxBx *()sincos .yAxBx 5sin7cos7474xxyy65sin7cos.7474xxxxCeDe第61页/共75页例 5-27 解方程22448sin2 .xyyyxex解 不难求出方程的特征根为2，2.方程2448yyyx的特解;2*1CBxAxy方程244xyyye的特解;22*2xeD

41、xy方程442sinyyyx的特解.2sin2cos*3xFxEy原方程的特解*3*2*1*yyyy代入初始条件，并解方程组，求得112,4,3,0.28ABCDEF22*2cos2243;28xx exyxx 2*12().xyeCC xy原方程的通解为 第62页/共75页解 21222( )( ) ( ),yy u xx u xyyy则把代入原方程，则把代入原方程，20()().uPuPQu由于( )yx是原方程的解，故0,PQ20().uPu例5-28 设y1 = (x)是方程0( )( )yP x yQ x y21( ),yy u x的一个解,若求出此方程的另一个与 y1线性无关的解,

42、并写出所给方程的通解.第63页/共75页令原方程的通解为).(221dxeCCyPdx2(),duPdxu 12,PdxC eu 122,PdxeuCC 121,0,CC212( )Pdxeydxyx （与线性无关），第64页/共75页例 5-29 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足).(,)() 1()(00 xydtttyxdttyxxx求解 两边对 x 求导, 得到,)()() 1()()(00 xxdtttyxxyxdttyxxy整理即,)()()(020 xxdtttyxyxdtty再求导，并整理得到微分方程,312dxxxydy解之得 ,lnln31lnCxxy即13,x

43、Ceyx130,0lim( )0,.0,0 xxCexxy xyx第65页/共75页例 5-30 若可微函数f (x) 满足方程31( )( ) 1,( ).( )xf tdtf xf xt f tt求 的无积分的表达式解 由所给方程可知 f (1)=1,两边对 x 求导, 得3( )( ),( )f xfxx f xx记 y =f (x), 则上述方程化为,13xxydydx这是关于 n = 3 的伯努力方程.则,)2(2231Cdyeexydyydy整理即222 ( ).( )3Cf xxfx2325( )2( )5(1)1,.333fxfxfCx第66页/共75页 例 5-31 设函数f (x) 满足 xf (x) 3 xf (x) = 6x2求由曲线y=f (x), x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转