理想单色平面光波在晶体中的传播波法线菲涅耳方程PPT学习教案

1、会计学1理想单色平面光波在晶体中的传播波法理想单色平面光波在晶体中的传播波法线菲涅耳方程线菲涅耳方程5.2.1 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦麦克斯韦方程组描述克斯韦方程组描述。0(1-8)0(1-9)(1-10)(1-11)tt DBBEDHDEBHJE第1页/共60页1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组均匀、不导电、非磁性均匀、不导电、非磁性的各向异性介质的各向异性介质( (晶体晶体) )中，中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为0 (17)

2、 (18)0 (19)0 (20)tt DHEBD0 (21) (22)BHDE我们只讨论我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性。第2页/共60页1)单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构i ()000()ntce、 、k rEDHEDH式中，式中，设晶体中传播的单色平面光波为设晶体中传播的单色平面光波为00 1/rncc n 第3页/共60页2 22 cvcncnkvnki()0(1-22)t kzeEEi ()000()ntce、 、k rEDHEDH第4页/共60页对于这样一种光波，在进行

3、公式运算时，可以以对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代换算符代换算符 。/ t ()()00nnititcceiett k rk rEEE()()00nnititccneikerrck rk rEEEE第5页/共60页经过运算，经过运算，(17)式式(20)式变为式变为(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构0 (23) (24)0 (25)0 (26)cncn HkDEkHk Dk H由这些关系式可以看出：由这些关系式可以看出：0 (17) (18)0 (19)0 (20)tt DHEBD第6页/共60页(1)晶体中光电磁波的结构晶体

4、中光电磁波的结构 D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的同一平面内的同一平面内。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr0 (23) (24)cncn HkDEkH第7页/共60页(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构由能流密度的定义由能流密度的定义SEH可见，可见，H 垂直于垂直于 E 和和 s ( (能流方向上的单位矢量能流方向上的单位矢量) )，故故 E、D、 s、k 同在一个平面上同在一个平面上。0 (24)cn EkH波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr第

5、8页/共60页(1)晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构可以得到一个重要结论：在晶体中，光的可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播能量传播方向通常与光波法线方向不同方向通常与光波法线方向不同。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr第9页/共60页(2)能量密度能量密度e1()()222nnccE DEHkEHkm1()()222nnccB HHEkEHk根据电磁能量密度公式及根据电磁能量密度公式及(23)式、式、(24)式，有式，有0 (23) (24)cncn HkDEkH第10页/共60页(2)能量密度能量密度总电磁能量密度为总电磁能量密度为 (27)emncS s k对于各

6、向同性介质，因对于各向同性介质，因 s 与与 k 同方向，所以有同方向，所以有 (28)ncS第11页/共60页 (27)emncS s kem()2()2ncncHkEHkSEH第12页/共60页(3)相速度和光线速度相速度和光线速度 (29)ppcnvkk相速度相速度 vp 是光波是光波等相位面的传播速度等相位面的传播速度，其表示式为，其表示式为波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr第13页/共60页(3)相速度和光线速度相速度和光线速度光线速度光线速度 vr 是是单色光波能量的传播速度单色光波能量的传播速度，其方向为，其方向为能流密度能流密度( (玻印亭矢量玻印亭矢量) )的方向的方

7、向 s，大小等于单位时，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即除以能量密度，即rr (30)Svss第14页/共60页(3)相速度和光线速度相速度和光线速度由由(27)式式(30)式可以得到式可以得到prrcos (31)s k单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。向上的投影。ABABksvrvp第15页/共60页pprr (29) (31)cncnkks ks krrrr (30) (27) =vcnnccnSSsss ks ks kSS s ks

8、 k第16页/共60页(3)相速度和光线速度相速度和光线速度在一般情况下，光在晶体中的在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离相速度和光线速度分离, ,其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是光线速度。平面光波的相速度也即是光线速度。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvpvr第17页/共60页2)光波在晶体中传播持性的描述光波在晶体中传播持性的描述(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程22020()()nnc DEkkEkk由麦克斯韦方程组出发，将由麦克斯韦方程组出发，将(23)式和式和(24)式的式的H 消去消去

9、, ,可以得到可以得到001c 0 (23) (24)cncn HkDEkH第18页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式()()()ABCB A CC A B变换为变换为20() (32)nDEk k E ABBA22020()()nnc DEkkEkk第19页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程ksDDEE(kE) k(sD) s方括号方括号Ek(kE)实际上表示实际上表示 E 在垂直于在垂直于 k ( (即平即平行于行于D) )方向上的分量，记为方向上的分量，记为 。E20() (32)nDEk k E第20页/共60页(1)

10、晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程(32)式可以写成式可以写成20 (33)Dn E20() (32)nDEk k EksDDEE(kE) k(sD) s第21页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程我们还可以将我们还可以将(32)式、式、(33)式写成另外一种形式。式写成另外一种形式。因为因为cosEE所以所以222000cos (34)coscos( cos)( cos)EDDDEnnnDE0r rn第22页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程根据折射率的定义根据折射率的定义pcn可以在形式上定义可以在形式上定义“光线折射率光线折射率”( (或射线折射率或射

11、线折射率、能流折射率、能流折射率) ) nr ：rrpcoscos (35)ccnnprcos (31)第23页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程201 (36)rnED由此可将由此可将(34)式表示为式表示为20 (34)( cos)DEnrrpcoscos (35)ccnnksDDEE(kE) k(sD) s第24页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程或或20() (37)rcnEDs s DksDDEE(kE) k(sD) s201 (36)rnED第25页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程2020 (33)() (32)Dn EnDE

12、k k E20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s DksDDEE(kE) k(sD) s第26页/共60页(1)晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程 (32)、(33)和和(36 )、(37)式给出了沿某一式给出了沿某一k(s) 方向传方向传播的光波电场播的光波电场E(D)与晶体特性与晶体特性n(nr) 的关系，的关系，因而是因而是描述晶体光学性质的基本方程描述晶体光学性质的基本方程。2020 (33)() (32)Dn EnDE k k E20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s D第27页/共60页(2)菲涅耳方程菲涅耳方程0 1, 2, 3iiiDE

13、i 为了考察晶体的光学特性，为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系我们选取主轴坐标系，因，因而物质方程为而物质方程为 (22)DE123 0 00 00 0 第28页/共60页(2)菲涅耳方程菲涅耳方程波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) )ksDDEE(kE) k(sD) s第29页/共60页波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )20() 1, 2, 3 (38)iiiDnEkik E将基本方程将基本方程(32)式写成分量形式式写成分量形式并代入并代入 Di Ei 关系，经过整理可得

14、关系，经过整理可得02() (39)11iiikDnk E第30页/共60页0 (16) iiiED 20() 1, 2, 3 (38)iiiDnkiEk E200()iiiiDDnk k 22002()()11iiiiiiiDkDnn kDn k Ek E第31页/共60页将将(39)式代入后，得到式代入后，得到2223122221230 (40)111111kkknnn波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )由于由于 D k0，所以有，所以有1 1223 30DkD kD k第32页/共60页1 1223 30DkD kD k02() (39)11iiikDnk E

15、2223122221230 (40)111111kkknnn第33页/共60页2223122221230 (40)111111kkknnn描述了在晶体中传播的光波法线方向描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与与相应的折相应的折射率射率n 和晶体的主介电张量和晶体的主介电张量 之间的关系之间的关系。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )123 0 00 00 0 第34页/共60页波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )(40)式还可表示为另外一种形式根据式还可表示为另外一种形式根据 pc / n，可，可以以定义三个描述晶体光学性质的定义三个描

16、述晶体光学性质的主速度主速度：123123=, =, = ccc123 0 00 00 0 第35页/共60页波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x1、x 2、x3 的的相速度相速度。由此可将。由此可将(40)式变换为式变换为2223122222221230 (41)pppkkk上式描述了在晶体中传播的光波法线方向上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应与相应的的相速度相速度P 和晶体的主速度和晶体的主速度1、2、3 之间的关系之间的关系。第36页/共60页22231222222212

17、30 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn123123=, =, = cccp/c n第37页/共60页波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )通常将通常将(40)式和式和(41)式称为式称为波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程。2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn第38页/共60页由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的光的折射率折射率( (或相速度或相速度) )随光波方向随光波方向 k 变化变化。波法线菲涅

18、耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn这种沿这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率不同方向传播的光波具有不同的折射率( (或或相速度相速度) )的特性，即是晶体的光学各向异性。的特性，即是晶体的光学各向异性。第39页/共60页它们是它们是 n2 或或 p2 的的二次方程二次方程，一般有两个独立的实，一般有两个独立的实根根 n、n 或或 p、p，因而，对应每一个波法线方，因而，对应每一个波法线方向向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的，有两个具有不同的折射率

19、或不同的相速度的光波光波。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )2223122222221230 (41)pppkkk2223122221230 (40)111111kkknnn第40页/共60页在由在由(40)式、式、(41)式得到与每一个波法线方向式得到与每一个波法线方向 k 相相应的折射率或相速度后，应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向为了确定与波法线方向 k 相应的光波相应的光波 D 和和 E 的振动方向的振动方向，可将，可将(38)式展开式展开22221111 221 3322222 1122223322223 113223331010 (42)10n

20、kEn k k En k k En k k EnkEn k k En k k En k k EnkE 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )第41页/共60页10 112101111223322221111 221 33=() 10DEDnEk k Ek Ek EnkEn k k En k k E 2021011112233() 1, 2, 3 (38) ()iiiDnEkiDnEk k Ek Ek Ek E第42页/共60页将由将由(40)式解出的两个折射率值式解出的两个折射率值 n 和和 n 分别代入分别代入(42)式，即可求出相应的两组比值式，即可求出相应的两组

21、比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 E 和和 E 方方向。向。123:E EE123:E EE波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )2223122221230 (40)111111kkknnn22221111 221 3322222 1122223322223 113223331010 (42)10nkEn k k En k k En k k EnkEn k k En k k En k k EnkE 第43页/共60页123:DDD123:DDD由由物质方程物质方程的分量关系，求出相应的两组比值的分量关系，求出相应的两组比

22、值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 D 和和 D 的方向。的方向。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )0 (16) iiiDE 第44页/共60页由于相应于由于相应于 E 、E 及及D 、D 比值均为比值均为实数实数，所以，所以 E 和和 D 都是都是线偏振线偏振的。的。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) ) 当当 Ex 、Ey 二分量的相位差二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有(012)mm,0i 0e (1-105)ymxyx

23、EEEEiecosisin第45页/共60页进而可以证明，相应于每一个波法线方向进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个的两个独立折射率独立折射率 n 和和 n 的电位移矢量的电位移矢量 D 和和 D 相互相互垂直垂直。证明过程如下：。证明过程如下：波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )02() (39)11iiikDnk E0D D第46页/共60页22102211223222222233220()()1111()() 11111111()()()()() ()()()kDDk Ek Ennkknnnnn nk Ek En 22112222112222332

24、2222222331111()()() 11111111()()()()kknnnkkkknnnn第47页/共60页02() (39)11iiikDnk E22102211223222222233()()1111()() 11111111()()()()kDDk Ek Ennkknnnn 112233D DD DD DD D 第48页/共60页22221112222221111()1111( )()1111( )()( )()kkkn nnnnnnn 22221102222112222332222222233()()()1111()()()() 11111111()()()()kkn nDDk

25、 Ek Ennnnkkkknnnn 第49页/共60页上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。四、六项之和也为零。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )21212232222102221223222232223()()()11()()() 11()1111( 1111()()kn nDDk Ek Ennknkknnnkknn 2223122221230 (40)111111kkknnn第50页/共60页对应于晶体中每一给定的波法线方向对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有，只允许有两个特定振动

26、方向的线偏振光传播，两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的它们的D 矢量矢量相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，因此，0D D波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )第51页/共60页由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以这，所以这两个线偏振光有不同的光线方向两个线偏振光有不同的光线方向( ( s 和和 s )和光线和光线速度速度( ( vr 和和 vr )。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程( (波法线方程波法线方程) )kssDEDE第52页/共60页 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方

27、程( (光线方程光线方程) )上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向法线方向 k 上，上，特许的两个线偏振光的折射率和偏特许的两个线偏振光的折射率和偏振态振态。2223122221230 (40)111111kkknnn第53页/共60页 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) )类似地，也可以得到确定相应于光线方向为类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光光线菲涅线菲涅耳耳方程方程。222312222r1r2r30 (43)sssnnn20201 (36)() (37)rrncnEDEDs s Drrpcoscos (35)ccnn第54页/共60页 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程( (光线方程光线方程) )或或222312222222r1r2r30 (44)111111sss (43)式和式和(44)式描述了在晶体中传播的式描述了在晶