解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

1、 解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、 正弦定理1、正弦定理：在abc中，（r为abc外接圆半径）。2、变形公式：（1）化边为角： （2）化角为边： （3） （4）.3、三角形面积公式：4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、 余弦定理1、余弦定理：2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它

2、们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）. 北hl目标东 北东南西b图1 图2 图3 图42、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为（如图2）.3、方向角 相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在中,内角,所对的边分别是,已知,则（）

3、abcd【答案】a【解析】由正弦定理得，又，所以，易知.2、（2009广东文）已知中，的对边分别为若且，则 ( )a2 b4 c4 d【答案】 a【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故选a3、（2011浙江）在中，角所对的边分.若，则( )a- b c -1 d 1【答案】d【解析】，.4、（2012福建文）在中,已知,则_.【答案】 【解析】由正弦定理得 5、（2011北京）在中，若，则 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以6、（2012重庆理）设的内角的对边分别为,且则_【答案】 【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理7、（2011全国）abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c.己知.

4、 （i）求b； （）若.【解析】（i）由正弦定理得由余弦定理得. 故，因此 （ii） 故.8、（2012江西文）abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知3cos(b-c)-1=6cosbcosc.（1）求cosa;（2）若a=3,abc的面积为,求b,c.【解析】（1） 则. （2）由（1）得,由面积可得bc=6,则根据余弦定理 则,两式联立可得或.9、（2011安徽）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边长，a=，b=，求边bc上的高.【解析】：abc180，所以bca，又，即，又0a180，所以a60.在abc中，由正弦定理得，又，所以ba，b45，c75，bc边上的

5、高adacsinc.10、（2012辽宁理）在中,角a、b、c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.（i）求的值;（）边a,b,c成等比数列,求的值.【解析】（i）由已知（）解法一：，由正弦定理得，解法二：，由此得，得所以【课堂练习】1、（2012广东文）在中,若,则（）abcd2、（2011四川）在abc中，则a的取值范围是（） ab cd3、（2012陕西理）在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（）a b c d4、（2012陕西）在中，角,所对的边长分别为，若，则的最小值为（ ） a b c d5、（2011天津）如图，在abc中，d是边ac上的点，且则sinc的值为()

6、a bc d 6、（2011辽宁）abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，asinasinb+bcos2a=，则（）a b c d7、（2012湖北文）设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,则为（）a432b567c543d6548、（2011上海）在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点之间的距离是 千米。9、（2012重庆文）设的内角 的对边分别为,且,则_10、（2012北京文）在abc中,若,则的大小为_.11、（2012陕西文）在三角形abc中,角a,b,c所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,b=,c=2,则b=_12、（2012北京理）在abc中

7、,若,则_.13、已知abc得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.14、如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140的方向航行，为了确定船位，船在b点观测灯塔a的方位角为110，航行半小时后船到达c点，观测灯塔a的方位角是65，则货轮到达c点时，与灯塔a的距离是多少？15、（2009安徽理）在abc中，, sinb=.（i）求sina的值；（ii）设ac=，求abc的面积. 16、（2012安徽文）设的内角所对的边为,且有（）求角的大小;（ii） 若,为的中点,求的长.17、（2011江苏）在abc中，角a、b、c所对

8、应的边为（1）若 求a的值；（2）若，求的值.18、（2012天津文）在中,内角所对的分别是.已知.（i）求和的值; （ii）求的值.19、（2010陕西）如图，a，b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知 米，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.【课后作业】1、（2009全国卷文）已知abc中，则 (

9、)a b c d 2、（2009全国卷理）已知中， 则 ( )a. b. c. d. 3、（2012湖南文）在abc中,ac= ,bc=2,b =60,则bc边上的高等于（）abcd4、在abc中，若sin2asin2bsin2csinbsinc，则角a等于（ ）a b c d 5、在abc中，若acosabcosb，则abc的形状是（ ）a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等腰三角形或直角三角形 6、在abc中，abc156，则sinasinbsinc等于()a156b651 c615 d不确定7、（2009湖南文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 8、（2012湖北理）设

10、的内角,所对的边分别为,. 若,则角_.9、在abc中，已知c10，c60，a，则a . 10、在abc中，已知三边满足（abc)(abc)3ab，则c等于 . 11、在abc中，若 ，则abc是 . 12、在abc中，已知b135，c15，a5，那么此三角形的最大边的长是 . 13、在abc中，已知sin2bsin2csin2asinasinc，求b的度数.14、如图，在abc中，已知角b45，d是bc边上一点，ad5，ac7，dc3，求ab.15、（2009全国卷理）在中，内角a、b、c的对边长分别为、，已知，且 求b. 16、（2009浙江理）在中，角所对的边分别为，且满足， （i）求的

11、面积； （ii）若，求的值 17、已知abc的三个内角a、b、c依次成等差数列，又三边a、b、c依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.18、（2011山东） 在中，内角的对边分别为，已知，东北（）求的值；（）若，求的面积s。19、某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）.【参考答案】【课堂练习】1-7、bcccd dd8、9、10、11、212、413、14、10 km15、，16、17、18、=， 19、需要1小时20、米【课后作业】1-6、ddbbda7、2，8、9、4