高等数学2半期考试复习打印

1、向量代数与空间解析几何多元微分学及其应用重积分高数（下）半期复习重点高数（下）半期复习重点第第8章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 本章以矢量代数为工具，运用本章以矢量代数为工具，运用形数结合形数结合的方法，研究空间的曲面的方法，研究空间的曲面和曲线，同时重点研究了平面和直线。和曲线，同时重点研究了平面和直线。一一 基本要求：基本要求： 1. 正确理解正确理解矢量概念矢量概念，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算 及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。 2. 平面平面方程四形式方程四形式

2、 3. 直线直线方程四形式方程四形式 4. 点、直线、平面间的位置关系点、直线、平面间的位置关系 5. 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 6. 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程旋转曲面方程及及空间曲线在空间曲线在坐标面上的投影方程。坐标面上的投影方程。二二 典型例子典型例子矢量矢量坐标表示坐标表示既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量模及方向角模及方向角方向余弦方向余弦,zyxaaaa,：方方向向角角,|cosaxaba a,zzyyxxbababa,zyxaaa)cos(ba,baba| baa

3、Prj| zzyyxxbabababacba)sin(| ba,bac| , ac yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaa,ccbaabc)(zyxzyxzyxcccbbbaaaabc,|222zyxaaaa,|cosaya|cosazaabbPrj| ,zyxbbbb,zyxcccc, bc 成成右右手手系系且且)(cb,a,一一 基本要求基本要求 1. 矢量运算及坐标表示矢量运算及坐标表示xzyn=A,B,CM(a,b,d)A(x a)+B(y b)+C(zd)=01 czbyaxAx+By+Cz+D=0),(),(),( 333222321zyxCzyxBzyxA已已知知三三点

4、点0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxbca(1) 点法式点法式:(2) 一般式一般式.(3) 截距式：截距式：(4) 三点式：三点式：0其中其中 D= Aa Bb Cd2. 平面方程平面方程(1)标准式：标准式：S=m,n,pM(a.,b,c)Lpcznbymax 0022221111DzCyBxADzCyBxAS(2) 参数式参数式 : x = a+m t y = b+n t z = c+p t(4) 两点式两点式:AB),(),(222111zyxBzyxA已已知知121121121zzzzyyyyxxxx .(3) 一般式一般式L.L3. 直线方程直线

5、方程pzznyymxxl111 ：直直线线| ssdNM222000|CBADCzByAxd (1) 点到平面的距离点到平面的距离 (3) 直线平行于平面直线平行于平面),(000zyxM已已知知点点,0 DCzByAx：平平面面.(2) 点到直线的距离点到直线的距离MdNlMdlN0 CpBnAm.记记,CBAn,pnms),(111zyxN点点.0 111 DCzByAx且且4. 点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系（用解析法判断）（用解析法判断）nss (4) 直线在平面内直线在平面内 0 CpBnAm(5) 直线垂直于平面直线垂直于平面pCnBmA (6) 直线与平面的夹角

6、直线与平面的夹角 |snsn sinll l.且且0111 DCzByAx.N4. 点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系（用解析法判断）（用解析法判断）.pzznyymxxl111 ：直直线线),(000zyxM已已知知点点,0 DCzByAx：平平面面sssnnn 011111 DzCyBxA ：(1) 两个平面垂直两个平面垂直0212121 CCBBAA(2) 两个平面平行两个平面平行21212121DDCCBBAA (3) 两个平面重合两个平面重合21212121DDCCBBAA 已知两个平面已知两个平面0 22222 DzCyBxA ：.5. (4) 两个平面夹角为两个平面

7、夹角为 222222212121212121cosCBACBACCBBAA (5) 两个平行平面间的距离为两个平行平面间的距离为d22212|CBADDd 011111 DzCyBxA ：已知两个平面已知两个平面0 22222 DzCyBxA ：d.5. . 1 2n1n2.已知两条直线已知两条直线 1111111，：pzznyymxxl (1) 两条直线共面两条直线共面(2) 两条直线的夹角两条直线的夹角 (3) 两条平行直线的距离两条平行直线的距离d(4) 两条异面直线间的最短距离两条异面直线间的最短距离dAB021ABss|211ssss2cosd| ssdABAB2121ssssdAB

8、A 2222222pzznyymxxl ：.s.B6. d .7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程旋转曲面方程及及空间曲线在空间曲线在坐标面上的投影方程。（以例子在下面说明）坐标面上的投影方程。（以例子在下面说明）曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.空间曲面空间曲面(2) 不不在在曲曲面面S上

9、上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程旋转曲面方程及及空间曲线在空间曲线在坐标面上的投影方程。坐标面上的投影方程。研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的

10、轴轴.方程特点方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之为柱面所形成的曲面称之为柱面.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线

11、母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.(1) 平面平面 xy (3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) 圆柱面圆柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号

12、与与qpzqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）圆锥面）圆锥面222zyx 空间曲线空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yx

13、H设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面。和和两两条条对对角角线线的的长长为为确确定定的的平平行行四四边边形形与与投投影影为为上上的的在在则则其其夹夹角角矢矢量量。因因为为位位置置关关系系是是则则两两矢矢量量的的矢矢量量的的坐坐标

14、标是是则则矢矢量量点点已已知知的的方方向向是是的的模模是是依依次次为为在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影矢矢量量_ , _,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 )4(_, ,1 ,21 , 2,3 , 2 , 1 )3(_ , )2( _, _, 3 , 2 , 1 )1(2122221111babababaMMzyxMzyxMaaa 1, 2, 314143cos ,142cos ,141cos 垂直垂直0 ba321|Prj bbaab 6| ba2| ba.,121212zzyyxx .1. 填空填空._ ) 0 , 1 , 0( )2 , 1, 3( )6(的的平平面面方方程

15、程是是及及轴轴，且且过过点点平平行行于于QPx _| , , , , )5( cbabacacbcbacba则则均为非零矢量，且均为非零矢量，且设设._212312:)0 , 0 , 0( )7(的的距距离离为为到到直直线线原原点点 zyxLM3.知知：它它们们两两两两垂垂直直。由由, , , bacacbcba | | | | caccbcba 又又：1 | c1. | 1, | | ba同同理理，y + z = 110.解：解：.M解：解：lN(2, 3,1)d2, 2 , 1 s.|ssNMd ._1222 134 11 )12(._0132011423 )11(._083 11 )10

16、( 1)1()1( 1 )9(._ 08 )8(222222222间间夹夹角角为为和和直直线线的的标标准准式式为为 直直线线间间夹夹角角为为和和 两两个个平平面面平平面面上上的的投投影影为为之之交交线线在在与与两两个个球球面面方方程程为为则则，平平面面垂垂直直于于使使其其母母线线，作作柱柱面面：过过曲曲线线 zyxzyxzyxzyxxyxxOyzyxzyxSxOzSzyxzyxL422 xzzx. 022022 yyxz411172101 zyx4. _ _ _ 1 _ 0 _ 1 _ 1 )15(._ _ 00),( )14(._062 241312 )13(2222222222222222

17、222222222222。：；：；说说出出曲曲面面名名称称：轴轴旋旋转转，得得旋旋转转面面绕绕轴轴旋旋转转，得得旋旋转转面面绕绕曲曲线线的的位位置置是是和和平平面面直直线线zqypxzqypxczbyaxczbyaxczbyaxczbyaxyzxzyfzyxzyx (p, q 同号同号) (p, q 同号同号)椭球面椭球面双叶双曲面双叶双曲面二次锥面二次锥面单叶双曲面单叶双曲面双曲抛物面双曲抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面相交相交0) ,(22 zyxf0) ,(22 zxyf.M0M垂面方程为垂面方程为0) 1()2() 1( 2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 L1与此平面的交点与此平

18、面的交点M： 11122zyx 012 zyx32 t)32 ,31 ,32( M交交点点.35 ,35 ,35 0 MM , 1 , 1 , 1 3o S取取 得得所所求求直直线线为为：. 111211: zyxL.L= t解：解：L1. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直线垂直相交的直线且与直线且与直线求过点求过点LzyxLM 2. 1o 过过 M0作作 L1 的垂面，的垂面，dL1L2 方法方法 I 思路：思路：1o 过过L1做平面做平面 ，使，使 / L2.2o 点点M L2,点点M 到平面到平面 的距的距 离即为离即为d.M. 241342: 3112

19、1: 21dzyxLzyxL距离距离之间的之间的与与求直线求直线 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2 , 1, 43, 1 , 2 6 ,16 , 1 06)1(16)1(: zyx015616: zyx即即 取点取点M(2,3,4) L2,2226161|15)4(63162| d有有.29311 .n方法方法 II 思路：思路：. 241342: 31121: 21dzyxLzyxL距离距离之间的之间的与与求直线求直线 .解：解：L1L21s2sMN利用混合积的几何意义：利用混合积的几何意义：所求的所求的 d 就是三矢量构成的就是三矢量构成的平行六

20、面体的高平行六面体的高.|2121ssNMssd .| 2 , 1, 43, 1 , 2 | 4, 2 , 32 , 1, 43, 1 , 2 | .29311 .(2)(3)思路思路I：. 221L的的交交线线即即为为所所求求直直线线与与平平面面因为：因为：(1) 它们共面它们共面.(2) 它们不平行它们不平行.( L2平行于已知平面平行于已知平面 ，但显然，但显然 L 1 不平行不平行于于 . )相交。相交。问题问题：L2与与 L1 相交吗？相交吗？求直线的一般式方程求直线的一般式方程. 2 1 2nL1L2. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyx

21、M相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 ：的平面的平面且平行于平面且平行于平面先求过先求过10 M.1可可求求出出. 210LM的的平平面面过过已已知知直直线线且且再再求求过过.M0.2可可求求出出具体解答如下：具体解答如下：nM12nL1L2；的平面的平面且平行于平面且平行于平面求出过求出过10 M0143 :1 zyx：的平面的平面过已知直线过已知直线且且再求过再求过210 LMM0, )031( 1M,为为记记点点 2法法矢矢量量则则平平面面 . 2 , 1 , 31 sL的的方方向向数数：M1sMMn 102 2 , 1 , 34, 3 ,

22、0 9,12,10 解：解：. 04691210 :2 zyx 046912100143: 2 zyxzyxL所所求求直直线线.思路思路I： 求直线的一般式方程求直线的一般式方程.sn. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1 (3).思路思路II：. 4437481: zyxl 为为所所求求直直线线1 , 4, 32 , 1 , 34, 3 , 0 1 , 4, 39,12,10 求直线的标准式方程求直线的标准式方程.L11n2n从思路从思路 I 的分析知：的分析

23、知：nnn 124 ,37,48 . 22nL 的的方方向向矢矢为为设设.L2如图：如图：.n. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1 解：解：(3).3 3解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 4 4解解.02:01012:上的投影直线的方程上的

24、投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 5 5解解.,1101:求求旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周绕绕直直线线zzyxL ), 1(111zyM设设直直线线上上一一点点,11zy 有有位位置置到到达达旋旋转转后后),(), 1

25、(111zyxMzyM由于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为. 1222 zyx 一一 重点与难点重点与难点 1. 理解多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念理解多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念 练习练习 理解它们之间的关系理解它们之间的关系(七框图七框图 ) (有关七框图的提问有关七框图的提问 ). 2. 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法；熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法； 3. 掌握隐函数的求导

26、法则。掌握隐函数的求导法则。 (1) 一个方程确定的隐函数一个方程确定的隐函数 *(2) 方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数 4. 掌握空间曲线的切线及法平面的求法。掌握空间曲线的切线及法平面的求法。 5. 掌握空间曲面的切平面及法线的求法。掌握空间曲面的切平面及法线的求法。 6. 掌握二元函数极值、给定区域上的最值、掌握二元函数极值、给定区域上的最值、 及条件极值的求法。及条件极值的求法。 7. 理解方向导数与梯度的概念和计算方法，以及二者的关系。理解方向导数与梯度的概念和计算方法，以及二者的关系。二二 典型例题典型例题(8个个)三三 课堂练习课堂练习 1. 求偏导、求全微分求偏导、求全微

27、分(4个个) 2. 计算计算(5个个)第第9章章 多元函数微分学多元函数微分学1. 二元函数的基本概念二元函数的基本概念.),( ),(),( 000AyxfyxPyxP时时，都都有有当当点点以以任任意意方方式式路路无无极极限限，或或者者沿沿某某两两条条若若沿沿某某一一条条路路径径 ),( yxf.),(, ),(000的的聚聚点点是是点点的的定定义义域域为为DyxPDyxfz .),(lim00Ayxfyyxx 称称逆否命题逆否命题：无无极极限限。的的极极限限不不同同，则则径径 ),( ),( yxfyxf称二元函数称二元函数 z = f (x,y),),(, ),(000的的聚聚点点是是点

28、点的的定定义义域域为为DyxPDyxfz .0DP 且且极限极限：即即A为为 f (x,y)当当PP0时的时的(二重二重)极限。极限。连续连续：在点在点P0(x0,y0)连续连续.),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若一一 重点与难点重点与难点. 偏导数偏导数： ),(),(00的的全全微微分分指指：在在点点函函数数yxyxfz . d),(d),(d0000yyxfxyxfyyx )( ),(),(00 yBxAzyxyxfz的的全全增增量量在在点点若若 ),(),( 00可可微微。在在点点称称yxyxfz .全微分全微分：xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0

29、000000yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000.o偏导数的几何意义偏导数的几何意义的的几几何何意意义义：偏偏导导数数),( 00yxfx. ),( ),(000的的正正切切轴轴夹夹角角的的切切线线与与在在点点它它是是曲曲线线 xyxPyyyxfz . ),( tan00yxfx 即即：的的几几何何意意义义：偏偏导导数数),( 00yxfy. ),( ),(000的的正正切切轴轴夹夹角角的的切切线线与与在在点点它它是是曲曲线线 yyxPxxyxfz . ),( tan00yxfy 即即：.为为什什么么？点点连连续续？一一个个在在上上例例中中的的两两个个函函数数，那

30、那例例。则则则则限限：处处的的二二重重极极限限和和累累次次极极求求函函数数在在点点例例 )0 , 0( . 2 _),(lim_,),(limlim _,),(limlim1sin1sin)(),( )2(._),(lim _,),(limlim _,),(limlim 0 0 0 ),( )1( )0 , 0( . 1 000000000000222222 yxfyxfyxfyxyxyxfyxfyxfyxfyxyxyxxyyxfyxxyyxyxxyyx00不存在不存在0不存在不存在不存在不存在都不连续。都不连续。(2)在在x轴轴、y轴以外连续轴以外连续.(1)连续连续. 二元函数的极限、连续

31、及偏导数练习二元函数的极限、连续及偏导数练习 :以以外外的的点点呢呢？在在)0 , 0(0| ),(|0 yxyxf._)0 , 0( _)0 , 0( , 1sin1sin)(),( yxffyxyxyxf0 0) )处处的的偏偏导导数数. . 求求点点( (0 0, , 对对例例1 1的的函函数数 例例4 4. ._)0 , 0(_)0 , 0( 0 0 0 ),(222222 yxffyxyxyxxyyxf处处的的偏偏导导数数：0 0) ) 求求点点( (0 0, , , 对对例例1 1的的函函数数不存在不存在不存在不存在 )0 , 0(xfxfxfx)0 , 0()0 ,(lim0 x

32、x00lim0 0 .)0 , 0(yf. xf没没有有定定义义。因因为为 )0 ,( . yf没有定义。没有定义。因为因为 ), 0( .00yfyfy)0 , 0(), 0(lim0 yy00lim0 0 3. 3 例例 将二元函数将二元函数 z = f (x , y) 在点在点(x, y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图： （1）有定义）有定义; （2）有极限）有极限; （3）连续）连续 ; （4）偏导存在）偏导存在; （5）方向导数存在）方向导数存在; （6）偏导连续）偏导连续 ; （7）可微）可微.（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2） 存存在在之之间间有有什什么么

33、关关系系？等等及及偏偏导导多多元元函函数数有有极极限限、连连续续问题：问题：1.成立的怎么证明？成立的怎么证明？2.箭头是否可逆？举例箭头是否可逆？举例.3.没有箭头意味什么？没有箭头意味什么？. _),( ),( ),( ),(. 10000条条件件可可导导的的在在点点可可微微是是在在点点yxyxfyxyxf充分充分 )0 , 0( , sin|),( . 2处处的的全全微微分分是是否否存存在在？试试问问点点设设xyxyxf , |)0 ,( xxf .)0 , 0( ),( 处处的的全全微微分分不不存存在在在在点点yxf答：答：有关七框图的提问有关七框图的提问(7个个).不不存存在在)0

34、, 0(xf),( ),( ,),( ),( . 30000yxyxfyfxfyxyxf在在点点都都存存在在，的的偏偏导导在在点点 ),( ),( 00yxfyxf或或若作为一元函数若作为一元函数不一定。不一定。 ),( 00一一定定连连续续吗吗？在在点点yx 一一定定连连续续吗吗？ .,00连连续续答答：分分别别在在yyxx .),( ),( ),( ),(0000yxyxfyxyxf在在点点有有连连续续偏偏导导数数，在在点点若若数数那那么么在在该该点点处处它它的的偏偏导导连连续续在在点点若若 ,),( ),( . 500yxyxf不一定。不一定。一定。一定。 ?反反例例. 5 例例. 一一

35、定定连连续续吗吗？ 一一定定存存在在吗吗？点点连连续续：在在 )0 , 0( )(22yxx,yf )(lim 00 x,yfyx因因为为).0 , 0( 0 lim2200fyxyx . |lim 00lim)00( 0220不不存存在在但但是是xxxx,fxxx .)00( 也也不不存存在在同同理理，,fy4.),( ),( ),( ),(0000yxyxfyxyxf在点在点则则的偏导数存在，的偏导数存在，在点在点若若 不一定。不一定。 ?反反例例. 6 例例.点点偏偏导导数数存存在在：在在 )0 , 0( | xyz zzd 事事实实上上， 0 0|0|lim)00( 0 xx,zxx处

36、处一一定定可可微微吗吗？ 0)00( ,zy同同理理，处不可微：处不可微：在点在点但是，但是，)0 , 0(),(yxzz 00| xy| xy 22)()( d yxozz 只只须须考考察察？)( 22yxo 0|lim 2200 yxxyyx而而) . 0 (即即知知取取 yx证毕证毕. . 3 如如前前面面例例 又又如如：6. 0 0 0 1sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf 的偏导数在点的偏导数在点可微，则可微，则在点在点若若 ),( ),( ),( 00yxfyxyxf 不一定。不一定。 ?反反例例. 7 例例.:)0 , 0(处可微处可微在点在点 1cos21

37、sin2),( 222222 yxyxxyxxyx fx 但但. ),(00一定连续吗？一定连续吗？yx它在点它在点 (0, 0) 的任何邻域中都无界，的任何邻域中都无界，处处在点在点)0 , 0( ),(yxfx处也不连续。处也不连续。在点在点同理，同理，)0 , 0(),(yxfy不连续。不连续。, 0)0 , 0()0 , 0( yxff因为因为 22d yxff而而且且22221sinyxyx . 00 0 yx7.3. 隐函数的求导法则隐函数的求导法则.ddyxFFxy 且且(1) 一个方程确定的隐函数一个方程确定的隐函数一一个个自自变变量量的的情情形形： 1o，的的某某一一邻邻域域

38、内内在在点点设设函函数数100 ),(),(CyxyxF , 0),(00 yxF0),( yxF则则方方程程，一一个个函函数数的的某某一一邻邻域域内内唯唯一一确确定定在在点点)( ),(00 xfyyx ，满满足足)( 00 xfy ，1)(Cxf ，若若2 ),(CyxF 的的二二阶阶导导数数也也存存在在，则则隐隐函函数数 )( xfy 22ddxy.且且, 0),(00 yxFy并并且且3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF xyxdddd3. 隐函数的求导隐函数的求导., zxFFxz .zyFFyz (1) 一个方程确定的隐函数一个方程确定的隐函数多多个个自自变变量量的的情情

39、形形： 2o，的的某某一一邻邻域域内内在在点点设设函函数数1000 ),(),(CzyxzyxF 法则法则, 0),( 000 zyxF且且, 0),(000 zyxFy0),( zyxF则则方方程程，一一个个函函数数的的某某一一邻邻域域内内唯唯一一确确定定在在点点),(),(000yxf zzyx ，并并且且满满足足),( 000yxfz 3. 隐函数隐函数 0),(0),(vuyxGvuyxF方方程程组组.，设设函函数数1 ),(),(CvuyxGvuyxF , ),(),( JvxGFxu 而而且且*(2) 方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数的求导法则的求导法则).,(),( yxvv

40、yxuu ，确确定定了了一一对对函函数数：则则当当雅雅各各比比行行列列式式时时， 0),(),( vuGFJ, ),(),(JvyGFyu . ),(),(JyuGFyv , ),(),(JxuGFxv 4.空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面空间曲线空间曲线 L处的切线方向处的切线方向上的点上的点 ),(0000zyxML处的切线处的切线点点 ),(0000zyxM处处的的法法平平面面点点 ),(0000zyxM )()()(:tzztyytxxL00 ttM 对对应应 )(),(),(000tztytxn )()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000

41、 zztzyytyxxtx )()(:xzzxyyL00 xxM 对对应应 )(),(, 100 xzxyn )()(100000 xzzzxyyyxx 0)( )()(00000 zzxzyyxyxx 0),(0),(:zyxGzyxFL 00, MzyxMzyxGGGFFFn 000000 MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx . . . . . 0,MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFF.5.空间曲面的切平面及法线空间曲面的切平面及法线曲面曲面S的方程的方程处处的的法法线线方方向向上上的的点点 ),(0000zyxMS处的切平面处的切平面点点 )

42、,(0000zyxM处处的的法法线线点点 ),(0000zyxM0),(: zyxFS),(:yxfzS 0, MzyxFFFn 01, Myxffn . .0)(,()(,( )(,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx.000|000MzMyMxFzzFyyFxx 0)()(,()(,( 000000000 zzyyzyxfxxzyxfyx1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx.6. 二元函数极值的求法二元函数极值的求法.),( 的的极极值值求求yxfz ; 00 )1(求求驻驻点点解解 yxff. )2(20的的符符号号，验验对对每每

43、一一驻驻点点ACBM ),(yyxyxxfCfBfA 02 ACB若若A 0(或或C 0(或或C 0), 02 ACB若若待定。待定。, 02 ACB若若非非极极值值点点。0M.f (M0 )为极大值。为极大值。f (M0 )为极小值。为极小值。步步骤骤：.求求 f (x,y) 在给定区域上的最大值和最小值在给定区域上的最大值和最小值求在区域内的驻点，求在区域内的驻点，及边界上的最值嫌疑点；及边界上的最值嫌疑点；择其最大者为最大值，最小者为最小值。择其最大者为最大值，最小者为最小值。求求 u = f (x,y,z)的条件极值的条件极值: . 0),( ; 0)( zyxx,y,z 设设限限制制

44、条条件件 . )( x,y,zfF则则引引入入 定定。的的驻驻点点后后由由实实际际意意义义确确得得到到F).( :x,y,zfu 目目标标函函数数7. 方向导数与梯度的概念方向导数与梯度的概念它是函数在一点处沿给定方向的变化率。它是函数在一点处沿给定方向的变化率。方向导数是单向导数：方向导数是单向导数：的的区区别别与与关关系系。数数与与偏偏导导数数轴轴正正、负负方方向向的的方方向向导导沿沿xzx 方方向向是是增增加加的的。沿沿时时，函函数数当当 )(0lPflf 方方向向是是减减少少的的。沿沿时时，函函数数当当 )(0lPflf 方向导数的计算公式：方向导数的计算公式：,cos,cos,cos

45、 ,),(0 lMPfu沿沿方方向向在在点点 coscoscos0000MzMyMxMffflf 则则.梯度是个向量。梯度是个向量。其模是该点各方向导数的最大值。其模是该点各方向导数的最大值。梯度的计算公式：梯度的计算公式： 00,gradMzyxMfffu .方向导数是个数。方向导数是个数。其方向其方向,是函数在该点的方向导数取得最大值的方向；是函数在该点的方向导数取得最大值的方向；二二.典型例题典型例题时，极限不存在。时，极限不存在。当当证明证明(0,0)( , 263 x,yyxyxz例例 1.证明：证明：时的极限：时的极限：沿沿考虑动点考虑动点 (0,0) )( 3 kxyx,y 26

46、30 0 3lim yxyxkxyx lim62660 0 3xkxkxkxyx . 12kk 因其值依赖于因其值依赖于 k, 所以原极限不存在。所以原极限不存在。在在全全平平面面连连续续。证证明明 0 0 0 ),( 2222222 yxyxyxyxyxf。各各点点处处函函数数连连续续在在 0 22 yx证明：证明：处，由于处，由于点点在在 )0 , 0( |222222yyxxyxyx | y 22yx 0. )0 , 0(0lim 22200fyxyxyx 故函数在全平面连续。故函数在全平面连续。 0 例例 2. 00 yx正正向向所所成成的的角角度度。轴轴的的的的切切线线与与在在点点求

47、求曲曲线线 )5 , 4 , 2( 4)(41 22xyyxz 解：解：这是偏导数的几何意义问题。这是偏导数的几何意义问题。.例例 3.设所成角为设所成角为 ， tan42 yxxz 4242 yxx . 1 . 4 .例例4.什什么么角角度度？相相交交的的曲曲线线交交成成平平面面与与和和两两个个曲曲面面 2 3 6 2222 yyxzyxz解：解： 23 : 26: 222221的的交交点点：与与先先求求曲曲线线 yyxzlyyxzl联立这三个方程，联立这三个方程，. 35 , 2 , 1 35 , 2 , 1 QP和和 21111 yxxzkxlP轴轴的的斜斜率率为为：对对，曲曲线线在在点

48、点21222 yxxzkxl轴轴的的斜斜率率为为：对对曲曲线线= 2 32 解得点：解得点：轴轴的的倾倾角角的的差差，就就是是它它们们的的切切线线对对的的夹夹角角与与因因为为 21xll 1tan2121kkkk 74 . 74arctan , 也也有有同同样样在在点点 Q. 74arctan .多元复合函数多元复合函数偏导数的求法偏导数的求法. 5例例., ),(22222xyzyxzyzxzCfxyyxyfz 求求解：解：).2(21f yfxyxz ).2(21fxf yyfyz yxz 2)2()2(2222212121121fxf yyffxf yxyf yfx 2221222112

49、21)(2422fxyfyxyfxyf yfx xyz 2)2(21f yfxyy .例例 6.dd,dd,01)(3)(2222322xyxyxyyxyx求求的的函函数数为为确确定定由由方方程程 解：解：1)(3)(),(22322 yxyxyxF令令xyxxFx6)(6222 1)(6222 yxxyyxyFy6)(6222 1)(6222 yxyyxFFxy ddyx 1)(61)(6222222 yxyyxx 22ddxy yxxdd2ddyxyxy .322yxy . 06: )1 , 2, 1( 222222的切线方向的方向导数的切线方向的方向导数处沿曲线处沿曲线在点在点求函数求函

50、数 zyxzyxLPzyxxu解：解：曲线曲线 L 在点在点 P(1,2,1) 处切向量为处切向量为: 2 ,2 ,2Pzyxl 1 , 1 , 1 ,6 , 0 , 6 其方向余弦其方向余弦266cos ,21 , 0cos 21cos PxuPzyxyz2322222)( ,665 PyuPzyxxy23222)( ,631 Pzu,661 2166121665Plu321 .例例 7.Pzyxxz23222)( 例例 8. ),( 010422 222的的极极值值所所确确定定的的函函数数求求由由方方程程yxfzzyxzyx 解：解： zxFFxz 21zx zyFFyz 21zy = 0

51、= 0得驻点：得驻点：x = 1, y = 1代入原式得代入原式得 0124 2 zz 6 , 2 zz. )6 , 1, 1( )2, 1, 1( 和和得得曲曲面面上上的的点点： 22 xz, )2()1()2(2zxzxz 22 yz, )2()1()2(2zyzyz 2 yxz. )2()1(2zyzx 在点在点 (1, 1,2) 处，处，在点在点 (1, 1, 6) 处，处，, 0 ,41 , 41 BCA, 0 ,41 , 41 BCA为为极极小小值值。 2)1, 1( z为为极极大大值值。 6)1, 1( z.注：几何上也易解。原方程可化为球面注：几何上也易解。原方程可化为球面.

52、16)2()1()1(222 zyx的的最最大大值值值值即即为为，上上下下顶顶点点处处的的，半半径径为为其其中中心心在在点点 4)2 , 1, 1(zz 和和最最小小值值。.由由 .)1, 0 , 1( ),( 2 (4)22处处的的全全微微分分点点在在确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程 Pyxzzxyzzx三三 1.求偏导、求全微分求偏导、求全微分. . , , )( )2(22212xzyzyxzxzCCfyxfz 求证：求证：其中其中设设 。处处的的一一阶阶偏偏导导数数在在点点求求 )0 , 0( 0 0 0 (1)2424242 yxyxyxyxz . , e (3)22222)(y

53、zyxzxzzyxzyx ，求求，已知已知三三 2.计算：计算：).( grad, )( )3(222rfzyxrrf求求为为可可微微函函数数，其其中中设设 的的极极值值。求求函函数数切切平平面面方方程程。的的上上平平行行于于平平面面求求椭椭球球面面 12153 )5( 02 12 )4(23222yxxyxzzyxzyx 成角度。成角度。轴正向所轴正向所的切线与的切线与在点在点求曲线求曲线 )3 , 1 , 1( 11 )1(22yxyxz . 6 , 2 , 3 )211( )2(22的方向导数的方向导数处沿方向处沿方向，在点在点求函数求函数 lPxyz zxyu聚点聚点： .),(, )

54、,(000的的聚聚点点是是点点的的定定义义域域为为DyxPDyxfzD0P0P00PDP的的点点，称称点点都都有有的的任任意意一一个个去去心心邻邻域域内内若若点点的的聚聚点点。为为D的的聚聚点点；内内点点是是 D.的的聚聚点点边边界界点点也也是是 D，的的聚聚点点可可以以属属于于 DD.D也也可可以以不不属属于于.。的的内内点点和和边边界界点点的的集集合合的的聚聚点点就就是是 DD.沿沿x轴正方向轴正方向 l 的方向导数的方向导数 与偏导数与偏导数 的区别：的区别：xz ),( yxfz 设设).,( 00yxM点点lzxM 轴轴正正方方向向的的方方向向导导数数点点处处沿沿. 1.xz 等等于

55、于该该点点处处的的偏偏导导数数轴轴负负方方向向的的方方向向导导数数点点处处沿沿 xM. 2.xz 等等于于xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim 00000),(00沿沿x轴正方向的方向导数轴正方向的方向导数 与偏导数与偏导数 的关系：的关系：xz lz ),(),(lim 00000),(00yxfyxflzyx lz .其中其中 大于零大于零；其中其中 x可以大于零，也可以小于零可以大于零，也可以小于零。三三 1. 求导解答求导解答 (1)解：解：。处处的的一一阶阶偏偏导导数数在在点点求求 )0 , 0( 0 0 0 2424242 yxyxyxyxz )0 , 0()0 ,(li

56、m 0 xfxfx )0,0(xz 000lim420 xxxx = 0 )0,0(yz )0 , 0(), 0(lim0yfyfy 000lim20yyyy = 0(2) . :, , )( 22212xzyzyxzxzCCfyxfz 求求证证其其中中设设, fxz 左左：; 2 fyxz, fyz右右：, 22fxz . ff右右左左解：解：证毕证毕. . , e 22222)(yzyxzxzzyxzyx ，求求，已已知知: 求求导导两两边边对对 x)1(e1 )(xzxzzyx 解：解： 0)e1)(1( )(，即即： zyxxz 0e1 )(，因因： zyx 01 ， xz . 1 x

57、z故故 . 1 yz同同理理， . 0 22222 yzyxzxz(3).解：解：.d2ddyxzP (4) .)1, 0 , 1(),( 2 22处处的的全全微微分分点点在在确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程 Pyxzzxyzzx0 2 22 xyzzx F设设1 : zxFFxzP处处在在点点则则, 22yzzxxFx , xzFy 22xyzxzFz , 21 PxF, 1 PyF. 21 PzF2 zyFFyz.所成角度。所成角度。轴正向轴正向的切线与的切线与在点在点求曲线求曲线 )3 , 1 , 1( 11 22yxyxz 解：解：(1,1)22(1,1)1 tan yxyyz .

58、 6 .这是偏导数的几何意义问题。这是偏导数的几何意义问题。 设所成角为设所成角为 ，三三 2. 计算解答计算解答 (1)33 解：解：,2yzyux .计算解答计算解答 (2).6 , 2 , 3 )211( 22的的方方向向导导数数处处沿沿方方向向，在在点点求求函函数数 lPxyz zxyu,2xzxyuy xyzuz 2, 1 Pxu, 0 Pyu3 Pzu6 , 2 , 371cos,cos,cos 的的方方向向余余弦弦l coscoscos PzPyPxPuuulu 76373 .715 计算解答计算解答 (3)解：解：.).( grad, )( 222rfzyxrrf求求为为可可微

59、微函函数数，其其中中设设 ,)( grad zfyfxfrf xrfxf , ryfyf . rzfzf , rxf . )( gradzy,x,rfrf 同理：同理：(4) 的的切切平平面面方方程程。上上平平行行于于平平面面求求椭椭球球面面 02 12 222 zyxzyx解：解：主主要要是是求求切切点点。 ,2 11/ ，则则 n2 ,4 ,2, zyxFFFnzyx .2 , 1, 1 . , 4,2 zyx, n为为设设所所求求切切平平面面的的法法矢矢量量. 代代入入椭椭球球面面，定定. 1122 . 1122 , 11221 , 112 得得切切点点为为. 2112 zyx切切平平面

60、面为为 (5) 的极值。的极值。求函数求函数 12153 23yxxyxz 012601533 22xyzyxzyx由由).1, 2(),2, 1(),1 , 2(),2 , 1( 得得驻驻点点：求求二二阶阶偏偏导导：.6 ,6 ,6xzyzxzyyxyxx ),(00yxABCACB 2结结 论论 (1, 2) (2, 1) (1, 2) (2, 1)6612 0z(1,2)非极值非极值12126 0z( 1, 2)非极值非极值 12 12 6 0极大值极大值 z( 2, 1)=28列表分析：列表分析：第第10章章1.熟练掌握二重积分的极坐标熟练掌握二重积分的极坐标2.会改变二重积分的积分次