第三章-定积分

1、1第二节第二节 定积分定积分（Definite Integral） 2第二节第二节 定积分定积分n定积分的概念定积分的概念n2个实例个实例n曲边梯形的面积曲边梯形的面积n变速直线运动的路程变速直线运动的路程n定义定义n几何意义几何意义n性质性质n定积分与不定积分的关系定积分与不定积分的关系n定积分的计算定积分的计算n反常积分反常积分 3梯田的面积计算问题梯田的面积计算问题 4abxyo? A实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、一、 定积分的概念定积分的概念)0)(),(xfxfy 5abxyoabxyo用

2、矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形） 6曲边梯形面积曲边梯形面积, ,).1 (1210bxxxxxabann内内插插入入若若干干个个分分点点，分分割割：在在区区间间。积积记记为为围围成成的的小小曲曲边边梯梯形形的的面面轴轴与与曲曲线线把把长长度度为为，个个小小区区间间分分成成把把区区间间iiiiiiAxxxxxxxxxxnba,;,i1i11，上上任任取取一一点点间间近近似似代代替替：在在每每个个小小区区iiixx,).2(

3、1为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为底底，以以)(,1iiifxx近似近似分割分割iiixfA)(即即,iA近近似似等等于于0 xa 1x1iiixxbxxnn1x0y)(ifAi 7iniixfA )(1 (3)(3)求和求和 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度细细取取极极限限：当当分分割割无无限限加加)0( ,max ,)4(21nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限曲边梯形面积曲边梯形面积 8实例实例2 2 路程问题路程问题（Distance Problem)基本思路：

4、基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再再相加相加对于匀速运动，我们有对于匀速运动，我们有路程路程= =速度速度时间时间如何求变速运动的路程呢如何求变速运动的路程呢？00.当当时时，tv 9（1 1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3 3）求和）求和iinitvs )(1 （4 4）取极限）取极限0,max21ntttiniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2

5、2）近似）近似路程问题路程问题 10iniixfA )(lim10 iniitvs )(lim10 (1)(1)分割分割(3)(3)求和求和(4)(4)取极限取极限(2)(2)近似近似两个具体实例小结两个具体实例小结曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速运动的路程变速运动的路程求解步骤：求解步骤：212101TtttttTnn ,1210bxxxxxanniiixfA)(iiitvs )( iniixfA )(1 iinitvs )(1 0 ,max21nxxx 11设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干

6、干个个分分点点bxxxxxann 1210各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取作作和和iinixfS )(1 ， 1、定积分的定义、定积分的定义定义定义怎样的分法，怎样的分法，也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， 12 badxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba我我们们称称这这个个极极限限为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记

7、为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和1、定积分的定义、定积分的定义 13注意：注意： badxxf)( badttf)( baduuf)(（2 2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的 .上上可可积积。在在存存在在,)()(lim)3(00baxfxfniii badxxf)(iinixf )(lim10 14注意：注意：（2 2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的 . badxxf)(iinixf )(lim10 11,( ),iiiiiiiiiixxm MxxmfM设设分分别别为为区区间间上上最最小小值值和和最

8、最大大值值，则则有有111( )nnniiiiiiiiimxfxMx000111limlimlim( )=.nnniiiiiiiiim xMxfx若若，则则存存在在？ 15观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放 16观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 17观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 18观察下

9、列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 19观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 20观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 21观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 22观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，

10、注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 23观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 24观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 25观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 26观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系

11、矩形面积和与曲边梯形面积的关系 27观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 28观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 30观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 31观察下列演示

12、过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 32)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成. . badxxfAbaxfA)( ,)(即即上上的的定定积积分分，在在区区间间等等于于函函数数其其面面积积iniixfA )(lim10 33 21)(TTdttvS 设某质点作直线运动，速度设某质点作直线运动，速度)(tvv 是时间间是时间间隔隔,21TT上上t的一个连续函数，物体在这段时的一个连续函数，物体在这段时间内所经过的路程等于间内所经过的路程等于v(t)在区间在区间 上的上的

13、定积分。定积分。 ,21TTiniitvs )(lim10 34函数可积的两个充分条件函数可积的两个充分条件n定理定理1 函数函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上上连续，则连续，则f(x)在在a,b上可积。上可积。n定理定理2 函数函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上上有界，且只有有限个间断点，有界，且只有有限个间断点，则则f(x)在在a,b上可积。上可积。 35解：解：(1) 分割分割（2）取点取点xyo12xy ni1 ninnifxfAiii1)()(nni122例例1 1 利用定义求定积分利用定义求定积分dxx102 36nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn

14、,121161 nn n0 dxx102iinix 210lim nnn121161lim.31 iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx （3）求和求和例例1 1 利用定义求定积分利用定义求定积分dxx102 37, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值2、定积分的几何意义、定积分的几何意义abxyooyabx baAdxxf)(niiibaxfdxxf10)(lim)(00 38积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面

15、面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(1A2A3A321)(AAAdxxfba xyoabbadxxf)( 39()0 ;()();:aababaabfxdxdxbafxdxfxdx规规定定niiiaaxfdxxf10)(lim)(0, xaa积积分分区区间间为为0定积分定义的补充规定：定积分定义的补充规定： 40()0;()();:aababaabfxdxdxbafxdxfxdx规规定定()0;()();:aababaabfxdxdxbafxdxfxdx规规定定分分割割从从积积分分下下限限到到积积分分上上限限ab 如如果果00n

16、iiibaxfdxxf10)(lim)(niiiabxfdxxf10)(lim)(abxyoix1ixabxyoix1ix 41.( )( ),()1bbaakf x dxkf x dxk3 3. .定定积积分分的的）性性为为常常数数质质iinibaxkfdxxkf)(lim)(10iinixfk)(lim10badxxfk)( 42. ( )( )( )( )2(.)bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx可可推推广广到到有有限限个个的的情情形形）iiinibaxgfdxxgxf)()(lim)()(10iiniiinixgxf)(lim)(lim1010babadxxgdxx

17、f)()()(xf)(xg)()(xgxf 43xyab1上上如如果果在在区区间间定定积积分分的的性性质质ba,3).1)(xfabdxdxbaba1则则： 44., ,( )( )( ): , ,( ),.3bcbaacabaccbf x dxf x dxf x dxca bf x若若把把分分为为两两部部分分和和则则注注 若若分分点点 在在区区间间之之外外则则在在内内必必须须否否则则积积分分可可能能大大区区间间连连续续不不存存在在）. )4定定积积分分的的性性质质1A2Axyoabcc3A 45. , ( )( ) ,(4)bbaaa bf xg xf x dxg x dx若若在在有有）区区

18、间间上上则则定积分的性质定积分的性质)0d)(0d)( ),0)(0)()(,.5babaxxfxxfxfxfbaba或或则则或或上上，有有若若在在）推推论论niiibaxfdxxf10)(lim)(00000 46例例 比较积分值的大小比较积分值的大小21321lnln) 1 (dxxxdx与与时时，解解：当当ex 11ln0 x3lnlnxx22311lnlnxdxxdx.71828. 2e 47例例 比较积分值的大小比较积分值的大小43343lnln)2(dxxxdx与与时，时，解：当解：当ex 1lnx3lnlnxx 43343lnlndxxxdx 48)0d)(0d)( ),0)(0

19、)(,).5babaxxfxxfxfxfba或或则则或或上上，有有若若在在性性质质babaxxfxxfba.d| )(|d)(|,则则推推论论：若若)()()(xfxfxfdxxfdxxfdxxfbababa)()()(babaxxfxxf.d|)(|d)(| 49babaxbaxabMxxfabmxfmxfM).(d)()( )(min),(max).6,则则，若若性质性质Mxfm)(bababadxMxxfdxmd)(bababadxMxxfdxmd)(baabMxxfabm).(d)()( 50()( )( )()5,.( ) , ),(, :baf xa baf x dxfb abba

20、若若函函数数在在区区间间上上则则在在上上至至少少存存积积分分中中值值定定理理连连续续在在一一点点使使得得下下式式成成立立）定积分的性质定积分的性质7 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，xyoab )( f使得以区间使得以区间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。 51积分中值定理证明积分中值定理证明上连续上连续在在证明：证明：,)(baxfmMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在,)(Mxfm)(即：即：有有：由由定定积积分分性性质质6)

21、()()(abMdxxfabmba 52积分中值定理证明积分中值定理证明)()()(abMdxxfabmba之之间间的的一一个个数数和和的的是是介介于于Mmxfdxxfabba)()(1Mdxxfabmba)(1dxxfabfbaba)(1)(,，上至少存在一点上至少存在一点在在 53积分中值定理证明积分中值定理证明dxxfabfbaba)(1)(,，上至少存在一点上至少存在一点在在)()(abfdxxfba 54定积分思想小结定积分思想小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积

22、分化整为零化整为零分割分割直（不变）代曲（变）直（不变）代曲（变）近似近似3定积分几何意义定积分几何意义“曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和” 55( ) , ,(),( ) , ,( ),()( )( )aaxxf ta bx axbf ta xf t dxtf t dtaxb设设函函数数在在区区间间上上可可积积 则则对对任任意意在在上上可可积积 进进而而存存积积分分上上限限函函( (变变在在 记记为为称称为为上上限限积积定定义义数数分分函函数数) )( (一一) ). .变变上上限限的的定定积积分分二二. . 定积分与不定积分的关系定积分与不定积分的关系 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼

23、兹公式 56,( )( ),( )( )(.,1)xaxaxf t dtf xabxf t dtab设设函函数数在在区区间间上上则则在在区区间间上上可可导导 且且定定连连续续理理abxyoxx )( x xxadttfx)()( 57利用导数定义和积分中值定理证明利用导数定义和积分中值定理证明xxbax点点处处取取增增量量在在证证明明：任任取取,abxyoxx )( x x,baxx使使)()(xxxxxaxxadttfdttf)()(xadttfx)()( 58abxyoxx )( x xxaxxadttfdttf)()(xaxxxxadttfdttfdttf)()()(xxxdttf)(

24、59abxyoxx )( x x xxxdttf)(xf)(积分中值定理积分中值定理)(fx)(xfxxx0lim)()(limfx 60( ),( )( )( ),2.xaf xabxf t dtf xab设设函函数数在在区区间间上上则则是是在在区区间间上上的的一一理理连连续续个个原原函函数数定定 61:xxx若若上上限限不不是是 , ,而而是是个个 的的函函数数, ,则则上上限限函函数数是是个个 的的复复合合函函数数, ,由由复复合合函函数数的的求求注注导导公公式式知知: : ( )( )g xadf t dtf g xg xdxxadttfx)()()()()(xgadttfxgy)()

25、,(uyxgu令令)()(xgudxdy)()(xgdttfua)()(xguf 62:x若若上上下下限限都都是是 的的函函数数, ,则则由由复复合合函函数数的的注注求求导导公公式式知知: : ( )( )( )g xh xdf t dtf g xg xf h xh xdxxadttfx)()()()()()()()()(xgccxhxgxhdttfdttfdttf)()()()(xhcxgcdttfdttf 6323.cos1xattdt例例 求求 ( )( )g xadf t dtf g xg xdx)2()2cos()2 3xxx（原原式式解解：)2cos()223xx（)2cos(16

26、3xx 643.ta2n.xtxdetdtdx例例 求求 ( )( )( )g xh xdf t dtf g xg xf h xh xdx)(tan)3()3tan( 3xxexxexx原原式式解解：xexexxtan)3tan(33 6521301. 3,.1zzdyydxxdz知求知求例例 已已 ( )( )g xadf t dtf g xg xdx)(11 26zzy解解：612zz16112zzzzdzdy1 663040sin.li.4mxxtdtx求求例例 ( )( )g xadf t dtf g xg xdx330L4sinlim xxx原原式式解解：30sinlim41xxx4

27、1 67.()NewtonLeibniz( (二二) )微微式式积积分分基基本本公公式式公公( ),( ),( )( )( )( ),babaf x dxF xf xabF xf xaFF abb设函数在区间上设函数在区间上是在区间上是在区间上的任意一个原函数 则的任意一个原函数 则连续连续 68Newton-Leibniz formula证明证明上连续上连续在在证明：证明：,)(baxf的一个原函数的一个原函数为为)()()(xfdttfxxa的一个原函数的一个原函数为为又又)()(xfxF( )( )1xF xcaadttfa0)()( )( )( )1caF aF a ( )( )1bF

28、 bc)()(aFbF)()()()(aFbFdttfbba 69120.x dx例例如如计计算算 321( ) , .2f xa bdxxNewtonLeibniz连续连续反反注注用公式的条用公式的条件是函数区间件是函数区间 例例上上意:意:在在10331x解解：原原式式31)01 (313 703.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 小结小结牛顿莱布尼茨公式深刻揭示了定积分与不牛顿莱布尼茨公式深刻揭示了定积分与不定积分之间的关系定积分之间的关系 71( )(

29、 )( )( )bbaaf x dxF bF aF xNewtonLeibniz（一一）公公式式三、定积分计算方法三、定积分计算方法求原函数(即不定求原函数(即不定(1)(1)积分);积分);( )( ).F bF a( (计算计算2)2) 721201.()1.x dx计算参照第一节例26计算参照第一节例26例例caxaaxaxadxxa)(arcsin222222102)1(arcsin21xxx解解：原原式式)0arcsin1(arcsin214 733.1.x dx1计算例53111) 1()1 (dxxdxx解解：原原式式1322111122-xxxx4 74 :1( ) , f x

30、a b在在换元积分法须满足的条件换元积分法须满足的条件上连续上连续 3 , , , ,.txta bab 当当 在在上上变变化化时时在在上上变变化化且且定积分换元法特点定积分换元法特点:换元必须换限换元必须换限( (二二) )换换元元积积分分法法)(,)()2(ttx上单调且有连续导数上单调且有连续导数在在dtttfdxxftxba)()()()( 75sin ,cos,xtdxtdt( ( (换换例1)例1)设 设 元法元法另法:另法:) )则则201 cos22tdt2011sin2224tt12222001cos( coscos )x dxtdttt00;1,2xtxt时时时时于于是是d

31、xx1021 76402.21xdxx例例 计算计算2 2tx12解：令解：令212txtdtdx 时，时，当当0 x1t时时，当当4x3t3122) 1(21tdttt原式原式312321dtt3311 132 3tt223 77350sins.in.xxdx例例3 3计计算算)sin1 (sinsinsin2353xxxx解解：xdxxcossin023原原式式xx cossin3xxdsinsin023025sin52x0 xdxxcossin2023原原式式xdxxcossin2232252025sinsin52xx545252 781221.1dxx x 例 计算4dttdxtx21

32、,1则则解解：令令dtttt2121211111原原式式; 1 1;21 2txtxdtt121211为什么负号为什么负号没有了？没有了？ 791221.1dxx x 例 计算4dtt12121112121lnttcxxadxxa2222ln1215151ln21lnln222 80定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv.bbbaaaudvuvvdu（三）分部积分法（三）分部积分法,babaudvduv 811ln(1.).exdx例例 计计算算7 7xvxu ),1ln( 令令解：解：11ln(1)ln

33、(1)eexxxdx原原式式.bbbaaauv dxuvu vdx11ln(1)1eexxxdxx111 1ln(1)1eexxxdxx 821ln(1.).exdx例例 计计算算7 7111 1ln(1)1eexxxdxx 111ln(1)(1)1eexxdxx11ln(1)ln(1)eexxxx2ln1) 1ln(2ln) 1ln(eeeeeee12ln2) 1ln() 1( 83例例3-51 (定理定理1）n已知函数已知函数f(x)在在-a,a上连续，试证明：上连续，试证明：为偶函数为偶函数为奇函数为奇函数)( ,)(2)( , 0)(0 xfdxxfxfdxxfaaaaaaadxxfd

34、xxfdxxf00)()()(证证明明：, tx设设,dtdx, ax当当, at , 0 x当当0t00)()(aadttfdxxfadttf0)(adxxf0)( 84例例3-51aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aadxxfdxxf00)()(aadxxfdxxf00)()(adxxfxf0)()(axfdxxf0)()(2为为偶偶函函数数adxxf0)(2axfdxxfxf0)()()(为为奇奇函函数数0 85偶函数偶函数奇函数奇函数-aaa-a奇偶函数对称区间上的积分奇偶函数对称区间上的积分 86dxx222求求20222222 dxxdxxx 是偶函数，是偶函数，解：

35、解：320123x316 87dxx22sin求求0 sin 原式原式，在积分区间上是奇函数在积分区间上是奇函数解：解： x 88124.xx dx1计算例610422dxxx解解：原原式式10212dxxx1022)1 (1xdx1320213x 32 89奇函数奇函数例例9 9 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积xy21xy 900( ),( )( )2.a TTaf

36、xTf x dxf x dx设设函函数数为为周周定定期期为为 的的连连续续函函数数则则理理TaTTaTaadxxfdxxfdxxf)()()( 证证明明：dtdxTtx ,令令aTaTdtTtfdxxf0)()(atTaxtTx, , 0 ,当当当当adttf0)(adxxf0)( 91TaTTaTaadxxfdxxfdxxf)()()(aTaTdxxfdxxf0)()(aTadxxfdxxf0)()(Taadxxfdxxf)()(0Tdxxf0)( 92例8 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄速率函数是 , 其中k是常数.求在时间间隔 内,排出药物的量D T,0kttetr )(TktT

37、dttedttrD00)( 解解： , tu 令令ktevktekv10011()TTktktteedtkk 原原式式对反幂三指对反幂三指.bbbaaaudvuvvdu 930011()TTktktteedtkk 原原式式20011TTktktteekk 2211kekekTkTkT)1(122kkTekkT 94101?dxx21?1dxx 95 v了解反常积分（无穷区间上的反常积分，了解反常积分（无穷区间上的反常积分， 无穷型不连续函数的反常积分）的概念。无穷型不连续函数的反常积分）的概念。v会计算反常积分会计算反常积分四、四、 反常积分反常积分 （Improper Integral） 9

38、6(),),l i m(),(),)() ,()()()l i m()1)(babaaababfxabafxd xfxafxd xfxdfxdfxdxxx i mpr o pe r i nt e g r a lc o nv e r g e nc edi v e r g e 设设函函数数在在区区间间上上连连续续取取如如果果极极限限存存在在就就称称此此极极限限为为函函数数在在无无穷穷区区间间上上的的记记作作并并 （）称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则就就称称反反常常积积分分不不存存在在或或反反常常积积分分定定收收敛敛发发散散义义) .nc e1.1.无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分(

39、 (广义积分广义积分) )(),),lim(),(),)(),()()()lim()1)(babaaababfxabafxdxfxafxdxfxdfxdfxdxxximproper integralconvergencediverge 设设函函数数在在区区间间上上连连续续取取如如果果极极限限存存在在就就称称此此极极限限为为函函数数在在无无穷穷区区间间上上的的记记作作并并 （）称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则就就称称反反常常积积分分不不存存在在或或反反常常积积分分定定收收敛敛发发散散义义).nce(),),l i m(),(),)() ,()()()l i m()1)(babaaabab

40、fxabafxd xfxafxd xfxdfxdfxdxxx i mp r o p e r i n t e g r a lc o n v e r g e n c ed i v e r g e 设设函函数数在在区区间间上上连连续续取取如如果果极极限限存存在在就就称称此此极极限限为为函函数数在在无无穷穷区区间间上上的的记记作作并并 （）称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则就就称称反反常常积积分分不不存存在在或或反反常常积积分分定定收收敛敛发发散散义义) .n c e 97l i m(),:2()bbaafxxdxdfx定定义义反反常常积积分分类类地地 （似似）( )( )( )lim( )li

41、m( ),( ),cccbacabf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxcf x dx或或其其中中 为为任任意意常常数数当当右右端端两两个个反反常常积积分分都都存存在在 时时称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则称称收收敛敛为为发发散散. .lim( ),:2( )bbaaf xx dxdfx定定 义义 反反 常常 积积 分分类类 地地 （似似）lim( ),:2( )bbaaf xx dxdfx定定义义反反常常积积分分类类地地 （似似）()()()l i m()l i m(),(),cccbacabfxd xfxd xfxd xfxd xfxd xcfxd x 或或其

42、其中中为为任任意意常常数数当当右右端端两两个个反反常常积积分分都都存存在在 时时称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则称称收收敛敛为为发发散散. .()()()lim()lim(),(),cccbacabfxd xfxd xfxd xfxd xfxd xcfxd x 或或其其 中中为为 任任 意意 常常 数数当当 右右 端端 两两 个个 反反 常常 积积 分分 都都 存存 在在 时时称称 反反 常常 积积 分分存存 在在 或或否否 则则 称称收收 敛敛为为 发发 散散 . .()()()l i m()l i m(),(),cccbacabfxd xfxd xfxd xfxd xfxd xcf

43、xd x 或或其其中中为为任任意意常常数数当当右右端端两两个个反反常常积积分分都都存存在在时时称称反反常常积积分分存存在在或或否否则则称称收收敛敛为为发发散散. . 981.dxx求分求分例例积积1 1dxxbb11lim 原原式式解解：1lim lnbbxbblnlim发发散散，积积分分不不存存在在。xyalog xya1log ) 1( a 99212.dxx例例求求积积分分022011 limlim11baabdxdxxx解： 原式00lim arctanlim arctanbaabxxababarctanlimarctanlim)2(2xy/2-/2 10020.31xdxx例例计算计

44、算tx 解：令解：令2tx tdtdx2tdttt2)1 (022原原式式txtx ; 00dttt0222)1 (2dttt0222)1 (112 101dttt0222)1 (111(2tant令令ddt2sec；00t；2tdttt0222)1 (112ddtt20222022)tan1 (sec)1 (1 102ddtt20222022)tan1 (sec)1 (1d2042secsecd202sec1d202cosd2022cos1201sin2224 103dttt0222)1 (111(2原式原式4)1 (1022dtt211lim202bbdtt2arctanlim20bbt2

45、)0arctanarctanlim(2bb22xy/2-/2 10400l i m()(,0,l i m(),(),()()l i.)(m(1babaxabaaabbfxabfxd xffxfxdxd xfxd xxxxfd设设函函数数在在上上连连续续而而取取若若极极限限存存在在则则称称反反常常积积分分存存在在或或并并记记作作若若极极 限限不不存存定定收收在在则则称称反反常常积积分分不不存存敛敛（）在在或或发发散散义义2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分00l i m()(,0,l i m(),(),()()l i.)(m(1babaxabaaabbfxabfxd xffxfxdxd xfxd xxxxfd设设函函数数在在上上连连续续而而取取若若极极限限存存在在则则称称反反常常积积分分存存在在或或并并记记作作若若极极 限限不不存存定定收收在在则则称称反反常常积积分分