概率第一张第三节

1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第三节第三节 频率与概率频率与概率).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下1. 定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2. 性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn; 0)(, 1)()2( fSf).()()()(,)3(2121

2、21knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动

3、动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从上述数据可得从上述数据可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰

4、nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板

5、中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样的的.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件

6、的概率概率 1933年年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义 ，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料:)(, )(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率件件称为事称为事记为记为赋予一个实数赋予一个实数的每一事件的每一事件对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAESE; 0)(,: (1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性; 1

7、)(,: (2) SPS 有有对对于于必必然然事事件件规规范范性性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定义概率的定义. 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAA

8、ji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为为两两个个事事件件设设证明证明BA,BA 因因为为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)5(APA PAA 则则

9、的对立事件的对立事件是是设设证明证明, 1)(, SPAASAA因因为为).(1)(APAP . 1)(,)4( APA对对于于任任一一事事件件SA , 1)()( SPAP. 1)( AP故故证明证明)()(1AAPSP 所所以以. )()(APAP ).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对对于于任任意意两两事事件件加加法法公公式式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和

10、的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由由图图示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件

11、BASSAB1例例ABABA(3), 由由 示示得得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且SABAB例例2 已知已知求求： (1) (2) (3) (4) ( ) 0.5, () 0.2( ) 0.4P AP ABP B ，()P AB()P AB ()P AB ()P AB(1),( )()( )1( )ABABBABABP ABP B - P ABP A =- P A 解： 且，故解： 且，故()=0. 4-0. 2=0. 2()=0. 4-0. 2=0. 2(2)=1-0. 5=0

12、. 5(2)=1-0. 5=0. 5(3)()( )( )()0.50.40.20.3(4),()()10.70.3P ABP AP BP ABABABP ABP AB 由由加加法法公公式式知知，由由德德摩摩根根律律可可知知，故故解：显然解：显然 是两两互不相容的事件，且是两两互不相容的事件，且iAi0,1,2,3,4,5,i 例例3 3 观察某地区未来观察某地区未来5 5天的天气情况，记天的天气情况，记为事件为事件“共有共有 天不下雨天不下雨”， 求求下列各事件的概率；下列各事件的概率；（1 1）5 5天均下雨；天均下雨；（2 2）至少）至少1 1天下雨；天下雨；（3 3）至多）至多3 3天

13、不下雨天不下雨. .015,A AA555001000,( )()()()16 ()11()(),1,2,3,4,51616iiiiiiiAsP SPAP AP AP AiP AP Ai 故故于于是是，设设(1),(2),(3)中的三个事件分别为中的三个事件分别为A,B,C,则则050133001(1) ( )()1615(2) ( )()1()167(3) ( )()()16iiiiiiP AP AP BPAP AP CPAP A 解：设解：设A=“订阅订阅A报报”，B=“订阅订阅B报报” C=“只订只订1种报纸种报纸”,则则例例5 某城市中发行某城市中发行2种报纸种报纸A,B.经调查，在这经调查，在这2种种报纸的订户中，订阅报纸的订户中，订阅A报的有报的有45%，订阅，订阅B报的报的有有35%。同时订阅。同时订阅2种报纸种报纸A,B的有的有10%,求只订求只订1种报纸的概率种报纸的概率 。CABBAABBAABBA() () ( )() ()()()( )()( )()0.450.10.350.10.6P CPABBAP AABP BABP AP ABP BP AB 由加法公式及减法公式有由加法公式及减法公式有).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 则则且且为为两两个个事事件件设设1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n2.