函数及其特性1

1、1 一、区间二、函数的定义 三、函数的几种特性 四、复合函数和反函数 五、初等函数第一节第一节 函数及其特性函数及其特性集合、映射集合、映射( (自己复习自己复习) )第一章第一章 函数函数2.,baRba 且且( , )a bx axb , a bx axboxaboxab一、一、 区间区间开区间开区间闭区间闭区间函数函数3bxax , )a b ),xaxa ),(bxxb oxaoxb以上均为以上均为有限区间有限区间，还有如下还有如下无限区间无限区间半开半闭区间半开半闭区间bxax ( , a b 函数函数4因变量因变量自变量自变量.),()(ffDxxfyyXfR ,xD)(xfy 二

2、、函数的概念D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df ，即，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：1.定义：函数函数若若D是一个非空实数集合，设有一个对应规是一个非空实数集合，设有一个对应规则则f，使每一个，使每一个都有一个确定的实数都有一个确定的实数y与之对应，则称这个对应规则与之对应，则称这个对应规则f为定义在为定义在D上上的一个的一个函数关系函数关系，或称变量，或称变量y是变量是变量x的函数，的函数，记作记作5例例1 1 讨论下列变量之间是否构成函数关系，其讨论下列变量之间是否构成函数关系，其中中1234(1)2341xy解：解：

3、函数函数1,2,3,4D 1234(2)2342xy1231(3)2341xy123(4)234xy(1) 是；是；(2) 是；是；(3) 不是，因为自变量不是，因为自变量1对应对应2个函数值；个函数值；(4) 不是，因为自变量的不是，因为自变量的4无对应值；无对应值；6()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值的一切实数值.函数函数例例2 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同12212(1)1,;

4、(2),;xyyxyx yx01062xxx 所求函数的定义域是所求函数的定义域是), 3 10)2)(3(xxx 解：解：求定义域就是求使函数有意义的自变量的取值集合求定义域就是求使函数有意义的自变量的取值集合函数函数8定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值值函数，否则叫做多值函数函数222ayx 例例如如，是多值函数是多值函数 函数函数公式法

5、公式法、表格法、图像法表格法、图像法221gts 自由落体自由落体价格（元）价格（元）234567销售量（件）销售量（件） 1200 1100980950900800销售量销售量3 3、函数的表示法、函数的表示法函数函数图像法图像法如气温如气温T与时间与时间t的关系：气温变化曲线的关系：气温变化曲线12200t/T C24函数函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy 0,0,|xxxxxyoxy定义域定义域

6、R值域值域), 0 1.4 分段函数分段函数函数函数12例例4 41,10( ),e1,02xxxf xx 设设解解21 :)(，的的定定义义域域为为 xf110) 0( f.)()1()0(的的定定义义域域及及、求求xfff1(1)e1e 1f 函数函数设函数设函数)(xf在区间在区间I上有定义，对于任意上有定义，对于任意的的Ix，若都有，若都有 yx)( xf )(xfy ox-x)(xfy)( xf x)(xfox-x)(xfy )( xf = =)(xf，则称，则称)(xf为奇函数为奇函数 1、奇偶性、奇偶性)( xf = =)(xf，则称，则称)(xf为偶函数为偶函数 三、函数的几种

7、特性三、函数的几种特性函数函数解：解：62(1)()2()3()1fxxx 62231( )xxf x 是偶函数。)(xf函数函数2(2)()2()5xfxx2( )25( )xf xxf xf(x)既不是奇函数也不是偶函数。()1(3)()()2xxfxee 11()()( )22xxxxeeeef xf(x)是奇函数。函数函数设设)(xf在区间在区间I上有定义，若存在上有定义，若存在0T, ,使得对使得对于任意于任意的的Ix, ,都有都有)()(xfTxf， 则称， 则称)(xf为周为周期函数，通常所说的周期是指期函数，通常所说的周期是指函数函数的最小正周期的最小正周期 2l 2l23l

8、23l2函数的周期性函数的周期性(periodicity):函数函数设函数设函数)(xf在某区间在某区间 I上有定义，任取上有定义，任取x1，Ix 2，当，当 21xx 时，若有时，若有 )()(21xfxf，则称则称)(xf在在I上单调减少上单调减少 x)(xfy )(1xf)(2xfyox1x2)(xfy )(1xf)(2xfxyox1x2)()(21xfxf)(xfI，则称，则称在在 上单调增加上单调增加3函数的单调性函数的单调性(monotonicity):函数函数设函数设函数)(xf在某区间在某区间 I上有定义，若存在正数上有定义，若存在正数 M，使得使得Mxf)(，则称则称)(xf

9、在在 I上有界上有界. .否则否则称称无界无界. M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x4函数的有界性函数的有界性(bounded):函数函数如正弦函数如正弦函数 xysin xysin 1sinx 说明说明xoyxy1函数有界需要注意区间范围函数有界需要注意区间范围如：如：xy1在在), 1 上有界上有界，在，在) 1 , 0(上无界上无界 函数函数20四、四、 复合函数和反函数复合函数和反函数1、复合函数、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自变量自变量x,中中间间变变量量u.因变量因变量y)(ufy 1D设函数设函数的定义域的定义域, 而函数而函

10、数)(xfy x为为的的复合函数复合函数.1DD 且（ ），则称函数则称函数)(xu 在在上有定义，上有定义，D函数函数21注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,yu 例例如如22;ux 22yx 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.ln,2xy 例例如如,uy ln ,uv.2xv 函数函数222(1)ln2 1yx 1(2)lg(5)yfxx例例6 6分析以下复合函数复合的层次分析以下复合函数复合的层次.解解2(1)ln2 1yx 是由是由lnyu 和和2uv 以及以及21

11、vx三个简单函数复合而成三个简单函数复合而成.函数函数23是由是由( )yf u 和和lguv 以及以及15vxx复合而成复合而成.1(2)lg(5)yfxx1lg(5)yfxx函数函数24练习练习 分析以下复合函数复合的层次分析以下复合函数复合的层次. 32ln 2 3221(1 2 )2()34lnlnln(5)()(6) ( )xxyxyeyeyxyf xyf x3,1 2yuux ln,ln,lnyu uv vx,ln,23uyeuv vx2,xyuue函数函数2( ) ,yf uux2,( )yuuf x25( )yf x xyo),(abQ),(baP1( )( )xxyf 但直接

12、函数但直接函数 y = f (x)与与 在同一直角在同一直角1( )xfy 坐标系中是同一曲线坐标系中是同一曲线.-3-2-1123-3-2-1123arcsinyx sinyx 2 反函数反函数在同一直角坐标系中，直接在同一直角坐标系中，直接函数函数 y = f (x) 与与反函数反函数 y = (x)的图形关于直线的图形关于直线 y = x 对称对称.函数函数例例7 求求y=3x-1的反函数。的反函数。解：解： y=3x-1 x、y互换得互换得y= f -1(x) = (x+1)/3为反函数为反函数。 x=(y+1)/3= f -1(y)y=(x+1)/3y=3x-1函数函数27初等函数是

13、由初等函数是由基本初等函数基本初等函数经有限次加、减、乘、经有限次加、减、乘、除、乘方、开方和有限次复合运算所得的用一个除、乘方、开方和有限次复合运算所得的用一个式子表示的函数。式子表示的函数。以下通过几何直观复习基本初等函数的以下通过几何直观复习基本初等函数的有界性有界性、单调性单调性、奇偶性奇偶性和和周期性周期性.(1) 常值函数常值函数 yC -3-2-1123246810 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.五、初等函数五、初等函数函数函数28（2）幂函数）幂函数-很重要很重要)( 是是常常数数

14、 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 函数函数29xay xay)1( )1( a)1 , 0( (01)xyaaa且（3） 指数函数指数函数 -注意与幂函数区别注意与幂函数区别01;0.eee 函数函数30（4） 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (logarithmic function)ln10;ln1;ln;ln0.e 函数函数31正弦函数正弦函数xysin xysin （5） 三角函数三角函数sin00;sin1;2sinsin1.xx有界：函数函数32xycos xycos 余弦函数余

15、弦函数cos01;cos0;2coscos1.xx有界：函数函数33正切函数正切函数xytan xytan 函数函数34xycot 余切函数余切函数xycot 函数函数35初等函数初等函数 常量函数、幂函数常量函数、幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三三角函数和反三角函数统称为角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为一个式子表示的函数，称为初等函数初等函数.函数函数36思考题思考题分段函数一定不是初等函数吗？分段函数一定不是初等函数吗？解答解答不一定不一定考察函