高等数学同济件 微分方程总结PPT学习教案

1、会计学1高等数学同济件高等数学同济件 微分方程总结微分方程总结一、基本概念一、基本概念1.微分方程。微分方程。 2.微分方程的解。微分方程的解。3.微分方程的解、通解、特解。微分方程的解、通解、特解。4.初始条件、初值问题。初始条件、初值问题。5.微分方程的积分曲线。微分方程的积分曲线。第1页/共21页1. 可分离变量的方程：可分离变量的方程： 可化为可化为g(y)dy = f(x)dx解解法法 dxxfdyyg)()(二、一阶微分方程的解法二、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 2. 齐次方程：齐次方程：解法解法: 设设xyu 可化为可化为)(yxfdydx 解法解法: 设设yxu 第2页

2、/共21页)()(xqyxpdxdy 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(yqxypdydx 第3页/共21页)()()(Cdxexqeydxxpdxxp （1）通解为）通解为)()(xqyxpy （2）常数变异法）常数变异法（3）积分因子法）积分因子法第4页/共21页4. 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时，时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时，时，当当1 , 0 n,1 nyz 令令 化为一阶线性微分方程化为一阶线性微分方程.第5页/共21页三、可降阶

3、的高阶微分方程三、可降阶的高阶微分方程)( . 1)(xfyn 2. 不显含不显含x型的型的. 3. 不显含不显含y型的型的.第6页/共21页)1( 0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnnn)2( )()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 四、高阶线性微分方程四、高阶线性微分方程1. 解的结构解的结构定理定理1 如果函数如果函数 与与 是方程是方程(1)的两个解的两个解,)(1xy)(2xy那么那么 也是也是(1)的解的解.（ 是常数）是常数）2211yCyCy 21, CC第7页/共21页)1( 0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnn

4、n)2( )()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 定理定理3 设设y*是非齐次线性方程是非齐次线性方程(2)的特解，的特解， Y是齐次线性方程是齐次线性方程(1)的通解的通解, 则则 y=Y+y* 是非齐次线性方程是非齐次线性方程(2)的通解。的通解。第8页/共21页)3( )()()()(11)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn )4( )()()()(21)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 定理定理4 设设 分别是方程分别是方程(3)与与(4)的特解的特解,*2*1, yy则则 是方程是方程*2*1yy )()()()()(211)1(1)(xfx

5、fyxpyxpyxpynnnn 的特解。的特解。第9页/共21页定理定理2：若：若 与与 是方程是方程)(1xy)(2xy则则 就是方程就是方程(1)的通解的通解.2211yCyCy 的特解的特解, )1(0)()( yxqyxpy的两个线性无关的两个线性无关五、二阶常系数线性微分方程的解法五、二阶常系数线性微分方程的解法第10页/共21页2.以以 为一个特解的二阶常系数齐次为一个特解的二阶常系数齐次一、填空题一、填空题1.曲线族曲线族 所满足的一阶微分方程是所满足的一阶微分方程是_yyx2 2Cxy xxey23 微分方程为微分方程为_3.微分方程微分方程1222 ydxyd的通解为的通解为

6、_4.当当n满足满足 _时，时，nyxQyxPy)()( 为贝努利方程为贝努利方程。综合练习综合练习5.微分方程微分方程0)(2)(4)(3 xyxyxy的通解为的通解为_第11页/共21页的一个特解形式是的一个特解形式是_。1.微分方程微分方程0)2(22 dxydyyxyx（A）可分离变量的方程）可分离变量的方程 （B）线性方程）线性方程（C）伯努利方程）伯努利方程 （D）齐次方程）齐次方程是（是（ ）二、选择题二、选择题B2. 微分方程微分方程xxeyyy265 ) )( () )( (CBxAeAx 2 xeBAxB2( ) ) )( ( xeBAxxC22( ) ) )( ( xeB

7、AxxD2( ) ) )( ( D第12页/共21页 3.函数函数y=Cx与微分方程与微分方程122 dxdydxydx（A） 是通解是通解 (B) 是特解是特解 的关系为的关系为_。C（C）是解但即不是通解也不是特解）是解但即不是通解也不是特解 (D)不是解不是解 4.方程方程 的一个特解具有形式的一个特解具有形式( ) xxyy2cossin xcxbxayA2coscossin)(* xcxbxaxyB2cos)cossin()(* xcxbxayC2sin2cossin)(* xbxxaxyD2cossin)(* B第13页/共21页三、试解下列各题三、试解下列各题1.求微分方程求微分

8、方程dxdyydxdyxy 2满足满足y(0)=2的特解的特解. 2.求微分方程求微分方程034 yyy使其在点使其在点(0,2)与直线与直线x-y+2=0相切相切. 的积分曲线方程的积分曲线方程,第14页/共21页证明若证明若f(x)在某不同两点处的函数值为在某不同两点处的函数值为0，0)()()( xfxfxf四、设四、设f(x)是二阶可微函数，且是二阶可微函数，且则则f(x)在该两点之间恒为零。在该两点之间恒为零。 0)()(,2121 xfxfxx使使设设)( 0)()()(21xxxxfxfxf 012 rr)51(212, 1 r第15页/共21页xrxreCeCxf2121)(

9、故故0)()(21 xfxf0121121 xrxreCeC0222121 xrxreCeC021 CC故故f(x)=0第16页/共21页1.求通过点求通过点 (1,2)的曲线方程，使此曲线在的曲线方程，使此曲线在 1,x上所形成的曲边梯形面积的值是此曲线段终点的上所形成的曲边梯形面积的值是此曲线段终点的横坐标横坐标 x 与纵坐标与纵坐标 y 乘积的二倍减去乘积的二倍减去4五、应用题：五、应用题：解解 设所求曲线为设所求曲线为y=f(x)由题意由题意, 42)(1 xxydttf,22)(yyxxf ,22yyxy , 02 yyx, 21 xy 第17页/共21页2. 求通过点求通过点(1,

10、1)的曲线方程，使此曲线上任意的曲线方程，使此曲线上任意点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点法线点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点法线在在x轴上截距乘积的二倍。轴上截距乘积的二倍。解解 设所求曲线为设所求曲线为y=f(x)在点在点(x,y)处的法线斜率：处的法线斜率：,1y 法线方程：法线方程：),(1xXyyY 法线在法线在x轴上截距轴上截距：,xyyX ,)(222yxxyyx , 11 xy 第18页/共21页3.有一弹性系数为有一弹性系数为k=8(千克千克/米）的弹簧，其上端米）的弹簧，其上端固定，下端挂一重固定，下端挂一重19.6千克的物体，达到平衡位千克的物体，达到平衡位置，现使物体受一向下的外力置，现使物体受一向下的外力F(t)=16cos4t(千克千克）求物体在任一时刻的位移和速度（假设物体有向上求物体在任一时刻的位移和速度（假设物体有向上的初速度的初速度2米米/秒，且阻尼力忽略不计）秒，且阻尼力忽