第三章 信号与系统的频域分析

1、第三章第三章 信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析l 信号分解为正交函数信号分解为正交函数l 连续周期信号的傅里叶级数连续周期信号的傅里叶级数l 连续周期信号的频谱和功率谱连续周期信号的频谱和功率谱l 连续非周期信号的频谱连续非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换l 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质l LTILTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析l LTILTI连续系统的频率响应连续系统的频率响应l 取样定理取样定理3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量表示为正交矢量集一、矢量表示为正交矢量集1 1、正交完备的概念、正交完备的概念正交矢量图正交矢量图2V1V021V

2、V若：若：称两矢量彼此称两矢量彼此正交正交；称：称：正交正交完备完备如果没有第三个矢量如果没有第三个矢量V V3 3存在，使存在，使031VV032VV 彼此彼此正交的正交的两矢量构成二维矢量集：两矢量构成二维矢量集：若二维矢量集若二维矢量集正交完备，则任意矢量正交完备，则任意矢量 可表示为可表示为 ： 12,VV V2211VCVCV1121VVCV 2222VVVC11VC22VC1V2VV2 2、高维矢量空间、高维矢量空间则该空间的任一矢量可以用以下线性组合来精确地描述则该空间的任一矢量可以用以下线性组合来精确地描述:nrVVVVV,.,.,321若若n维矢量空间的正交矢量集维矢量空间的

3、正交矢量集是完备的，是完备的，n1122rrnnrrr 1VC VC VC VC VC V 其中，相关系数：其中，相关系数：nr, 3 , 2 , 1二、信号表示为正交函数二、信号表示为正交函数两个函数两个函数g g1 1(t)(t)和和g g2 2(t)(t)在时间区间在时间区间(t(t1 1,t,t2 2) )内内正交条件正交条件：210)()(21ttdttgtg在时间区间在时间区间(t1，t2)内没有第三个函数内没有第三个函数x(t)存在，使：存在，使：210)()(1ttdttxtg210)()(2ttdttxtg函数函数g1(t)和和g2(t)构成的正交函数集构成的正交函数集)()

4、,(21tgtg是是正交完备正交完备的。的。1、正交函数集、正交函数集任意函数任意函数f(t)在区间在区间(t1，t2)内可完全用内可完全用g1(t)和和g2(t)的线性组合来表示的线性组合来表示 ：)()()(2211tgCtgCtf2121)()()(2111ttttdttgdttgtfC2121)()()(2222ttttdttgdttgtfC2 2、高维函数空间、高维函数空间若若n维函数空间的正交函数集维函数空间的正交函数集是完备的，即再也没有一个函数是完备的，即再也没有一个函数x(t)x(t)存在，使存在，使)(),(),(21tgtgtgn在时间区间在时间区间(t(t1 1,t,t

5、2 2) )内内则该函数空间的任一函数则该函数空间的任一函数f(t)可以用以下线性组合来精确地描述可以用以下线性组合来精确地描述: nrrrnntgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(21ttt210)()(ttrdttxtgnr,3 ,2, 1其中：其中：rttrttrttrrKdttgtfdttgdttgtfC212121)()()()()(2nr, 3 , 2 , 13.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数l 三角函数型的傅里叶级数三角函数型的傅里叶级数l 指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数l 微分冲激法求解傅氏系数（不讲）微分冲激法求解傅氏系数（不讲）一、三

6、角函数型的傅里叶级数一、三角函数型的傅里叶级数1 1、正弦余弦形式的傅氏级数、正弦余弦形式的傅氏级数l 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；l 在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；l 在一个周期内函数绝对可积，即：在一个周期内函数绝对可积，即：任意周期信号任意周期信号f(t)，如果满足，如果满足狄利赫利条件狄利赫利条件，即：即：注：一般周期信号注：一般周期信号都满足这些条件都满足这些条件( )00tTtf t dt f(t)可展开成完备的正交三角函数集线性组合的无穷级数：可展开成完备的正交三角函数集线性组合的无穷级数： 0000001,cost,co

7、s2tcosntsint,sin2tsinnt 0000001,cost,cos2tcosntsint,sin2tsinnt其中：其中：00tTn0t2af tnt dtT( ).cos. 00tTn0t2bf tnt dtT( ).sin. 余弦分量系数，是余弦分量系数，是n的偶函数的偶函数正弦分量系数，是正弦分量系数，是n的奇函数的奇函数T20a0, an, bn称为傅里叶系数称为傅里叶系数基波角频率基波角频率直流系数直流系数直流分量直流分量基波分量基波分量n =1n =1谐波分量谐波分量n 1n 1周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称

8、性简化傅立叶系数的求解利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解l 偶函数偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；l 奇函数奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；的傅立叶级数只含有正弦分量；l 奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数l 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数2、余弦形式的傅氏级数、余弦形式的傅氏级数其中，其中，为第为第n n次谐波的振幅次谐波的振幅)arctan(nnnab为第为第n n次谐波的初相角次谐波的初相角三角函数变换公式三角函

9、数变换公式001( )cos()2nnnAf tAntA0 = a022nnnbaA0001( )(cossin)2nnnaf tantbnt如图所示矩形脉冲信号，试求其两种形式的傅氏级数。如图所示矩形脉冲信号，试求其两种形式的傅氏级数。0AT2)(tf二、指数型傅里叶级数二、指数型傅里叶级数 在时间区间在时间区间(t(t0 0,t,t0 0+T)+T)内，基波角频率内，基波角频率 的的正交完备虚指数函数集正交完备虚指数函数集 ,000000jtj2tjntjtj2tjnt1 eeeeeeT20 对于周期为对于周期为T的周期信号的周期信号f(t)，在该时间区间内有定义时，可以由上述虚指，在该时

10、间区间内有定义时，可以由上述虚指数函数的数函数的线性组合线性组合来表示，即：来表示，即：0000011( )jtjntjtjntnnf tFFeFeF eF e其中：其中：（1）定义）定义傅立叶级数傅立叶级数反变换反变换IFST傅立叶级数傅立叶级数正变换正变换FST001( )TjntnFf t edtT00002211( )( )TT tjntjntTtf t edtf t edtTTnjnnFF ennjjnnnFFeF enn奇函数奇函数nnFF偶函数偶函数说明：说明：nF是傅氏复系数；是傅氏复系数；*nnFF总是成对出现总是成对出现 负频率的出现只是数学形式，实际并不存在负频率的出现只

11、是数学形式，实际并不存在 001( )TjntnFf t edtT0002cos()jntjntnnnnF eF eFnt(2) 与三角形式的傅氏级数的关系与三角形式的傅氏级数的关系2|2222*000nnnnnnnnnAFjbaFFjbaFAaF试求上题的指数形式的复氏级数试求上题的指数形式的复氏级数解：法解：法1 1 0012sinsin()2222nnnajbnnAAFnn法法20221( )TjntTnFf t edtT22sin2sin000nnTAnnA)2(0nSaTAtjnnenSaTAtf0)2()(03.3 连续周期信号的频谱和功率谱连续周期信号的频谱和功率谱一、周期信号的

12、频谱一、周期信号的频谱(1) 频谱频谱：信号各频率成份的信号各频率成份的振幅和相位振幅和相位随频率变化的规律，叫做随频率变化的规律，叫做频谱频谱。时域波形时域波形0n)(0nAn00843445470030507频谱波形频谱波形4434547( )coscoscoscos.8385878f ttttt4434547( )coscoscoscos.8385878f ttttt幅度频谱幅度频谱0nnA008434454700305074434547coscos()coscos().8385878tttt0nn00030507相位频谱相位频谱08（2）频谱图）频谱图：频谱的图示；：频谱的图示；（3）

13、幅度频谱）幅度频谱：周期信号各频率成份的振幅：周期信号各频率成份的振幅|Fn|（或（或An)随频率随频率n 0分布的规律的示意图分布的规律的示意图;（3）相位频谱：）相位频谱：周期信号各频率成份的相位周期信号各频率成份的相位 n 或或 n随频率随频率n 0分布分布的规律的示意图。的规律的示意图。1、三角频谱（单边频谱）、三角频谱（单边频谱）余弦形式的傅氏级数余弦形式的傅氏级数其中：其中：第第n n次谐波的振幅次谐波的振幅arctan()nnnba第第n n次谐波的初相角次谐波的初相角22nnnbaA三角频谱：三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅余弦形式的傅氏级数的振幅An随随n 0变化的规律，称

14、为变化的规律，称为振幅频振幅频谱谱，习惯上简称频谱；相位，习惯上简称频谱；相位 n随随n 0变化的规律，称为变化的规律，称为相位频谱相位频谱。三角傅氏级数总有三角傅氏级数总有 ,谱线只出现在谱线只出现在n 0An或者或者n 0 n平平面的右半平面，故称作面的右半平面，故称作单边频谱单边频谱。0n001( )cos()2nnnAf tAnt解：解：由前面例可知该信号仅含由前面例可知该信号仅含a0和和an项项 2sin20nnAan0nb求下列矩形脉冲序列信号的频谱，并绘频谱图。求下列矩形脉冲序列信号的频谱，并绘频谱图。000011( )cos()cos()22nnnaAf tantAntn=n=

15、0022| |sin| |()|22nnnnAAAaSanT 02T0n024n0单边相位频谱单边相位频谱00n00AA2T nA24单边幅度频谱单边幅度频谱02AaT 单边频谱的特点单边频谱的特点l 离散性：离散性：谱线是不连续的。谱线是不连续的。l 谐波性：谐波性：谱线只出现在基波频率谱线只出现在基波频率 0和它的整数倍谐波频率和它的整数倍谐波频率n 0 上。上。l 收敛性：收敛性：振幅频谱振幅频谱 An 的高度随着谐波次数的增大逐渐衰减，即的高度随着谐波次数的增大逐渐衰减，即nnlimA = 0（2 2）指数频谱（双边频谱）指数频谱（双边频谱）ntjnneFtf0)(dtetfTFtjn

16、TTn022)(1, 3,2, 1,0n*nnFFnn奇函数奇函数22212nnnnnbaAFF偶函数偶函数指数形式的傅氏级数指数形式的傅氏级数 指数频谱：指数频谱：傅氏复系数傅氏复系数 随随 n 0 变化的规律变化的规律nFnnFFnnjjnnF eFe00022AaF l 振幅频谱振幅频谱 对称于纵轴；对称于纵轴；l 相位频谱相位频谱 对称于原点；对称于原点；l 除除F0 =A0/2 外，外， 的谱线长度是的谱线长度是 的谱线长度的一半。的谱线长度的一半。l 由于由于 n 0 的取值范围是的取值范围是 全频域，因此无论是振幅频谱全频域，因此无论是振幅频谱还是相位频谱都还是相位频谱都对称地对

17、称地分布在纵轴的两边故称为分布在纵轴的两边故称为双边频谱双边频谱。nFn nnFnA(-(-,) )总结：总结：求上例周期矩形脉冲信号的指数频谱，并绘频谱图。求上例周期矩形脉冲信号的指数频谱，并绘频谱图。解：解：00nn n 12AAFSa() =Sa()2T2T2 0nn AF =Sa()T2nn0nF0n00F0 02|()|2nnAASaT 00AF = 0T 双边幅度频谱双边幅度频谱00n0AT nF2400n00AA2T nA24单边幅度频谱单边幅度频谱02AaT 0n024n0单边相位频谱单边相位频谱0n024n0双边相位频谱双边相位频谱双边频谱的特点双边频谱的特点离散性、谐波性、

18、离散性、谐波性、收敛性收敛性有效频带宽度有效频带宽度 B = 2/脉宽脉宽 、周期、周期T T对频谱的影响对频谱的影响: :2TAF0Tk0 ， 内的谱线间隔数内的谱线间隔数:谱线数谱线数: :1 km 各谱线高度各谱线高度不变不变内谱线增多内谱线增多T T不变不变T T各谱线高度各谱线高度不变不变内谱线增多内谱线增多 不变不变二、周期信号的平均功率和功率谱二、周期信号的平均功率和功率谱1、周期信号的平均功率、周期信号的平均功率100)cos(2)(nnntnAAtf21002)cos(2)()(nnntnAAtftp瞬时功率：瞬时功率：平均功率：平均功率：结论结论：周期信号总的平均功率为各次

19、谐波分量平均功率的和。周期信号总的平均功率为各次谐波分量平均功率的和。20000111( )cos()2TTnnnAPp t dtAntdtTT22001122nnnnAAPP2、Parseval定理定理周期信号的平均功率可以在频域中周期信号的平均功率可以在频域中由傅氏复系数由傅氏复系数Fn确定。确定。020011( )( )TTjntnnPft dtf tF edtTT00*0011( )( )TTjntjntnnnnFf t edtFf t edtTT2*nnnnnF FF22220011( )22TnnnnAAPft dtFT周期信号的帕塞瓦尔定理周期信号的帕塞瓦尔定理222222nnn

20、AAF3 3、周期信号的周期信号的功率谱功率谱 Pn n 0 （或（或 n 0）的关系）的关系双边功率频谱双边功率频谱单边功率频谱单边功率频谱周期信号的周期信号的功率谱的用途功率谱的用途l 可以直观的看出频率中各平均功率分量随频率的可以直观的看出频率中各平均功率分量随频率的分布情况分布情况：l 可以确定有效频带宽度（可以确定有效频带宽度（B）内谐波分量的平均功率占整个周期信号）内谐波分量的平均功率占整个周期信号P P的平的平均功率之比；均功率之比；例题：例题：3 36 63. 4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶变换傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换fT

21、1(t)tT1-T102fT2(t)tT2-T202f (t)tT - -T0当当T时周期信号演绎为非周期信号，即时周期信号演绎为非周期信号，即)()(limtftfTT信号的频谱发生如下变化：信号的频谱发生如下变化：l 0 变为微元分量变为微元分量 d ,即即 ，无限地趋于零，离散性不，无限地趋于零，离散性不再存在，频谱由再存在，频谱由线谱变成面谱线谱变成面谱。 0Tdlim l n 0 变为连续的角频率变为连续的角频率 , 即即 0Tnlim l Fn 趋于零趋于零, 即频谱图消失。非周期信号的频谱图无法按即频谱图消失。非周期信号的频谱图无法按FnFn绘出。绘出。为了用图形描述非周期信号的

22、频谱，引出频谱为了用图形描述非周期信号的频谱，引出频谱密度函数密度函数的概念。的概念。1 1、频谱密度函数、频谱密度函数（单位频带上（单位频带上FnFn的分布情况）的分布情况）定义：定义：式中：式中：0221( )TjntTnTFft edtTT T时周期信号演时周期信号演绎为非周期信号绎为非周期信号n 0 变为连续变为连续的角频率的角频率 0limlim()nnfTFTFF jf 0221lim( )TjntTTTTft edtT( )j tf t edt反之：反之：0jn tTnTTn=-f(t) =f (t) =F elimlim故：故：0jn tTn=-1=F(j)e2limjt-1=

23、F(j)ed2dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)(傅氏正变换傅氏正变换傅氏反变换傅氏反变换也可用双箭头符号表示：也可用双箭头符号表示：f (t )F( j) f (t) = F-1 F(j ) =IFTF(j )f (t )F() 傅立叶变换（傅立叶变换（FTFT）对：）对：F(j ) = FT f(t) = F f(t) 矩形脉冲信号如图所示，求其矩形脉冲信号如图所示，求其F(j )。2( )( )02Atf tAgtt解：解：)()(2222jjtjeejAejAdtAedtetfjFtjtj22)()(0A22)(tft)2(2)2sin(SaAA)2()()()(Sa

24、AjFtAgtfF( j)A Sa()2 )(jF0AF)0(2)(02)(jF0AF)0(2面频谱，为表示面频谱，为表示方便，取其包络方便，取其包络幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱2、非周期信号频谱、非周期信号频谱F(j)特性特性（1）傅氏变换存在的条件）傅氏变换存在的条件信号信号f(t)在全时域（在全时域（，）满足满足狄利赫利条件狄利赫利条件，即，即 有限个间断点；有限个间断点； 有限个极值点；有限个极值点； f (t)绝对可积，即：绝对可积，即：（M为有限值）为有限值）f(t )dtM 注意：注意：狄氏条件是狄氏条件是充分条件充分条件而不是而不是必要条件必要条件，有些不满足该条件的信号仍

25、可，有些不满足该条件的信号仍可求傅氏变换，但不能从定义积分式求得，只能采用其它方法。求傅氏变换，但不能从定义积分式求得，只能采用其它方法。（2）F(j )频谱图的特点频谱图的特点 是面状谱而非离散谱。是面状谱而非离散谱。 具收敛性具收敛性： |F(j )| = | F(j ) |为偶函数，为偶函数，幅度谱幅度谱关于纵轴对称。关于纵轴对称。 ( ) = ( )为奇函数，为奇函数，相位谱相位谱关于原点对称。关于原点对称。F j0lim () （3 3）傅里叶系数与傅里叶变换的关系）傅里叶系数与傅里叶变换的关系()lim0nnnTF jTFTF 01()nnFFjT非周期信号频谱非周期信号频谱F(j

26、 )与周期信号频谱与周期信号频谱Fn之间的关系：之间的关系：二、非周期信号频谱的物理意义及其特性二、非周期信号频谱的物理意义及其特性1、物理意义、物理意义()11( )()()22jtj tf tF jedF jed 的奇函数的奇函数11() cos( )() sin( )22F jtdjF jtd 01( )() cos( )f tF jtd 的偶函数的偶函数 非周期信号可看作是由不同频率（从零到无限大）的余弦非周期信号可看作是由不同频率（从零到无限大）的余弦“分量分量”所组成；所组成； 为一个等幅振荡信号；为一个等幅振荡信号； 信号信号f(t) 是这些等幅震荡信号在是这些等幅震荡信号在全频

27、域的叠加全频域的叠加；()cos( )F jdt 2、非周期信号的奇偶性对、非周期信号的奇偶性对F(j )的影响的影响 (3) f (t)为非奇非偶的实函数为非奇非偶的实函数)()()(tftftfoe()( )( )F jRjX(2) f (t) 为实奇函数为实奇函数 (1) f (t)为实偶函数为实偶函数 0F(j)=f(t)costdt - jf(t)sintdt = 2f(t)costdt为实偶函数为实偶函数为纯虚奇函数为纯虚奇函数)()(*jFjF*() ()FjFT ft三、能量谱和功率谱三、能量谱和功率谱1 1、非周期信号的能量公式（、非周期信号的能量公式（ ParsevalPa

28、rseval定理）定理）*11()( )()( )22j tj tF jf t edt dF jf t edt d=221( )()2ft dtF jdE =信号在频域信号在频域中的总能量中的总能量信号在时域中的总能量信号在时域中的总能量2、能量谱（能量信号，能量谱密度）、能量谱（能量信号，能量谱密度）能量谱密度：能量谱密度：单位频带内的能量，记作单位频带内的能量，记作 Ef( )，单位：，单位：焦耳焦耳/赫兹赫兹。ddEEfEEff22)(limlim00dEdEEf)(21)(总MdjFE2(21）比较比较2()(）jFEfEf( ) 反映了信号的能量在频域的分布情况，它只与反映了信号的能

29、量在频域的分布情况，它只与信号振幅频谱信号振幅频谱的平方有关与的平方有关与 相位频谱无关相位频谱无关。1( )2fdEEd 3 3、功率谱、功率谱( (针对功率信号针对功率信号) )对信号对信号f(t)进行截取，得到时限信号进行截取，得到时限信号f(t)f(t) 是时限信号，是时限信号，其能量其能量 E为有限值为有限值能量能量信号信号定义功率密度函数，简称功率谱定义功率密度函数，简称功率谱ddPPfPPff22)(limlim00dPdPPf)(21)(djFP2(lim21）比较比较 功率谱功率谱 Pf( ) 反映了信号的平均功率在频域的分布情况，反映了信号的平均功率在频域的分布情况，与与相

30、相位频谱无关位频谱无关。1( )2fdPPd 周期信号的功率密度函数周期信号的功率密度函数dnFFPnnnn)(|022dPPf)(21比较比较dnFnn)(|02周期信号周期信号的功率谱的功率谱总结：总结：1、周期信号、周期信号Parseval定理定理:2 2、非周期信号、非周期信号Parseval定理定理:能量谱能量谱: :功率谱功率谱: :2( )(fEF j）2( )limfF jP）功率谱：功率谱：2222011( )()|22nnTnnAAPft dtFT四、典型信号的傅氏变换四、典型信号的傅氏变换1、矩形脉冲信号（门函数）、矩形脉冲信号（门函数）A( t)2f ( t )Ag (

31、 t )0( t)2 )2()(SaAjF)(jF0AF)0(20A22)(tft2、正三角脉冲信号、正三角脉冲信号2tA(1)tf(t )A(t )0t 0t)(tfA2F( j)A Sa ()2)(jF0AF)0(23、单边实指数信号、单边实指数信号( )( )()tf tet0 jjF1)()()(tUetftt014、双边指数信号、双边指数信号tttet0f ( t )e0et0 tetf)(t01dteedteejFtjttjt00)(jj1122202)(jF5、冲激信号、冲激信号f(t)(t)F( j ) 1 j tF( j)(t )edt(t )dt1 ) 1 ()(tt001

32、)(jF均匀谱均匀谱6、单位直流信号、单位直流信号f t1F j2( )()( ) ( )limt0f te1 ()limlimt2200002F je0 F F22222dd()2arctan()21() )(tft01)2(0)(jF7、符号函数、符号函数1t0f(t )Sgn(t )1t0 2F jj() tt0et0Sgn tet0 ( )lim0tj ttj t00F je edteedt ()lim0112jjj lim()()2F j 0202( ) )(tSgnt0110)(220)(jF8、单位阶跃信号、单位阶跃信号 ( )( )( )1f tt1Sgn t2 ( ) tt0

33、10)(220)(jF( )9、高斯脉冲信号、高斯脉冲信号)()(2)(tAetft2)2()(eAjF0A)(tft0)(jFA时域波形和频谱形状相同时域波形和频谱形状相同3. 5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性1、齐次性、齐次性3、线性性质、线性性质)()()()(2211jFtfjFtf)()()()(2121jbFjaFtbftaf2、叠加性、叠加性)()(jFtf)()(jaFtaf)()()()(2211jFtfjFtf)()()()(2121jFjFtftf利用线性性质求符号函数的傅氏变换利用线性性质求符号函数的傅氏变换解：解：( )2 ( ) 1Sgn ttj

34、jtSgn2)(22)(2)(jjtSgn2)(22)(2)(二、对称性二、对称性( )()f tF j()2()F jtf求：求：1?2( ) 提示：提示：Ag (t )A Sa()2 求：求：?)(tSa提示：提示：22A(t )A Sa ()2 求：求：22(3 )?Sat2( )g122( )32(1)63606三、尺度压扩性质（反比性）三、尺度压扩性质（反比性）( )()f tF j1f(at)F( j)aa 若若 ，则，则 f (at)的的波形波形为为 f (t) 的波形的波形沿沿t轴压缩轴压缩了了a倍倍；其相应的其相应的 的波形的波形为为 F( ) 的波形的波形沿沿 轴轴扩展了扩

35、展了a倍倍。1F ( j)aa f(t)F( ) tf()a F( ja )a 解：解：1Af(2t )F( j)Sa()2224 f(t )Ag (t ) 已知：已知：求：求：f(2t) 和和 f(t/2) 的傅氏变换。的傅氏变换。t2f()2 F( j2 )2A Sa()222A Sa() t2f()2F( j2 ) 2A Sa()222A Sa() 2_2_-f(t)A0t2 _AF(j)0f(2t)_4A_4-0t4 _A20F(j/2)21_t0_A0tf(t/2)2A_02F(j2)四、时延性质（时移性）四、时延性质（时移性）)()(jFtf0)()(0tjejFttf推论：推论：

36、1()()bjaf atbF jeaa试求试求?)(0tt试求试求23(42 )?gt信号在时域延时，其信号在时域延时，其频谱所有的频率分量频谱所有的频率分量均延时均延时同一个时间同一个时间五、频移性质五、频移性质 从频域角度看，信号从频域角度看，信号 f(t) 在时域乘以虚指数在时域乘以虚指数 以后，相当以后，相当于其于其 F(j )沿沿 轴向左出现了轴向左出现了 0的位移，反之亦然。的位移，反之亦然。tje0)()(jFtf)()(00jFetftj)(21求：求：?0tje0?jte00?jtjtee00?jtjtee000cos ()()t 00000sin ()() ()()tjj

37、- 0()F(j ) 0()- 0 0(-j)F(j ) 0(j)- 0余弦信号的频谱余弦信号的频谱正弦信号的频谱正弦信号的频谱(1) 调制原理调制原理 在通信技术中，在通信技术中，频移性质的典型应用就是频移性质的典型应用就是调制原理调制原理。调制过。调制过程如图所示，程如图所示，调制信号调制信号f(t)与与载波信号载波信号（或称被调制信号）（或称被调制信号）cos 0t或或sin 0t同时输入乘法器得到信号同时输入乘法器得到信号f(t)cos 0t或或f(t)sin 0t ,这个过程这个过程叫做叫做振幅调制振幅调制。ttf0cos)()(tft0cos若：若：)()(jFtf000( )co

38、s( )2jtjteef ttf t0001f (t )costF( jj)F( jj)2000jf (t )sintF( jj)F( jj)2000( )sin( )2jtjteef ttf tj例：例：ttgtf0cos)()(00a()()( )SaSa222F (2) 周期信号的傅氏变换周期信号的傅氏变换周期信号：周期信号：nTnTtftf)()(1指数形式的傅氏级数：指数形式的傅氏级数：002( )jntTnnftF eT傅氏变换为：傅氏变换为：Tn0nF ( j)2Fn) （00( )jntjntTnnnnFT ftFTF eF FT e0t)(tfATT解：解：nTnTtAtf)

39、()(20201()()2nnnnAFSaFF jTT 注：求周期性三角脉冲序列的傅式变换求周期性三角脉冲序列的傅式变换0()2)nnF jFn （)2(2002nnSaTAn（)2(0020nnSaAn（0240A0F( j) 用用FT分析周期信号的频谱，具有两个显著的特点分析周期信号的频谱，具有两个显著的特点 ：（1）是冲激）是冲激序列；（序列；（2）具有离散性和谐波性。）具有离散性和谐波性。2000nnF( j)ASa ()n)2 （(3) 单位冲击序列信号单位冲击序列信号 T(t) 的傅氏变换的傅氏变换nTnTtt)()()1()(tTt0)1()1()1()1(TT其指数形式的傅氏级

40、数为：其指数形式的傅氏级数为：0( )2)TnnFtFn （)120nTn（0002)nnnnT （)(0002211( )TjntTnTFt edtTT0( )jntTnntFe0)(0)(0000T000n(t )n)() （F F六、卷积定理六、卷积定理1 1、时域卷积定理、时域卷积定理)()()()(2211jFtfjFtf若：若：则：则：)()()(2121jFjFtftf）（2 2、频域卷积定理、频域卷积定理)()()()(2211jFtfjFtf若：若：)()(21)(2121jFjFtftf）（则：则：（1）时域卷积定理）时域卷积定理常用于分析线性时不变系统的零状态响应。常用于

41、分析线性时不变系统的零状态响应。)()()(),()()(21jHthtfjXtxtf3 3、卷积定理的应用、卷积定理的应用例题：例题：P180 3.27( )( )* ( )()() ()zszsy tx th tYjX jH j（2）频域卷积定理）频域卷积定理常用于分析常用于分析调制与解调调制与解调问题，解调就是将调问题，解调就是将调制过的信号恢复到原信号，解调的原理框图如下：制过的信号恢复到原信号，解调的原理框图如下：Ptccostccos)(tf低通滤低通滤波器波器)(tf)(jF)(1jF)(2jF一次调制：一次调制：二次调制（解调）二次调制（解调）:tttfcccoscos)(11

42、()()22ccccF jjF jj （1(2)()()(2)4ccF jjF jF jF jj11()(2)(2)24ccF jF jjF jj1( )cos()2cccf ttF j （1()()2ccF jjF jj调调制制解解调调滤滤波波21f (t)t02_2_-H(0)=22频分复用原理频分复用原理用频谱搬移的方法使不同信号占据不用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频谱范围同的频谱范围频分复用（频分复用（FDMA）三路信号调制三路信号调制频分复用的特点：频分复用的特点： 独占频段，共享时间。独占频段，共享时间。 三路信号解调三路信号解调七、时域微分性质七、时域微分性质)()(jFt

43、f)()()(jFjdttdftf)()()()(222jFjdttfdtf )()()()()(jFjdttfdtfnnnn同理同理1()tj （ ）1( )( )01jttjjj （ ）?t（）?t（）tj（）八、时域积分性质八、时域积分性质)()(jFtfjjFFdftft)()()0()()()1( 1)( 1)0(0)()|( )( )()FF jfdff ( 1)( )( )*( )( )* ( )ftf ttf tt(-1)证明：证明：( 1)1()( )()( )(0) ( )F jFT ftF jFjj 时域卷积定理时域卷积定理（卷积的积分性）（卷积的积分性）利用时域积分性质

44、求信号的频谱利用时域积分性质求信号的频谱)()( 1jFtf)()()(ftfdft)()()(|)()0(01ffdttfdtetfFtjjjFffjF)()()()()(1)()(2)()()()0(11fjFjjFF时域积时域积分性分性)()(2)()()()()(1fjFjjFffkkjjFffjF)()()()()()()()()(jFtfkk以此以此类推类推(1) 当当f(t)为能量信号（有始有终），为能量信号（有始有终），f()= f(-)=0kkjjFffjF)()()()()()()()()(jFtfkk易得易得易得易得kkjjFjF)()()(2) (2) 当当f(t)f(

45、t)为功率信号，为功率信号，f(f(）0，f(-) f(-) 0kkjjFffjF)()()()()()(3) (3) 当当f(t)f(t)为非功非能信号，不能使用该公式为非功非能信号，不能使用该公式K次求导，得次求导，得到冲激信号到冲激信号例：例：利用时域积分性质求三角脉冲的傅氏变换。利用时域积分性质求三角脉冲的傅氏变换。0t)(tf10t)(tf )1()1(0t)(tf 1() )2(1() 例：例：利用时域积分性质求符号函数的傅氏变换。利用时域积分性质求符号函数的傅氏变换。10t)(tf10t)(tf(2)九、频域微分性质九、频域微分性质f (t )F( j) 若若则则dF( jtf

46、(t )jd ）推论推论nnnd F( j( jt) f(t)d ）(2 )?tft 例题：设例题：设( )()f tFj求：求：( )?tft 十、频域积分性质十、频域积分性质)()(jFtf若若则则dFttfjtf)()()()0(总结：常用信号的总结：常用信号的FT和和FT的性质的性质)()(tAgtf)2()(SaAjF)()(2tAtf)2()(2SaAjF)()(tetftjjF1)()sgn()(ttfjjF2)()()(ttf1)(jF1)( tf)(2)(jF| |)(tetf222)(jF)()(ttfjjF1)()(tjetf0)()(2)(0jF)()(ttfTnnTj

47、F)(2)(0)cos()(0ttf)()()(00jF)sin()(0ttf)()()(00jjFntjnnTeFtf0)()(2)(0nFjFnnT总结：常用信号的总结：常用信号的FT和和FT的性质的性质6.6.时域卷积：时域卷积：)()()(2121jFjFtftf）（7.7.频域卷积频域卷积: :)()(21)(2121jFjFtftf ）（1.1.线性：线性：齐次性、叠加性、线性齐次性、叠加性、线性()()f tF j4.4.时移性：时移性：0)()(0tjejFttf5.5.频移性：频移性：)()(00jFetftj2.2.对称性：对称性：( )2()F jtf3.3.反比性：反比

48、性：1f(at )F( j)aa 8.8.时域微分：时域微分：)()()()(jFjtfnn9.9.时域积分时域积分: :jjFFtf)()() 0()() 1(10.10.频域微分：频域微分：nnnd F( j( jt) f(t)d ）11.11.频域积分频域积分: :dFttfjtf)()()()0(3.6 LTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析l 典型信号作用系统的频域分析典型信号作用系统的频域分析l 周期信号作用系统的频域分析周期信号作用系统的频域分析l 非周期信号作用系统的频域分析非周期信号作用系统的频域分析l 微分方程的频域解微分方程的频域解频域分析法（傅立叶变换分析法）：频域

49、分析法（傅立叶变换分析法）：利用傅立叶级数变换和傅立利用傅立叶级数变换和傅立叶变换求解叶变换求解LTI连续系统的零状态响应的方法；连续系统的零状态响应的方法；一、典型信号作用系统的频域分析一、典型信号作用系统的频域分析1 1、单位冲激信号激励下的零状态响应、单位冲激信号激励下的零状态响应( )( )( )( )ff ttyth t()1()()fF jYjH j ( )( )() |()|jh tH jH je 频域的系统函数频域的系统函数（系统函数）（系统函数）幅频响应函数幅频响应函数相频响应函数相频响应函数2、虚指数信号、虚指数信号e jt 激励下的零状态响应激励下的零状态响应(也称稳态响

50、应也称稳态响应)j tj (t)fy (t)eh(t)h( )ed j tjj teh( )edeH( j ) 结论：结论：yf(t)仍为同频率的虚指数信号，只是响应比激励加权了一个复函数仍为同频率的虚指数信号，只是响应比激励加权了一个复函数H(j)tjetf)(*( )()()j tj tfy teHjeHj( )j tf te( )()j tfy teH j( )cos()(f ttt ？3、正弦信号激励下的零状态响应、正弦信号激励下的零状态响应 （稳态响应）（稳态响应）系统响应为：系统响应为：jj tjj t*f1y (t )e eH( j)eeH ( j)2 jj tj ()jj tj

51、 ()1H( j )e e eH( j )eee2 () cos( )H jt 系统的激励为：系统的激励为：( )cos()(f ttt 1cos()()2jj tjj tte eee物理含义：物理含义：l 系统输入是正弦信号，响应也是同频率的正弦信号，但幅度和相位有变化；系统输入是正弦信号，响应也是同频率的正弦信号，但幅度和相位有变化；l 系统频率响应系统频率响应：系统：系统幅频响应和幅频响应和系统系统相频响应相频响应；l 系统幅频响应系统幅频响应：稳态响应信号与输入信号幅度：稳态响应信号与输入信号幅度的比值的比值随频率的变化；随频率的变化；l 系统相频响应系统相频响应：稳态响应稳态响应信号

52、与输入信号相位信号与输入信号相位之差之差随频率的变化；随频率的变化；幅频响应幅频响应相频响应相频响应二、周期信号激励下连续系统的频域分析二、周期信号激励下连续系统的频域分析0( )jntTnnftF e( )Tft当激励为周期信号当激励为周期信号指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数系统稳态响应：系统稳态响应：000()00( )()()nj ntFH jnjntsnnnny tF eH jnF H ne001( )cos()2TnnnAf tAnt三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数00001( )(0)() cos()2snnnAy tHA H jnntH jn0jnte00()jnteH jn每一

53、分量的稳态响应每一分量的稳态响应0jntnF e000()00() |()njntj Fjntj H jnnnF eH jnFeeH jne三、非周期信号作用三、非周期信号作用LTI系统的频域分析系统的频域分析1()( )()22j tj tF jdf tF jede当激励为非周期信号：当激励为非周期信号：()jtjteHje11( )()( )()()22j tj tff tF jedy tF jH jed叠加性叠加性11()()()22j tj tF jdeF jdH je齐次性齐次性)(jYf)()()(jHjFjYf结论：结论：()() ()fYjF jH jl 求激励信号的傅里叶变换

54、，即：求激励信号的傅里叶变换，即：f(t)F(j)l 确定系统的频率响应确定系统的频率响应H (j)l 求系统零状态响应的傅里叶变换求系统零状态响应的傅里叶变换Yzs (j) l 通过傅氏反变换求通过傅氏反变换求零状态响应零状态响应 yzs(t)=F-1Y(j )傅氏变换分析法傅氏变换分析法：通过：通过FT求系统求系统yzs(t)的方法的方法电路如图所示，求电流电路如图所示，求电流 i(t) 。)(tus)(ti100RHL11t0)(tus解：解：s1f(t )u (t )(t )()j fY ( j)I( j)112).H( j)F( j)U( j)Rj L100j f113). Y (

55、j)H( j)F( j)()100jj 输出输出输入输入f1Y ( j)()()100100()AB100j100j()A(100j)jB100111100j (100j)j100j100Aj(A B)j (1j (100j)()10000j) 100tf1y (t )i(t )1e(t )100 （）0()fYj1001( )( )fyti tt0四、微分方程的频域解四、微分方程的频域解计算过程：计算过程： 计算激励的傅氏变换计算激励的傅氏变换F(j )； 根据微分方程求系统函数根据微分方程求系统函数H (j )； 根据根据 Yf(j ) = H (j ) F (j ) 求出零状态响应得傅氏

56、变换；求出零状态响应得傅氏变换； 通过傅氏反变换求出时域零状态响应通过傅氏反变换求出时域零状态响应yf(t)；激励信号：激励信号：) () (tet ft已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：) () (6) ( 5) ( t ft ytyty求求: :系统的零状态响应系统的零状态响应y yf f(t)(t)频域分析法的特点频域分析法的特点(1) 通过通过FT分析法，可比较分析法，可比较输入激励信号输入激励信号f(t)与输出响应信号与输出响应信号yf(t)的波形差异的波形差异。(2) 比较比较F(j )与与Y(j )频域波形频域波形，从频谱改变的观点解释激励与响应的波形差异从频谱改变的观

57、点解释激励与响应的波形差异，为网络设计提供依据。为网络设计提供依据。(3) 傅氏变换存在一些天生的弱点傅氏变换存在一些天生的弱点:l 条件苛刻：有些信号傅氏变换不存在，如指数增长信号条件苛刻：有些信号傅氏变换不存在，如指数增长信号e t(t) 当当 0 时时l 反变换难以求解；反变换难以求解；l 方法不完备，只能求系统的零状态响应。方法不完备，只能求系统的零状态响应。傅氏变换多在对系统进行定性分析傅氏变换多在对系统进行定性分析。3.7 连续系统的频率响应连续系统的频率响应一、一、LTI连续系统的频率响应的定义连续系统的频率响应的定义n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程(n)(n 1)nn

58、 110(m)(m 1)mm 110a y (t) ay(t)a y(t) a y(t)b f(t) bf(t)b f (t) b f(t) (n)(n 1)nn 110(m)(m 1)mm 110a y (t) ay(t)a y(t) a y(t)b f(t) bf(t)b f (t) b f(t) nn 1nn 110mm 1mm 110a ( j)a( j)a ( j) aY( j)b ( j)b( j)b ( j) bF( j) nn 1nn 110mm 1mm 110a ( j )a( j )a ( j ) a Y( j )b ( j )b( j )b( j ) b F( j ) m

59、m 1mm 110nn 1nn 110b ( j )b( j )b ( j ) bY( j )F( j )a ( j )a( j )a ( j ) a H( j )F( j ) Y( j)H( j)F( j) 01110111)()()()()()()(ajajajabjbjbjbjHnnnnmmmm频响特性频响特性)(| )(|jejH( )() |()|jH jH je 连续系统的频响特性连续系统的频响特性|()|H j称为系统的幅频特性，是称为系统的幅频特性，是 的偶函数的偶函数注意：注意：系统函数只与系统的内部参数、连接方式（结构）、系统接口有关，与系统函数只与系统的内部参数、连接方式

60、（结构）、系统接口有关，与激励无关。激励无关。称为系统的相频特性，是称为系统的相频特性，是 的奇函数的奇函数 )(电路如图电路如图(a)所示，试求该系统的频率响应。所示，试求该系统的频率响应。_( )su t_( )RutCR( )a( )b_()sUj_()RUj1j CR解：绘出电路的相量模型如图解：绘出电路的相量模型如图(b)，根据该图得：，根据该图得：RsU ( j)RjH( j)11U ( j)Rjj CRC 幅频特性为：幅频特性为： 22H( j)1()RC 相频特性为：相频特性为： ( j)arctg(RC )2 10()H j20( ) 2 一般绘频谱图时，讨论一般绘频谱图时，