工程力学1-3-y1c

1、1北京理工大学宇航学院力学系 韩斌21/II2 可视为副法线可视为副法线 绕切线绕切线 的转角的转角bete 可视为切线可视为切线 绕副法线绕副法线 的转角的转角tebe7. 曲率、挠率曲率、挠率曲率曲率-曲线在曲线在P点处无限小弧段点处无限小弧段ds(位于密切面内位于密切面内)的弯曲的弯曲程度程度dsdskslim0(1.15) 曲率半径曲率半径ddsk1(1.16)挠率挠率-副法线方向改变的剧烈程度副法线方向改变的剧烈程度dsdsslim0(1.17)tebenebenete二、自然轴系的活动标架和基矢量二、自然轴系的活动标架和基矢量(续续)3adadtbededdnbtbbbbtntbn

2、nnttbttedeededededededeedededededeedededed)()()(1.18)已知对单位矢量已知对单位矢量 ：a对自然轴系的活动标架，有：对自然轴系的活动标架，有： tebenebenete4三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影点的运动方程点的运动方程 s=s(t)点的速度在自然轴系中的投影：点的速度在自然轴系中的投影：00bntvvsv(1.20)tebenebenetesO点的速度点的速度te sdtdsdsrddtrdv(1.19)vtebenebenetesO自然轴系中自然轴系中点的速度点的速度)(srsvvt5点的加

3、速度：点的加速度：ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsddedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)tebenebenetesO自然轴系中自然轴系中点的加速度点的加速度tananbbbtnnntbttededededededededeededed (1.18)曲率半径曲率半径ddsk1（1.16）对自然对自然轴系轴系6点的加速度在自然点的加速度在自然 轴系中的投影：轴系中的投影：022bntavsavsa (1.22)沿该点的切线方沿该点的切线方向向(即速度方向）即速度方向）沿该点主沿该点主法线方向法线方向位于该点位于该点密切面内密切面内切向加速度

4、切向加速度全加速度全加速度ta法向加速度法向加速度ana点的加速度：点的加速度：ntntaaesesa 2(1.21)tebenebenetesO自然轴系中自然轴系中点的加速度点的加速度tana7四、其他坐标系四、其他坐标系 柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）全加速度的大小全加速度的大小222222tan)(ssaassaaantnt 方向方向 为全加速度矢量为全加速度矢量与主法向的夹角与主法向的夹角22 tntaaasva 若已知速度的大小若已知速度的大小 v(t) = 及全加速度的大小及全加速度的大小 a(t) ,则：则：)(ts 8例例1.3 同例同

5、例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴，试求小环的速度、加速度在自然轴系中的投影。系中的投影。 已知已知 (1)t (2) A sin t (1)当当t 运动方程运动方程S(t)=M0M=2R= 2Rt 方向如图方向如图22222440RRRvsavsant nneRaa24解：小环相对于固定参考空解：小环相对于固定参考空间的间的，取，取t=0时时小环的位置小环的位置M0为原点，逆时为原点，逆时针方向针方向S为正。为正。 方向如图方向如图tteRvRsvv22OO1xyB vnaa9OO1xyB 2)当当A sin t S(t)=2R2RA sin t tARtRARvatARsvatARs

6、vvntt222222222cos4cos4sin2cos2 nttaaae tARvcos2vatana10解：解：1)运动分析运动分析平面上圆轮沿直线纯滚动平面上圆轮沿直线纯滚动自由度自由度 ？为为1研究轮缘上研究轮缘上M点，建立坐标系点，建立坐标系Oxy, 原点原点O取为取为纯滚动过程中纯滚动过程中M与地面的接触点。与地面的接触点。AuMOxyC若刚体做平面任意运动若刚体做平面任意运动3个自由度个自由度平面上圆轮沿直线做任意的滚动平面上圆轮沿直线做任意的滚动2个自由度个自由度例例1.4 半径半径r的车轮在直线轨道上纯滚动的车轮在直线轨道上纯滚动(滚而不滑滚而不滑)，已知轮心已知轮心A的速

7、度为常矢量的速度为常矢量 ，求，求的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。u11轮心轮心A的坐标：的坐标：根据纯滚动的条件：根据纯滚动的条件：选择选择 为广义坐标（也可选为广义坐标（也可选xA）。）。点点M运运动方程动方程rutrrrACyrutrutrOCxMMcoscossinsin轨迹：旋轮轨迹：旋轮线，摆线线，摆线xA=OC= MC=ut轮子转过的角度：轮子转过的角度： = MC/r = ut / r= xA/ r即即rxA例例1.4 半径半径r的车轮在直线轨道上纯滚动的车轮在直线轨道上纯滚动(滚而不滑滚而不滑)，已知轮心已知轮心A的速度为常矢量的速度为

8、常矢量 ，求轮缘上一点，求轮缘上一点M的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。uAuMOxyC12132)求速度：求速度：rutruturutuyvruturutuuxvMyMx2cos2sin2sin2sin2cos23）求加速度）求加速度rutruvarutruvayyxxcossin22tantantan222rutaaruaaayxyxAuCMOxyva由由M点点x,y坐标分别求导坐标分别求导(本题本题u为常数为常数)：( 为速度矢量与为速度矢量与y轴夹角轴夹角)( 为加速度矢量与为加速度矢量与y轴夹角轴夹角)2tan2tantan2sin222rutv

9、vrutuvvvyxyx或或144)求加速度在自然轴系中的投影及轨迹曲率半径求加速度在自然轴系中的投影及轨迹曲率半径rutruaaarutruvatnt2sin2cos2222 rutravvann2sin4 22当当ut = 0, 2 r即即 时，时， = min= 0 轨迹的尖点轨迹的尖点当当ut = r即即 时时， = max= 4r 轨迹的最高点轨迹的最高点2 , 015试求销钉试求销钉A的速度和加的速度和加速度表达式速度表达式(用用T形杆的形杆的水平位置坐标水平位置坐标x表示表示)。CDEFOAB例例1.5带有滑槽的带有滑槽的T形杆形杆CD以匀速度以匀速度 沿水平方向沿水平方向运动运

10、动,带动槽内的销钉带动槽内的销钉A,B沿着固定的抛物线沿着固定的抛物线滑槽运动滑槽运动,以抛物线顶点以抛物线顶点O为原点为原点,对称轴为对称轴为 x轴建立坐标系轴建立坐标系Oxy, 抛物线方程为抛物线方程为0vpxy22解：建立如图所示的解：建立如图所示的坐标系坐标系,xy销钉销钉A的运动轨迹即已的运动轨迹即已知的固定抛物线知的固定抛物线pxy22求导得点求导得点A速度速度,加速度加速度:yaxayvxvAxAxAxAx 对运动轨迹对运动轨迹 两边同时求导两边同时求导:pxy22xpyy22xypy16例例1.5带有滑槽的带有滑槽的T形杆形杆CD以匀速度以匀速度 沿水平方向运动沿水平方向运动,

11、带带动槽内的销钉动槽内的销钉A,B沿着固定的抛物线滑槽运动沿着固定的抛物线滑槽运动,以抛物以抛物线顶点线顶点O为原点为原点,对称轴为对称轴为x轴建立坐标系轴建立坐标系Oxy,抛物线抛物线方程为方程为 ,试求销钉试求销钉A的速度的速度,加速度表达式加速度表达式(用用T形杆的水平位移形杆的水平位移x坐标表示坐标表示)。0vpxy22CDEFOABxypxy22对运动轨迹对运动轨迹y2=2px两边同两边同 时求导时求导:求导得点求导得点A速度速度,加速度加速度:yaxayvxvAxAxAxAx xypy 再两边同时求导再两边同时求导:xyypxypy 2由于销钉由于销钉A的的x坐标即坐标即T形杆的形

12、杆的x坐标坐标:00 xavxvAxAx 17例例1.5带有滑槽的带有滑槽的T形杆形杆CD以匀速度以匀速度 沿水平方向运动沿水平方向运动,带带动槽内的销钉动槽内的销钉A,B沿着固定的抛物线滑槽运动沿着固定的抛物线滑槽运动,以抛物以抛物线顶点线顶点O为原点为原点,对称轴为对称轴为x轴建立坐标系轴建立坐标系Oxy,抛物线抛物线方程为方程为 ,试求销钉试求销钉A的速度和加速度表达式的速度和加速度表达式(用用T形杆的水平位移形杆的水平位移x坐标表示坐标表示)。0vpxy22CDEFOABxypxy22xyypxypy 200 xavxvAxAx xypy xpvvpxpyvAy2200 xpxvxyy

13、pyaAy24202 xpvyxvA21022xpxy2tanxpxvyxaA242022 (加速度方向加速度方向 )AvAa181 课程内容小结课程内容小结自然轴系中点的运动方程自然轴系中点的运动方程 : s=s(t)点的加速度在自然点的加速度在自然 轴系中的投影：轴系中的投影：0,22bntavsavsa 点的速度在自然轴点的速度在自然轴系中的投影：系中的投影：0,0,bntvvsv 重点掌握重点掌握: 用自然轴系描述点的运动用自然轴系描述点的运动vtanatebenebenetesO自然轴系中自然轴系中点的速度点的速度tebenebenetesO自然轴系中自然轴系中点的加速度点的加速度191 课程内容小结课程内容小结利用直角坐标系和自然轴系描述质点的运动利用直角坐标系和自然轴系描述质点的运动 120本章本章(1 )重点、要点、难点重点、要点、难点(1)(参考空间、运动方程和轨迹、约束、参考空间、运动方程和轨迹、约束、自由度与广义坐标等自由度与广义坐标等)。(2)矢量的表示方法、运算规则及矢量微分公式矢量的表示方法、运算规则及矢量微分公式(3)分析法分析法(直角坐标系、自然轴系直角坐标系、自然轴系)建立点的运动方程，建立点的运动方程，求点的速度、加速度。求点的速度、加速度。(4)注意求出的速度、加速度均为矢量，一定要表示注意求出的速度、加速度均为矢量