3.3几何概型

1、 著名的随机试验著名的随机试验 蒲蒲丰投针试验丰投针试验 法国自然哲学家法国自然哲学家蒲蒲丰曾经做过一个投丰曾经做过一个投针试验他在一张纸上画了很多条距离相等针试验他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线，他将小针随意地投在纸上，他的平行直线，他将小针随意地投在纸上，他一共投了一共投了2212次，结果与平行直线相交的共次，结果与平行直线相交的共有有704根总数根总数2212与相交数与相交数704的比值为的比值为3.142这一比值接近这一比值接近. 一次又一次地将细针任意投掷在白纸上，这样一次又一次地将细针任意投掷在白纸上，这样反复投掷反复投掷n次，数数细针与平行线相交的次数为次，数数细针与平行

2、线相交的次数为k，于是得到于是得到的近似值为：的近似值为： .kn 实验者实验者年代年代投掷次数投掷次数相交次数相交次数圆周率估计圆周率估计值值沃尔夫沃尔夫1850500025313.1596史密斯史密斯1855320412193.1554德摩根德摩根16806003833.137福克斯福克斯188410304893.1595拉泽里尼拉泽里尼1901340818083.1415929赖纳赖纳192525208593.1795后来有许多人步布丰的后尘，用同样的方法计算后来有许多人步布丰的后尘，用同样的方法计算值值 其中最为神奇的是意大利数学家其中最为神奇的是意大利数学家拉泽拉泽里尼里尼(Lazz

3、erini )他在他在1901年宣称进行了年宣称进行了多次投针试验得到了的值为多次投针试验得到了的值为3.1415929这这与与的精确值相比，一直到小数点后七位的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！用如此巧妙的方法，求得如才出现不同！用如此巧妙的方法，求得如此高精确的值，这真是天工造物！此高精确的值，这真是天工造物！ 蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。的推动作用。蒲蒲丰丰 （法）（法） 在概率

4、论发展的早期，人们就已经注意到只考虑在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到例如一个人到单位的时间可能是单位的时间可能是8:009:00之间的任何一个时刻；之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上何一点上这些试验可能出现的结果都是无限多个这些试验可能出现的结果都是无限多个.怎样求其概率？怎样求其概率？阅读教材阅读教材P135-136，回答问题：，

5、回答问题：什么是几何概率模型？有何特征？什么是几何概率模型？有何特征？ 阅读教材阅读教材P135-136，回答问题：，回答问题：什么是几何概率模型？有何特征？什么是几何概率模型？有何特征？ 1、几何概率模型的识别、几何概率模型的识别 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为型为几何概率模型几何概率模型，简称几何概型，简称几何概型.几何概型的基本特征：几何概型的基本特征：（1）可能出现的结果有无限多个；）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等）每个

6、结果发生的可能性相等. 2、几何概型的概率、几何概型的概率在几何概型中，事件在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：的概率计算公式如下：()AP A 构构成成事事件件 的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积） 例例1.某人午休醒来某人午休醒来,发觉表停了发觉表停了,他打开收音机想听电他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间不多于台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于 时间段内时间段内则事件则事件A发生发生.即即“等待报时的时间不超过等待报时的时

7、间不超过10分钟分钟”的概率为的概率为解：解：记记“等待的时间等待的时间不多于不多于10分钟分钟”为事件为事件A，50，60由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得605060)( AP1,6 1.6 在本例中，打开收音机的时刻在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可以是是随机的，可以是060之之间的任何一刻，并且是等可能的间的任何一刻，并且是等可能的.我们称我们称X服从服从0,60上的均匀分上的均匀分布，布，X为为0,60上的上的均匀随机数均匀随机数.解解:如图设送报人到达时间如图设送报人到达时间 为为 x,父亲离家时间为父亲离家时间为y.(x, y)可以看成平面中的点可以看成平面中

8、的点.试验的全部结果所构成的区域为：试验的全部结果所构成的区域为：,87 , 5 . 75 . 6| ),( yxyx这是一个正方形区域，这是一个正方形区域， 面积为面积为1.S 事件事件A表示父亲在离家前能得表示父亲在离家前能得到报纸，到报纸， 所构成的区域为：所构成的区域为：( , )|,6.57.5,78,Ax yyxxy 例例2. 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作你父亲离开家去工作的时间在早上的时间在早上7:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能问你父亲在离开家前能得到

9、报纸得到报纸(称为事件称为事件A)的概率是多少的概率是多少?即图中阴影部分，即图中阴影部分， 面积为面积为AS 7( ).8ASP AS 1111222 7.8归纳：归纳：对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题,解题的关键是要解题的关键是要建立模型建立模型,找出随机事件与所有基本事件相找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域对应的几何区域,把问题转化为几何概率问把问题转化为几何概率问题题,利用几何概率公式求解利用几何概率公式求解.例例3.取一个边长为取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概

10、率.2a事事件件A A, ,记记“豆豆子子落落在在圆圆内内”为为: :解解.4 4豆豆子子落落入入圆圆内内的的概概率率为为答答4 44 4a aa a正正方方形形面面积积圆圆的的面面积积P P( (A A) )2 22 2数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率( ).mP An由此可得由此可得nm4 如果向正方形内撒如果向正方形内撒 颗豆子，其中落在圆内的颗豆子，其中落在圆内的豆子数为豆子数为 ，那么当，那么当 很大时，比值很大时，比值 ，即频率应接近于即频率应接近于 ，于是有，于是有nmn( )P Amn例例4.两根相距两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上

11、系一根拉直绳子,并在并在绳子上挂一盏灯绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m的的概率概率.解：解：记记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”为事件为事件A，41 8 82 2A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (由于绳长由于绳长8m，当挂灯位置介于中间，当挂灯位置介于中间2m时，事件时，事件A发生，于是发生，于是例例5.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，话， 发现发现30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s处起，有处起，有10s长的长的一段内容包含间谍犯罪的一段内容包含间谍犯罪的 信息后来

12、发现信息后来发现,这段谈话的部这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？全部擦掉的概率有多大？解解:记事件记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉则事件全部擦掉则事件A发生就是在发生就是在-min时间时间段内按错键故段内按错键故 P(A)= 2 2 3 330= 1 1 4545例例6

13、.某商场为了吸引顾客，设立了一某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定个可以自由转动的转盘，并规定:顾客顾客每购买每购买100元的商品，就能获得一次元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得客就可以获得100元、元、50元、元、20元的元的购物券（转盘等分成购物券（转盘等分成20份）份）甲顾客购物甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？元，他获得购物券的概率是多少？他得到他得到100元、元、50元、元、20元的购物券的概率分别是多少？元的购物券的概率分别

14、是多少？ 12420 220420解：解：甲顾客购物的钱数在甲顾客购物的钱数在100元到元到200元之间，可以获得一次转动转元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了盘的机会，转盘一共等分了20份，份，其中其中1份红色、份红色、2份黄色、份黄色、4份绿色，份绿色，因此对于顾客来说：因此对于顾客来说：P(获得购物券获得购物券)=7.20 1.20P(获得获得100元购物券元购物券)=P(获得获得50元购物券元购物券)=P(获得获得20元购物券元购物券)=1.5 1.10 练习练习1：在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，在斜边中，在斜边AB上上任取一点任取一点M，求，求AM小于小于A

15、C的概率。的概率。分析：分析：点点M随机地落在线段随机地落在线段AB上，故线段上，故线段AB为为区域区域D. 当点当点M位于图中的线段位于图中的线段AC上时，上时，AMAC，故线段，故线段AC即为区域即为区域d。解：解： 在在AB上截取上截取AC=AC，于是，于是 P(AMAC)=P(AMAC)ACACABAB 则则AM小于小于AC的概率为的概率为2.2ABCMC,22 练习练习2：在半径为：在半径为1的圆上随机地取两点，的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？的边长的概率是多少？BCDE.0解解：记事件：记事件A=弦

16、长超过圆内接弦长超过圆内接等边三角形的边长等边三角形的边长，取圆内接，取圆内接等边三角形等边三角形BCD的顶点的顶点B为弦为弦的一个端点，当另一点在劣弧的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，上时，|BE|BC|，而弧，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有所以可用几何概型求解，有31)( AP则则“弦长超过圆内接等边三角形的边长弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为的概率为313.(会面问题会面问题)甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在 12 点到点到 5 点之间在点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在设

17、二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以以 x, y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，乙二人到达的时刻，于是于是05, 05.xy 即即 点点 M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分.所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，即有方形，即有无穷多个结果无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的.M(x,y)y5 54 43 32 21 10 1 2 3 4 50 1

18、 2 3 4 5x二人会面的条件是：二人会面的条件是： | 1,xy 2 25 5. .9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积P P( (A A) )2 20 1 2 3 4 5yx5544332 21 1y=x+1y=x -1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A用几何概型解简单试验问题的方法用几何概型解简单试验问题的方法 1 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；概型求解； 2 2、把基本事件转化为与之对应的区域、把基本事件转化为与之对应的区域DD； 3 3、把随机事件、把随机

19、事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d； 4 4、利用几何概型概率公式计算。、利用几何概型概率公式计算。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。 4. 设不等式组设不等式组 表示的平面区域为表示的平面区域为D0202xy 在区域在区域D内随机取一个点内随机取一个点,求此点到坐标原点的距离大于求此点到坐标原点的距离大于2 的概率的概率. 解：解：而动点可以存在的位置为正方形面积而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分减去四分之一的圆的面积部分, 0202xy 表示的区域表示正方形区域表示的区域表示正方形区域,xyO212 2242 2

20、P 4.4 5.设球设球O内的内接正方体，在球内的内接正方体，在球O内任取一点内任取一点M，求，求M落在内接正方体内的概率落在内接正方体内的概率.设球设球O的半径为的半径为R，解：解：则其体积为则其体积为 3143VR 设内接正方体的边长为设内接正方体的边长为a， 则则 2222(2 )Raaa 2 2.3aR 正方体的体积为正方体的体积为 32Va 38 3,9R 故故M落在内接正方体内的概率是落在内接正方体内的概率是21VPV 2 3.3 322 3()3VR 6.若正三棱锥若正三棱锥S-ABC的底面边长为的底面边长为a，高为，高为h，在正三棱锥内取点在正三棱锥内取点P，试求点，试求点P到

21、底面的距离小于到底面的距离小于 的概率的概率.2h解：解：且且 如图作正三棱锥如图作正三棱锥S-ABC的截面的截面ABC，1,2SASBSCSASBSC 则点则点P落在正三棱锥落在正三棱锥S-ABC内的内的概率为概率为 18SA B CSABCVV .故点故点P到底面的距离小于到底面的距离小于h/2的概率的概率为为 171.88P 7.如图在等腰直角三角形如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点中，过直角顶点C在在ACB内部作一条射线内部作一条射线CD，与线段，与线段AB交于点交于点D，求，求满足满足ADAC的概率。的概率。ACBD.E【分析分析】过直角顶点过直角顶点C在在ACB内部作一条射线

22、可以看作是随内部作一条射线可以看作是随机的，满足条件机的，满足条件ADAC的的ACE可看成是构成事件的区可看成是构成事件的区域角，而域角，而ACB可看成是试验可看成是试验的所有结果构成的区域角，可的所有结果构成的区域角，可用用“角度化角度化”公式计算其概率。公式计算其概率。 7.如图在等腰直角三角形如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点中，过直角顶点C在在ACB内部作一条射线内部作一条射线CD，与线段，与线段AB交于点交于点D，求，求满足满足ADAC的概率。的概率。ACBD.E在在AB上取上取AE=AC，则，则 解：解：001(18045 )2ACE 067.5 , 设事件设事件A=在在AC

23、B内部作一条射内部作一条射线线CD，与线段，与线段AB交于点交于点D，满足，满足ADAC， ACB=900，()ACEP AACB 故满足故满足ADAC的概率的概率67.590 0.75. 8.设设A为圆上一定点，在圆周上任取一点与为圆上一定点，在圆周上任取一点与A连接，连接，则弦长超过半径的概率是则弦长超过半径的概率是_.当弦长等于半径时，弦所对的圆心角为当弦长等于半径时，弦所对的圆心角为 解：解：,3 只有当点在优弧只有当点在优弧 上时弦长超过半径，上时弦长超过半径， BC同于优弧同于优弧 所对的圆心角所对的圆心角 BC4,3 432P 故弦长超过半径的概率是故弦长超过半径的概率是2.3

24、用几何概型解简单试验问题的方法用几何概型解简单试验问题的方法 1 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；概型求解； 2 2、把基本事件转化为与之对应的区域、把基本事件转化为与之对应的区域DD； 3 3、把随机事件、把随机事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d； 4 4、利用几何概型概率公式计算。、利用几何概型概率公式计算。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。课堂小结课堂小结n1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本