平面图形的面积课件

1、平面图形的面积二、平面图形的面积一、定积分的元素法三、微元法求体积四、平面曲线的弧长 第五节 定积分在几何上的应用 平面图形的面积本节重点： 定积分的元素法 直角坐标系下求面积 极坐标系下求面积 微元法求旋转体的体积 微元法求平面曲线的弧长本节难点：定积分的元素法返回平面图形的面积一、定积分的元素法设f(x)在区间a,b上连续且 ,求以曲线y=f(x)为曲边，以a,b为底的曲边梯形的面积，这个面积可表示为定积分： 其步骤为：（1）分割：用任意一组分点把区间a,b分成长度为xi(i=1,2,n)的n个子区间xi-1,xi,相应地把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为 , 于是有

2、 0f x f xbaAdxiA1niiAA平面图形的面积（2）取近似值：第i个窄曲边梯形的面积 近似等于以 为底、以 为高的窄矩形面积，即 （3）求和：则曲边梯形的面积A近似等于n个窄矩形面积的和，即 （4）取极限：iA ifix iiiAfx 1niiiAfx 01limnbiiaiAfxf x dx 平面图形的面积 为计算简便，可将上述四步简化为两步：以 代替区间 上的任意一个子区间 ,以 的左端点x代替 ,以dx代替 ,于是 上对应的窄矩形面积可表示为 ,即 称 为面积元素（或面积微元），记为dA.(2) 以 为被积表达式，在区间 上作定积分，得 这种方法通常叫做元素法（或微元法）.

3、返回 ,x x dx , a b1, iix xiix, x x dx f x dx iAf x dx ,xx dx f x dx f x dx, a b baAfx dx下面我们将用这个方法讨论平面图形的面积及立体的体积平面图形的面积二、平面图形的面积1.直角坐标情况(1) 设由 曲线 直线 围成平面图形(图5-1)，其面积元素 于是 ( )( ( )0),yf x f x dA f x dx baAf xdx图5-1xxdxaboyx( )yf x,0 x a x by及平面图形的面积 （2）设由曲线 及直线 围 成 的平面图形（图5-2），其面积元素为 ，于是 1212,()y f x

4、y f x f xf x,x ax b 21dAf xf x dx 21baAf xf x dx aboyx2( )yf x1( )yf x图5-2平面图形的面积（3）设由曲线 及直线 围成的平面图形（图5-3），其面积元素为 ，于是 1212,()xy xyyy,y c y d 21dAyy dy 21dcAyydy 图5-3oyxcd1( )xy2( )xy平面图形的面积例1 计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积。 解法一 画出图形（图5-4）联立两曲线方程 得交点选择横坐标x为积分变量, . 对应于子区间 上的小矩形面积为 , 2yx2yx22yxyx0,0 ,1,1oA0,1x,

5、x x dx2x x dx（1，1）xy 22xyxyodxxx图5-4平面图形的面积解法二 选择纵坐标y为积分变量， 。对应于 上的小矩形面积为 ，即面积元素于是0,1y, y ydy2,y y dy2,dAyyd)333Ayy dyy)333Axx dxxx2,dAxxdx即面积元素 于是平面图形的面积例2 求由抛物线 及直线 所围成的平面图形的面积.（如图5-5）解 由联立方程 得交点 . 选择y为积分变量， .在 上任取子区间 ，其上相应小矩形面积为于是22yx4yx 224yxyx 2, 2 , 8,42,4y2,4, yy dy4

6、242322114418226yAydyyyy图5-5xyoxy 22xy（8，4）-24242ydAydy（2，-2）8yy dy平面图形的面积0,8x , x x dx0, 222dAxxdx , x x dx2,824dAxxdx0,22,81A2A若选择x为积分变量， .但当子区间 取在 中时，面积元素为 ；而当子区间 取在 中时，面积元素为 （2，-2）y x 因此积分区间需分成 和 两部分，即所给图形由直线x=2分成两部分 及 ， （如图5-6）o（8，4）图5-6平面图形的面积显然，比较两种算法可见，取y为积分变量要简单得多。因此，对具体问题应选择积分简便的算法。返回281202

7、23322202222422116382 2241833233AAAxx dxxxdxxxxx 则有平面图形的面积2. 极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算他们的面积比较简便.由曲线 与两射线 所围成的图形（如图5-7），称为曲边扇形。下面用元素法求它的面积A. 用从原点O出发的射线将曲边扇形分割成小曲边扇形，相应于 上的小曲边扇形的面积近似等于以 为半径， 为圆心角的扇形面积 ，即面积元素于是 ( ) , ,d d 212d 212dAd 212Ad 图5-7( ) dxyo平面图形的面积例3 求心形线 所围成平面图形的面积A。解：由图形（如图5-8）的对称性可得 = = =返回1 cosa

8、22012(1 cos )2Aad220(1 2coscos)ad 2011(1 2coscos2 )22ad2203132sinsin2242aa图5-8)cos1 (axyo平面图形的面积三、用微元法求体积1 平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的平面可求，则该物体可用微法求体积.不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面积A(x)是x的已知连续函数,求该物体介于x=a和x=b（ab）之间的体积。平面图形的面积在x, x+dx上视A(x)不变，即把x, x+dx上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱体，于是得体积微元 于是例1 设有底圆半径的的圆柱，被一与圆柱面交

9、成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积。解取坐标系如图5-9，则底圆方程为( )baVAx dx( )dV Ax dx222xyR平面图形的面积在x处垂直于x轴做立体截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 及 ，即 及 ，其面积为 从而得楔形体积为 tanyy22Rx22tanRx221( )()tan2A xRx2222301()tan22tan()tan3RRRVRxdxRx dxR平面图形的面积2 旋转体的体积 (1) 由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体叫做旋转体(如图5-10).现在求它的体积V. 用垂直于x轴的平行平面将旋

10、转体截成几个小旋转体，所得截痕都是圆。取x为积分变量，xa，b。在a，b内的任一小区间x，x+dx上小旋转体的体积近似等于以f(x)为底圆半径，以dx为高的小圆柱体的体积，即得体积微元 于是旋转体体积 2( )dVf xdx2( )baVfx dx)(xfybaxxyo图5-10平面图形的面积例4证明底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为 。 解：如图5-11所示，设圆锥的旋转轴重合于x轴，即圆锥是由直角三角形ABO绕OB旋转而成。直线OA的方程为 .取x的积分变量，x 0, h, 相应于0, h上任一小区间x, x+dx的薄片的体积近似等于底半径为x, 高为dx的圆柱体的体积， 213r hr

11、yxhyxAoBhxdxxr图5-11平面图形的面积即体积微元为 例5计算由椭圆所围成的圆形绕x轴旋转而成的旋转体（叫旋转椭球体）的体积（如图5-12）。解：这个旋转体可以看成是x轴上方的半个椭圆与x轴围成的图形绕X轴旋转而成的立体。2rdVx dxh232202033hhrrxr hVx dxhh于是，所求圆锥的体积为22byaxadxxxyoabx图5-12平面图形的面积取x为积分变量，x-a,a,则体积元素为： .于是特别当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a的球体，它的体积为 . 222222322()1433aaaabVaxdxaba xxaba222 2222()bbdVaxdxax

12、 dxaa343a平面图形的面积 (2) 由曲线 ,直线y=c、y=d (cd)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体（图5-13）的体积为 例6设平面图形由曲线y=2与直线x=1及y=0所围成。试求此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体（图5-14）的体积。()xy2( )dcVy dy)(yxoxydc12xy 2oyx图5-13图5-14平面图形的面积即返回解。图所给旋转体的体积V可看作是由矩形OABC绕y轴旋转所得的柱体体积 ,减去由 、直线x=0及y=2所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积 ,1V2yx2V222220240520112()4216821655VVVydyy d

13、yy平面图形的面积 T 四、平面曲线的弧长 在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除圆弧外）长度的计算比较困难，现在就讨论这一问题。计算曲线y=f(x)上相应于从x=a到x=b的一段弧的长度.如图5-15所示.在a,b上任取一子区间x, x+dx, 相应小弧度 的长度可以用曲线在点M（x,f (x)）处的切线上相应的小直线段MT近似代替，bdxxxa)(xfyxyOMNMNdydx图5-15平面图形的面积即弧长微元于是所求弧长为若曲线由参数方程 给出，则弧长微元为于是弧长 222( )( )1 ( )dl M Tdxdyy dx22( )( )lttdt21 ( )baly dx222222( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dldxdyt dtt dtttdt( )()( )xttyt 平面图形的面积例7 计算曲线 对应0 x1上一段的弧长。解 由于 从而弧长元素为 所求弧长为 3223yx31222()3yxx1221 ( )1dl