理学高等数学二0

1、 导数(Derivative)是反映函数相对于自变量 的变化快慢程度,微分(Differential)指明了当 自变量有微小变化时引起函数变化的大小, 它们是微分学(Differential calculus)的重要 概念,在理论研究和生产实践中有着非常广 泛的应用.在这一章里我们主要介绍导数和 微分的概念和它们的计算方法.第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分绪绪n第一节 导数的概念n第二节 函数的微分法n第三节 高阶导数n第四节 隐函数和参数方程求导n第五节 函数的微分n第二章小结第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分目目 录录n学习要点：学习要点：n1.函数在一点的导数和导函

2、数的定义；n2.左、右导数；n3.导数的几何与物理意义。n绪绪n导数的概念是函数变化率概念的一个精确描述,是变量的变n化速度在数学上的抽象,是研究函数各种性态的有效工具. n1817年捷克数学家波尔察诺在他发表的论文纯粹分析证n明中第一个把函数的导数定义为当自变量增量趋于零时,n函数增量与自变量增量比值的极限,并引入了左右导数的概n念 。第一节第一节 导数的概念导数的概念第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分 一、引例一、引例 导数是客观世界中许多自然现象在数量关 系上抽象出来的概念.它源于对切线、极值 和运动速度等问题的处理，如物体运动的瞬 时速度,曲线的切线斜率,非恒稳的电流强度 等

3、都是导数的问题. 实例实例1 1 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度. 设某质点沿直线作变速运动设某质点沿直线作变速运动, ,其运动方程为其运动方程为s=f(t),s=f(t),求质点在质点在t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.设质点于时刻设质点于时刻t t在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为s,s,取从取从时刻时刻t t0 0到到t t0 0+t+t这样一个时间间隔，在这段时间内这样一个时间间隔，在这段时间内质点的平均速度为质点的平均速度为ttfttftsv)()(00 于是质点在时刻于是质点在时刻t t0 0的瞬时速度为的瞬时速度为ttfttftstvtt)()(limli

4、m)(00000 0tso)(0tf)(0ttftt实例实例2 2 曲线的切线斜率曲线的切线斜率设曲线的方程为设曲线的方程为y=f (x) ,在点在点M(x0,y0)处的附近取处的附近取一点一点N(x0+x,y0+y)，那么，那么割线割线MN的斜率为的斜率为 xxfxxfxy00tan 当点当点N沿曲线趋向沿曲线趋向M时，割线时，割线 在在M点处的切线，此时的切线点处的切线，此时的切线 tanlimtan0 xkxyx0lim xxfxxfx000lim MN的极限位置的极限位置MT就就曲线上曲线上斜率为斜率为xyo)(xfy CNT0 xMxx 0二、导数定义 1.定义1:设函数y=f(x)

5、在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量在x0处取得增量x(x0+x)点仍在该邻域）时，相应地函数取得增量y=f(x0+x)-f(x0),若极限xxfxxfxyxx)(-)(limlim0000存在，则称函数f (x)在点x0处可导，并称这个极限为函数在点x0 处的导数(derivative),记为 0 xf 0|dxdyxx或即 xxfxxfxfx0000-lim)(变速直线运动的瞬时速度:)()()(limlim)(000000tfttfttftstvtt曲线的切线斜率:tankxyx0lim xxfxxfx000lim)(0 xf 2.定义1的等价形式：hxfhxfxfh0000lim 0

6、000limxxxfxfxfxx3.左、右导数:函数在点x0处的导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，记 ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数(leftderivative)和右导数(progressive derivative)，函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是f (x)在点x0处左导数和右导数都存在且相等。 4.导函数的定义:如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都可导，则

7、称函数y=f(x)在区间I内可导。此时，对任何点xI都对应一个导数值这一对应关系确定了一个新的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作y)(xf dxdy 或dxxdf)( xxfxxfyx)()(lim0即即5.求导数的步骤：);()(xfxxfy(1)求增量;)()(xxfxxfxy(2)算比值.lim0 xyyx(3)求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim. 0 例2. 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa

8、)1na1nan对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例3.) 1, 0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax特别地.)(xxee例4.) 1, 0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1 (loglim0hxahxhx)1 (loglim10.ln1log1axexa特别地.1)(lnxx例5.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx44cos)(sinxxxx.2

9、2xxsin)(cos类似可证得例例6 6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xy xyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim, 1hhhfhfhh00lim)0()0(lim. 1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy三、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义切线方程为).)(000 xxxfyy法线方程为).()(1000 xxxfyy)( ,tan)(,)(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf例例7 求曲线xy1在点（1，1）处的切线和法线方程。解232121)()1(xxx

10、21|1xyk所以切线方程为) 1(211xy032yx所以法线方程为) 1(21xy012yx例8.,)2 ,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy 解由导数的几何意义, 得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx. 4所求切线方程为),21(42xy. 044 yx即即法线方程为),21(412xy. 01582 yx即即* *练习：练习：问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1

11、,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0,0) 有垂直切线2.2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.处可导在点xxf)(四、 函数的可导性与连续性的关系定理1.处连续在点xxf)(证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 ,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(

12、0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意: 函数在点x连续未必可导.反例:xy xyoxy 在x = 0处连续 ,但不可导.即内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;()xa lnxaan学习要点：学习要点：n1.四则运算求导法则；n2.复合函数求导法则；n3.导数基本公式。n

13、绪绪n求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的n函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函n数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本n节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这n些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函n数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。第二节第二节 函数的微分法函数的微分法第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分一、四则运算求导法则 定理定理1:1:具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvx

14、u)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv则推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 yex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x)xxxxxfsin43)2

15、(sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(sec 例3 ysec x 求y 例3.tan的的导导数数求求xy 解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1 )( xf二、反函数的求导法则 定理2： y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1

16、的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11则 例5 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为因为yarctan x是是xtan y的反函数的反函数 所以所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx

17、 类似地有 211)cotarc(xx 例4 求求(arcsin x)及及(arccos x) 解 因为因为yarcsin x是xsin y的反函数的反函数 所以所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx 在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则定理3：)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可

18、导.复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy则例 10 212sinxxy 求dxdy 例6 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例7. 求下列导数:(1) () ;(2) () .xxx 解: (1)()(lnxexxe

19、ln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2) 解 函数函数212sinxxy是由是由 ysin u 212xxu复合而成的复合而成的 因此因此dxdududydxdy例 13ylncos(e x) 求dxdy 例8解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 例 14xey1sin 求dxdy 例9 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy

20、 )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 四、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(a

21、rccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 2. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数为常数 )0( v4. 4. 复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.3.反函数求导法则反函数求导法则 1( )fx1( )fy例10. 求求解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx1y所以1212x)2( x112xx例11.设设),0( aaaxyxaaaxa解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.

22、yaaxln例12. 求求解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx例13. 若若)(uf 存在存在 , , 求求(lncos )fx的导数的导数.xfdd( lncos)fx(lncos )x lncos( )uxf u这两个记号含义不同这两个记号含义不同( lncos)fx1(cos )cosxxtan( lncos)xfx 例14).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求求设设解,0时时当当 x, 1)( xf,0时时

23、当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0)11ln(1lim0 xhhh,11x,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0, 1hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0, 1. 1)0( f.0,110, 1)(xxxxf本节小结注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu分段函数求导时分段函数求导时, , 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求. .反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）; ;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程, ,合理分解正确使用链合理

24、分解正确使用链导法）导法）; ;已能求导的函数已能求导的函数: :可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数, ,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商. .关键关键: : 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构. .n学习要点：学习要点：n1.高阶导数的定义；n2.高阶导数数的求法；n3.特殊函数的n阶导数。第三节第三节 高阶导数高阶导数第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分一、高阶导数的概念)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：变速直线运动变速直线运动定义定义. .若函数若函

25、数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或或,dd22xy即即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 , ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数的二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 , ,分别记作分别记作则称则称证明 因为22212222xxxxxxy所以所以y 3y1022222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2(

26、)2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明证明 函数函数22xxy满足关系式满足关系式013 yy 设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推依次类推 , ,nnany!)(233xa例2.思考思考: 设设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问问可得可得nx)1 (

27、 ,3xaeay 例3. 设设求求解:特别有特别有: :解:! ) 1( n规定规定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例4. 设设, )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,例5. 设设,sin xy .)(ny解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地 , ,xxnsin()(sin)(类似可证类似可证: :xxncos()(cos)()2n)2n二、高阶导数的运算法

28、则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹(Leibniz) 公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(例6. ,22xexy 求.)20(y解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k(1) 逐阶求导法(2) 利

29、用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例7. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数? ?xxy11) 1 (xxy1)2(3解: 解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111( 1)!(2)(1)nnnnynxx n学习要点：学习要点：n1.隐函数求导方法；n2.取对数求导法；n3.参数方程所确定的函数求导法

30、。第四节第四节 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分一、隐函数的导数显函数与隐函数显函数与隐函数 形如形如y f(x)的函数称为显函数的函数称为显函数 例如例如 y sin x y ln x ex 都是显函数都是显函数 由方程由方程F(x y) 0所确的函数称为隐函数所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化 例如例如 方程方程x y3 1 0确定的隐函数为确定的隐函数为 31 xy 隐函数的求导法隐函数的求导法 把方程两边分别对把方程两边分别对x x求导数求导数 然后从所得的新的方然后从

31、所得的新的方程中把隐函数的导数解出程中把隐函数的导数解出. . 例1 求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导数的导数 (ey)(xy)(e)(0) 即即 eyyy+xy0 方程中每一项对方程中每一项对x求导得求导得 解 从而 yexyy(xe y0) 例2 求由方程求由方程y52yx3x70所确定的隐函数所确定的隐函数yf(x)在在 x0处的导数处的导数y|x0 因为当因为当x 0时时 从原方程得从原方程得y 0 所以所以 5y4y2y121x60方程两边分别对方程两边分别对x求导数得求导数得 解 由此得 2521146yxy 21|25211|0460 xxyx

32、y 例3. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx 解 上式两边再对上式两边再对x x求导求导 得得 的二阶导数的二阶导数 例4 方程两边对方程两边对x求导求导 得 0cos211dxdyydxdy 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2y

33、yydxdyydxyd 求由方程求由方程0sin21yyx所确定的隐函数所确定的隐函数 y 于是于是 ydxdycos22 y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数对数求导法适用于求幂指函数y u(x)v(x)的导数及的导数及多因子之积和商的导数多因子之积和商的导数 此方法是先在此方法是先在y f(x)的两边取对数的两边取对数 然后用隐函数求然后用隐函数求导法求出导法求出y的导数的导数 设设y f(x) 两边取对数两边取对数 得得ln y ln f(x) 两边对两边对x 求导求导 得得对数求导法 )(ln1xfyy 例5 求求y x sin x (x0)的导数的导数 xxxxyy

34、1sinlncos1 )sinln(cossinxxxxxx 解法二解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求这种幂指函数的导数也可按下面的方法求. . 解法一解法一 上式两边对上式两边对x 求导求导 得得 两边取对数两边取对数 得得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 于是于是)1sinln(cosxxxxyy 上式两边对上式两边对x x求导求导 得得 说明 严格来说严格来说 本题应分本题应分x 4 x 1 2

35、 x 3三种情况讨论三种情况讨论 但结果都是一样的但结果都是一样的 例6 先在两边取对数先在两边取对数 得得 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4) )41312111(211xxxxyy 解 求函数求函数) 4)(3() 2)(1(xxxxy的导数的导数 于是于是)41312111(2xxxxyy 设设x j(t)具有反函数具有反函数t j-1(x) 且且t j-1(x)与与y y(t)构成复构成复合函数合函数y yj-1(x) 若若x j(t)和和y y(t)都可导都可导 则则)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdt

36、dtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 二、由参数方程所确定的函数的导数 设设 y 与与 x 的函数关系的函数关系是是由由参数方程参数方程)()(tytx确定确定的的 即即 )()(ttdxdy或或dtdxdtdydxdy 若 x(t)和 y(t)都可导 则)()(ttdxdy 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 224 cos0aax 224sin0bby 例例7 7求椭圆求椭圆t

37、bytaxsincos在相应于在相应于4 t点处点处的切线方程的切线方程 所求所求切线的斜率为切线的斜率为abdxdyt4 切点的坐标为切点的坐标为224 cos0aax 切线方程为切线方程为)22(22axabby 即即 bxay2ab 0 ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即的函数的函数y f(x)的二阶导数的二阶导数 解解 )()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 解

38、2cotcos1sintttdxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22(t2np n为整数为整数) 22)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 2cotcos1sinttt(t2n n 为整数) dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat 例例8 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程)cos1 ()sin(t

39、ayttax所确定所确定 三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法相关变化率问题解法: :找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率例9?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以解0604000m则则

40、水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对 tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米dtdV,20米时米时当当 h小时小时米米/104. 0dtdh水面上升之速率水面上升之速率例10. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? ? 500h解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为

41、,则则tan500h两边对两边对 t 求导求导2sectddthdd5001已知已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(本节小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求按隐函数的求 导法则求导导法则求导; ;参数方程求导参数方程求导: : 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则; ;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相

42、互依赖的 变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链 式求导法求解式求导法求解. .n学习要点：学习要点：n1.函数的微分定义；n2.微分基本公式；n3.微分运算法则；n4.微分在近似计算中的应用。第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分第五节第五节 函数的微分函数的微分一、微分的概念 引例引例: : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响, ,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? ? 设薄片边长为设薄片边长为x , ,面积为面积为A , ,则则,2xA 0 xx面积的增量为面积的增量为220)(

43、xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x当当x在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx其其的微分的微分,定义定义: : 若函数若函数)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数) )则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA在)(xf0 x点记作记作yd,df或即即xAyd定理定理: : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，

44、在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在点在点0 x可微, 例例1 1 求函数求函数y x2在在x 1和和x 3处的微分处的微分 dy(x2)|x1x2x 函数函数y x2在在x 3处的微分为处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例例2 2 求函数求函数 yx3当当x2 x 002时的微分时的微分 解 函数函数y x2在在x 1处的微分为处的微分为 解 先求函数在任意点先求函数在任意点x 的微分的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当再求函数当x 2 Dx 0 02时的微分时的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2,

45、 x=0.02 当|x|很小时 |ydy|比|x|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 y是曲线上点的纵坐标的增量; dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+x时二、微分的几何意义则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记xyo)(xfy 0 xMT） xx 0 P Nx ydy)( xo d(x) x1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(

46、csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (x) x1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式微分公式: 导数公式导数公式: 1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxx

47、daln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式微分公式: 导数公式导数公式: 2 2、 微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微, ,则则)(d) 1 (vu )(d)2(uC(C 为常数为常数)(d)3(vu)0()(d)4(vvu分别可微分别可微 , ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变3. 3. 复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数v

48、udd uCdvuuvdd 2ddvvuuv 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例例3 3 ysin(2x1) 求求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 解 把把2x1看成中间变量看成中间变量u 则则 例例4 4 例例 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeex

49、deexxxx211)(1122222dxexexx2212 例例5.5. 设设,0)cos(sinyxxy求求 .dy解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例6.6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. .CC注意: 数学

50、中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.四、微分在近似计算中的应用1.1.函数的近似计算函数的近似计算 )()(0 xoxxfy当当x很小时很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式得近似等式:特别当特别当xx,00很小时很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式: :x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明: 令令)1 ()(xxf得得,

51、 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (180dx29sin的近似值的近似值 . .解: 设设,sin)(xxf取取300 x,62929180 x则2123)0175. 0(485. 06sin6cos)180(例例7.7. 求求18029sin29sin5245解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8.8. 计算计算xx1)1 (例例9.9. 有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球 , , 为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度, ,解: 已知球体体积为已知球体体积为334RV镀铜体积为镀铜体积为 V 在在01.

52、 0, 1RR时体积的增量时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下估计一下, , 每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜 , ,厚度定为厚度定为 0.01cm0.01cm , 2.2.误差估计误差估计 某量的精确值为某量的精确值为 A , 其近似值为其近似值为 a ,aA称为称为a a 的绝对误差的绝对误差aaA称为称为a a 的相对误差的相对误差若若AaAA称为测量称为测量 A A 的绝对误差限的绝对误

53、差限aA称为测量称为测量 A A 的相对误差限的相对误差限误差传递公式误差传递公式 : :已知测量误差限为已知测量误差限为,x按公式按公式)(xfy 计算计算 y 值时的误差值时的误差yydxxf)(xxf)(故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得若直接测量某量得 x ,例10. . 设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量测量D 的的 绝对误差限绝对误差限,mm05. 0D欲利用公式欲利用公式24DA圆钢截面积圆钢截面积 ,解: 计算计算 A A 的绝对误差限约为的绝对误差限约为DAAD

54、D205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差试估计面积的误差 . 计算计算(mm)本节小结 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: :函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法, ,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, ,叫做叫做微分学微分学. . 导数与微分的联系导数与微分的联系: :.可可微微可可导导导数与微分的区别导数与微分的

55、区别: :.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyxfxxf)(limlim0000 xxxfdyxxxx. 0.)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的纵坐标增量的纵坐标增量方程在点方程在点处的切线处的切线在点在点是曲线是曲线而微而微处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf近似计算的基本公式近似计算的基本公式,很小时很小时当当 x00 xxx

56、xdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0时时当当 x.)0()0()(xffxf 导导 数数xyx 0lim基本公式基本公式求求 导导 法法 则则高阶导数高阶导数微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶微分高阶微分第二章第二章 小小 结结1 1、导数的定义、导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲常

57、、反、对、幂、指、三、双曲1818个公式个公式3 3、求导法则、求导法则(1) (1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) (2) 反函数的求导法则反函数的求导法则(3) (3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4) (4) 对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数( (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) )

58、xxfxxfxfnnxn )()(lim)(0)1(0)1(00)( 方法：方法：逐阶求导逐阶求导5 5、微分的定义微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、 微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyxdxxfdy)( 此法则可推广到任意有限项的情形.证证:

59、 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回vuvuvu )(证证: : 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxu推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu

60、v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回定理定理 : 函数函数证: “必要性” 已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点在点 的可导的可导, ,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导, ,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0定理定理 : 函数函数)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,