流体力学06章

1、 6.1 边界层基本概念边界层基本概念 6.1.1 边界层流态 6.1.2 边界层各特征厚度 6.2 二维平面边界层流动 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力 实际流体绕意何形状物体的大雷诺数流动都会在物面附近形成边界层。图6-1所示为空气绕某一翼型的流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。图图6-1 翼型绕流翼型绕流6.1.1 边界层流态边界层流态 边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一层流

2、底层。图6-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成的边界层流动。图图6-2 平板边界层流动平板边界层流动 在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚度dl，则称之为粗糙(表面)平板；否则称为光滑(表面)平板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看成为湍流边界层。 为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度x*，临界截面边界层的厚度称为临界厚度d*。 边界层流态用临界雷诺数Re*来判断， Re*有两种形式：Rex* = Ux*/u和 Red* = Ud*/u，对于平板绕流，Rex* = 5105 310

3、6，Red* 2800。6.1.2 边界层各特征厚度边界层各特征厚度 边界层厚度边界层厚度 边界层理论将大雷诺数流动的流场分为粘性区和无粘区两部分，分别称为边界层和主流区，它们的交界面称为边界层(外)边界，并人为地规定边界层边界上流速为主流区的99(或99.5%), 边界层边界到物面的距离称为边界层厚度d，用数学式表示即有 边界层未脱离物面的情况下，边界层厚度沿流程是增加的，即在迎流的前缘点为零，然后沿流动方向逐渐增加，到送流的后缘点达到最大。 边界层位移厚度边界层位移厚度也称边界层排挤厚度。在边界层内，流速受到壁面的阻滞作用而减小，使通过边界层内的流量比理想流动时减少，这相当于固体壁面沿其法

4、线方向朝流场内移动了一个距离d1后理想流动所通过的流量，这个d1就是边界层位移厚度，如图6-3所示。根据位移厚度d1的定义，对不可压流动有图图6-3 边界层位移厚度边界层位移厚度即 边界层动量厚度边界层动量厚度 与理想流动相比，边界层内流速降低一方面使通过的流体质量减少，另一方面也使通过的流体动量减少。这种动量减小也可以看成是相当于将固体壁面向流场内移动了一个距离d2： 称d2为动量损失厚度，简称动量厚度。边界层的位移厚度与动量厚度之比称为边界层形状因子：H = d1/d2。即 边界层能量厚度边界层能量厚度即边界层能量损失厚度。与理想流体的流动相比，边界层内流速的降低还使流体的动能通量减少。类

5、似于动量厚度，可以定义不可压流动的边界层能量厚度d3：以上定义式表示边界层实际的流量具有的理想流动动能与实际流动动能之差。容易证明，在边界层任一截面，恒有：d d1 d3 d2。即 6.1 边界层基本概念 6.2 二维平面边界层流动二维平面边界层流动 6.2.1 微分方程及其精确解 6.2.2 积分方程及其近似解 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力 二维平面不可压边界层流动是最简单的一类粘性流动，即便如此也只有极少数情况能通过边界层微分方程求得精确解，大多数情况只能通过边界层积分方程求近似解。6.2.1 微分方程及其精确解微分方程及其精确解 微

6、分方程微分方程 在直角坐标系，定常、不可压、不计重力的二维流动N-S方程为 根据小粘度二维平面边界层流动的特点d L以及uy ux对 N-S方程中各变量和参数作数量级估计，有 量级1的量： dx, dx2; ux, dux, d2ux; p, dp; r 量级e 1的量：dy; uy, duy, d2uy 量级e 2的量： dy2; u依照以上量级对N-S方程进行简化分析，可得微微分分方方程程及及其其精精确确解解 以上就是二维平面边界层流动的微分方程，由普朗特在1904年首次提出。虽然普朗特边界层微分方程相对N-S方程大为简化，但仍然是非线性的，只能对特殊情况下的某些层流边界层求得精确解。 求

7、解边界层微分方程时，首先要得到边界层外部势流的速度，使压强p成为已知量，这样未知量只有ux和uy，由边界层微分方程x分式和连续方程一起构成封闭的求解系。注意，普朗特边界层微分方程不适用于d /x 1条件得不到满足的边界层前缘部分，该部分对应的雷诺数范围一般为Rex 25。微微分分方方程程及及其其精精确确解解 微分方程的精确解微分方程的精确解 应用边界层微分方程解决粘性流动问题的一个最简单的例子，是流体绕顺流放置平板的层流边界层流动，即均匀来流绕过沿平行于流动方向放置的一块薄平板(其厚度假设为零)并在平板一侧附近所产生的流动。如图6-4所示，取平板前缘为直角坐标系的原点，则平板前方未受扰动的均匀

8、来流速度U与平板平行。由伯努利方程知，在绕平板流动的势流部分，U = U、dp/dx = 0；而由边界层微分方程知，在边界层中压强沿y方向是均匀分布的，即边界层内任一点处的压强都与同x坐标处边界层外势流的压强相等。微微分分方方程程及及其其精精确确解解 图图6-4 平板层流边界层平板层流边界层 在边界层微分方程和连续方程中引入流函数y，则由流函数定义有: y/x = -uy，y/y = ux，连续方程ux/x + uy/y = 0自动满足，边界层微分方程成为微微分分方方程程及及其其精精确确解解 因为d f2 f3 )上式第一个(即一阶)渐近解就是势流解，即f1 = h + bb 为积分常数。令f

9、(h)的二阶渐近解为f = f1 + f2并代入原常微分方程2f+ff =0积分，得微微分分方方程程及及其其精精确确解解g 为另一积分常数。 类似还可得三阶渐近解f = f1 + f2 + f3甚至更高阶渐近解，本问题中仅考虑到二阶。 级数解由边界层靠近壁面向外求解，渐进解则由边界层外的势流向内求解，两种解在边界层内某一点必须匹配，即两种解在这一点的f、f 、f 值都相等，由此得到A2 = 0.332, b = 1.72, g = 0.231整个流动问题得解。继布拉休斯之后，其他学者也对二维平面层流边界层流动即方程2f + ff = 0进行了数值求解，其中霍华斯在1938年得到的结果对照实验具

10、有更好的准确度。 根据霍华斯的结果，在h = 5.0处ux /U = u /U = f = 0.99155，将它作为边界层边界，通过积分可得平板层流边界层各特征量如下微微分分方方程程及及其其精精确确解解微微分分方方程程及及其其精精确确解解 边界层厚度： 边界层位移厚度： 边界层动量厚度： 壁面切应力系数： 摩擦阻力系数：t0为壁面切应力、FDf为整个平板受到的力，即 以上结果得到试验的证实。图6-5表示顺流放置平板层流边界层的布拉休斯精确解，以及据此绘制的边界层厚度的沿程变化和流速分布。微微分分方方程程及及其其精精确确解解 图图6-5 顺流放置平板层流边界层流动顺流放置平板层流边界层流动 对于

11、非顺流放置平板的绕流流动，理论指出，只要势流流速U与x坐标(沿平板表面)成幂指数关系：U = C x m (C为常数、m为有理数)，边界层微分方程微微分分方方程程及及其其精精确确解解就存在相似性解，这时流速u(x, y)的分布具有这样的性质：如果把任意断面x上的流速分布图形u-y的u和y坐标分别用有关尺度因子变换为量纲一的坐标u0和y0 ，则在任何x断面上u0-y0的分布图形都相同。 顺流放置平板绕流的精确解只是边界层微分方程相似性解中的一个特例，对应于m = 0。6.2.2 积分方程及其近似解积分方程及其近似解 积分方程积分方程 对定常不可压二维平面边界层流动，取控制体1221进行分析，如图

12、6-8所示。在截面1-1和2-2上，流体参数分别为 图图6-8 平板边界层流动平板边界层流动 控制体流体在x方向受到的总作用力为整理并忽略高阶小量后，简化为 通过控制面进入和离开控制体的流体在x方向的动量分别为1-1 截面：2-2 截面：1-2 截面：积积分分方方程程及及其其近近似似解解 将以上4个式子代入动量方程x分式，就得在上式中代入以下边界条件并整理得由于ux u，上式两个积分项分别为位移厚度和动量厚度，所以边界层动量积分方程为积积分分方方程程及及其其近近似似解解 上式由卡门在1921年根据动量定理首次导出，故又称为卡门动量积分方程，其边界条件为 边界层动量积分方程对层流和湍流都适用，对

13、于顺流放置平板的边界层流动则简化为 边界层动量积分方程还可由边界层微分方程在边界层内对y进行积分获得。此外，用流速u乘以边界层微分方程中的每一项并对y进行积分，还可得到边界层能量积分方程。积积分分方方程程及及其其近近似似解解 积分方程的近似解积分方程的近似解 边界层动量积分方程中包含壁面切应力t0，边界层位移厚度d1和动量厚度d2三个未知量；由d1和d2的定义式以及壁面边界条件还可以补充三个方程，但又出现另外两个未知量(流速u和边界层厚度d)，因此边界层动量积分方程在数学上是不封闭的，只宜采用近似方法求解。通常的做法是，首先假定某种速度分布，据此算得d1(d)、d2 (d)和t0(d)，然后将

14、它们代入边界层动量积分方程，最后通过积分求得边界层厚度d以及阻力系数CDf等特征量。 上述做法的特点是，只在物面及边界层外缘满足边界层微分方程；假设的边界层内流速分布与实际不一定吻合。积积分分方方程程及及其其近近似似解解 1) 二维平面层流边界层的近似解二维平面层流边界层的近似解 设边界层内流速分布u/U = sin(py/2d)，则有积积分分方方程程及及其其近近似似解解将以上的d2和t0代入边界层动量积分方程，得由上式解得边界层厚度d，并计算其他特征厚度和系数得微微分分方方程程及及其其精精确确解解 边界层厚度： 边界层位移厚度： 边界层动量厚度： 壁面切应力系数： 摩擦阻力系数： 假设不同的

15、边界层流速分布，得到的边界层各特征厚度和系数也不相同。 2) 二维平面湍流边界层的近似解二维平面湍流边界层的近似解 应用水力光滑圆管湍流的实验成果，可设光滑壁面平板湍流边界层流速分布、壁面切应力分别为积积分分方方程程及及其其近近似似解解就有积分并利用平板前缘点条件x = 0: d = 0，得光滑平板湍流边界层各特征厚度和系数如下将d2和t0代入边界层动量积分方程，得 边界层厚度： 边界层位移厚度： 边界层动量厚度： 壁面切应力系数： 摩擦阻力系数：根据试验数据，上面的摩擦阻力系数应修正为 积积分分方方程程及及其其近近似似解解 在实际中，靠近平板前缘总有一部分是层流边界层，因此摩擦阻力系数计算式

16、须作进一步修正。如图6-9所示，假定层流向湍流的转捩在某一断面突然发生并完成，这样整个平板的阻力就只需将转捩断面之前的那部分湍流阻力代之以层流阻力、其余部分湍流阻力则保持不变。积积分分方方程程及及其其近近似似解解 图图6-9 平板混合边界层平板混合边界层 转捩断面前湍流阻力与层流阻力之差为积积分分方方程程及及其其近近似似解解相应摩擦阻力系数之差为所以光滑平板湍流边界层的实际阻力系数为式中的A值与临界雷诺数Re*的对应关系如下表 6.1 边界层基本概念 6.2 二维平面边界层流动 6.3 二维曲面边界层流动二维曲面边界层流动 6.3.1 边界层方程 6.3.2 边界层分离 6.3.3 层流边界层

17、的卡门-波尔毫森解法 6.3.4 湍流边界层的海特近似解法 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力 流体绕曲面物体流动时，边界层外势流流速将随曲面曲率的变化而改变，压强也随之变化。 分析弯曲壁面附近的边界层流动通常采用随体坐标系，或边界层坐标系。这是一种特殊的正交曲线坐标系，它以壁面前驻点O为原点、以沿壁面指向下游为x坐标、自壁面算起沿壁面外法线为y坐标，图6-11和图6-12分别表示二维曲面和轴对称曲面的随体坐标系。 边界层内任一点的坐标为x = OP0，y = P0P；若Q为P的邻点并且PQ = ds(图6-11)，则ds在过P点的x和y坐标上的投影分别为式中，h1、h2

18、分别为坐标x, y的拉梅系数。以R(x)表示曲面在P0点的曲率半径，df表示点P0和Q0处曲率半径间的夹角，则有 若为轴对称曲面边界层，则R(x)是子午面内壁轮廓线的曲率半径，r(x)为边界层内任意点到对称轴的距离、即回转半径，r0(x)为轴对称曲面上任意点的回转半径。图图6-11 二维曲面随体坐标二维曲面随体坐标图图6-12 轴对称曲面随体坐标轴对称曲面随体坐标 6.3.1 边界层方程边界层方程 微分方程微分方程 对于定常不可压二维曲面和轴对称曲面边界层流动，采用类似于二维平面边界层流动的量级分析方法，可得相应的微分方程，即式中k = 0(二维曲面)或 k = 1(轴对称曲面)。 二维曲面和

19、轴对称曲面边界层微分方程的边界条件为y = 0：u = 0；y = ：u = U边界层外部势流的速度U由理想流体绕同一物面流动的欧拉方程解确定，然后利用伯努利方程得到压强梯度。 和二维平面边界层微分方程类似，二维曲面和轴对称曲面边界层微分方程必须满足限制条件uy / ux 1，/L 1。除此外，还要求R (x) L、r0 (x) L，即曲面的曲率半径、回转半径与流动方向的曲面总长度为相同量级。 积分方程积分方程 对于二维任意形状物体的绕流，采用边界层坐标后，只要uy/ux 1的条件得以满足，就仍可使用卡门动量积分方程： 二维曲面或轴对称曲面边界层外势流的流速和压强不再是常数，导致在逆压梯度(压

20、强沿流动方向增大)的地方有可能发生边界层分离，这时边界层内的流体在曲面的某些部位脱离曲面，使这部分曲面不再起“导流”作用，引起受粘性影响的流场范围和流动阻力迅速增大。6.3.2 边界层分离边界层分离 分离现象分离现象 实际流体在绕曲面流动途中，边界层内流体有可能在外部势流区逆压梯度的作用下从曲面某个部位开始脱离曲面，使部分曲面不再起导流作用，这种现象称为边界层分离。边界层从壁面分离后，如果外部势流区的压强梯度改善为顺压梯度或零梯度，则边界层可重回壁面附近，称之为边界层重新附着；例如流体绕顺流放置平板上的一个阶梯流动时，边界层在阶梯后缘发生分离，在经过阶梯后一段距离将重新回附在平板附近。边界层分

21、离将导致受粘性影响的流场范围和流动阻力迅速增大，在实际中通常需要避免边界层发生分离。 图6-13表示实际的二维圆柱绕流流场。如果整个流场均为无粘势流，则流体从圆柱的前缘D至顶点E是加速的、从顶点E至后缘F是减速的。由伯努利方程知，在DE流段压强沿流动方向逐渐减小(dp/dx0)，称为逆压梯度；在圆柱后缘点F压强恢复到前缘点D的数值，即恢复到驻点压强：rU2/2 (表压)。 实际流动中，圆柱附近为边界层，其中流体因粘性作用而损耗能量，导致在DE流段压能的降低一部分转化为动能，其余则克服粘性阻力而消耗掉；在EF流段，流体动能的降低一部分转化为压能，其余用于克服粘性阻力。图图6-13 二维圆柱绕流流

22、场示意图二维圆柱绕流流场示意图 可见在圆柱后缘点F，压强不能恢复到前缘点D的数值，而是在EF流段的某点S处，物面附近的流体动能被消耗怡尽、流速降为零；在S点的下游，外部势流的压强较高，导致流体在逆压梯度的作用下发生回流，将边界层内的来流挤向主流而使边界层脱离壁面、造成分离。S点称为边界层分离点，在分离点下游形成受粘性影响的回流和尾流区，其间满布了大大小小的旋涡，造成较大的能量损失。尾流中压强比无粘流动时低，因此钝形物体绕流形成的压差阻力远大于细长的流线形物体。 飞机机翼是典型的流线型物体，其尾部逆压梯度很小，使得分离点很靠近尾部而减小阻力。 边界层分离前后流速分布边界层分离前后流速分布 图6-

23、14表示边界层分离点及其上下游流速分布。在分离点上游，dp/dx0，2u/y20、壁面附近产生流速为负值的回流区，且在y=0处有u/y0；在分离点S，壁面上(y=0)有u/y=0，实际中常根据这一条件(即速度的法向导数在物面为零)来确定分离点位置。分离点处流线与物面形成的角度a与雷诺数有关。 分离点下游的粘性流场范围迅速增大，破坏了边界层方程的限制条件：d 12时，出现u/U 1，显然这是不允许的。因此，L的界限为-12 L12。 在速度分布多项式中引入形状因子L并未增加新的变量，L中的未知量d最终由边界层积分方程的求解而确定。 将速度分布多项式代入边界层位移厚度、动量厚度、壁面切应力定义式后

24、进行积分或运算，同时对速度分布形状因子L进行微分，最后应用边界层动量积分方程，就得到二维曲面绕流层流边界层的求解方程组，即 卡卡门门 波波尔尔豪豪森森解解法法卡卡门门 波波尔尔豪豪森森解解法法 初始截面条件为x = 0：d = 0, L= 0(尖前缘)；或x = 0：U = 0, L = 7.052(钝前缘)。 求解时，首先解得二维曲面物体的势流速度分布U(x)及其一阶导数U和二阶导数U，然后对速度分布因子L的微分方程进行数值求解得到L(x)，再由L的定义式解得d、由L代入速度分布多项式解得u/U，最后由简化后的边界层动量积分方程、边界层的位移厚度式和动量厚度式解得d1、d2和t0，并由限制条

25、件t0 = 0 (或L = -12)得到边界层分离点位置xs，至此，整个层流边界层问题得解。卡卡门门 波波尔尔豪豪森森解解法法6.3.4 湍流边界层的海特近似解法湍流边界层的海特近似解法 流体绕二维曲面湍流边界层的近似解法属半经验方法，涉及的经验公式多且在不断完善。 海特卷吸法以边界层动量积分方程和卷吸积分式为基本方程。因这2个基本方程是不封闭的，故采用壁面切应力经验公式Cf = Cf (H, Red2)作为补充方程，同时还进一步假定一个卷吸速度分布 ，其中的 也由经验公式给出。 以上基本方程和经验公式一起构成数学上封闭的方程组，在给定初值后就能进行数值求解。 卷吸积分关系式卷吸积分关系式 卷

26、吸速度UE是单位时间内通过边界层边界的单位面积从外部势流进入边界层的体积流量，如图6-15所示，图中虚线部分为控制体。由质量守恒易得 上式称为卷吸(流量)积分关系式。海特应用的卷吸速度分布以及湍流边界层形状参数的经验公式分别为 图图6-15 湍流边界层的卷吸速度湍流边界层的卷吸速度 当地阻力系数经验公式当地阻力系数经验公式 海特建议采用的当地阻力系数经验公式为 求解方法求解方法 将边界层动量积分方程和卷吸关系式改写成然后进行数值求解。具体步骤为，先求解边界层外部势流得到U(x)，再由给出的初始截面(通常为转捩截面)上的d2和H值开始进行数值积分(例如采用常用的龙格-库塔积分方法进行)，求解 ，直至Cf = 0、得到分离点位置为止。实际计算表明，分离点出现的位置对应的H值位于1.8和2.8之间。 6.1 边界层基本概念 6.2 二维平面边界层流动 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑二维圆柱滑动轴承润滑 6.4.1 雷诺润滑方程 6.4.2 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力 直接接触的固体壁面作相对运动时，因壁面粗糙部分的碰撞及不同壁面材料间的粘合而产生较大摩擦阻力，若不采取润滑措施减小摩擦将引起壁面过快