极限的概念PPT学习教案

1、会计学1极限的概念极限的概念 从表中可以看到，当截取的天数越来越多时，剩余木棒的长度越来越小，并且随着天数的无限增大，剩余长度可以无限的减小，其绝对值可以小于任意给定的正数。如要 只需 ，即截取10天0.001y 10 x 如要 只需 ，即截取20天0.000001y 20 x 如果某个变量 的变化趋势是：其绝对值 越来越小，可以小于任意事先给定的正数，则称此变量 无限趋近于0，记为 。yyy0y 如果某个变量 的变化趋势是：其绝对值 越来越大，可以大于任意事先给定的正数，则称此变量 趋近于无穷大，记为 。yyyy 第1页/共37页定义：设 是一个变量， 是一个常数 (1)如果 无限趋于0，则

2、称 的极限为0，并称 为无穷小量，记为 ； (2)如果 无限趋于0，则称 的极限为 ，记为 ； (3)如果 趋于 ，则称 的极限不存在，并称 为无穷大量，记为 。yyA0y yyyA yAyAy yyy 0 x 表示变量 无限趋于0 xxa表示变量 无限趋于常数xax 表示变量 沿着 轴正向趋于xx x 表示变量 沿着 轴负向趋于xx 第2页/共37页当 是 的函数时， 的变化趋势由 的变化趋势决定yxxyx 例1：判断下列函数当 和 时，是否为无穷小量？0 x (1)(2)(3)(4)1yx 3yx xye xye oxyxy1 解：由函数图形可知10 xyx 时时，10 xyx 时时，为无

3、穷小量为无穷大量第3页/共37页oxy3yx 由函数图形可知300 xyx时时，3xyx 时时，3xyx 时时，为无穷小量为无穷大量第4页/共37页oxyxye )1 , 0(由函数图形可知01xxye时时，xxye 时时，0 xxye 时时，oxy)1 , 0(xye 由函数图形可知01xxye 时时，0 xxye 时时，xxye 时时，为无穷大量为无穷小量为无穷小量为无穷大量第5页/共37页y例2：指出当 趋于何值时， 是无穷小量？x(1)(2)(3)1yxlnyx 1xyeoxy1 1yx110 xyx 时时，为无穷小量lnyx oxy(1,0)1ln0 xyx时时，为无穷小量第6页/共

4、37页oxy1xye010 xxye 时时，为无穷小量说明：(1)自变量不同的变化趋向得出因变量的变化趋向是不一样的。(2)看函数的变化趋势主要是从函数的图像上去看，所以要 熟悉函数的图像。第7页/共37页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第8页/共37页二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，

5、则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽第9页/共37页二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽第10页/共37页二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽第11页/共37页“割之弥细，所失割

6、之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第12页/共37页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第13页/共37页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣

7、失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第14页/共37页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第15页/共37页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第16页/共37

8、页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽二、二、 时，函数时，函数 的极限的极限x ( )f x第17页/共37页R正十二边形的面积正十二边形的面积2S正正 形的面积形的面积126 nnS1SS 所失面积所失面积2SS 所失面积nSS 0nSSn 时时，正六边形的面积正六边形的面积1S1S2SnnSS 即即当当时时，的的极极限限为为第18页/共37页定义：如果当 时，函数 与常数 的差 为无穷小量，即 ，则称 时，函数 以常数 为极限，记为：( )f xAx (

9、)f xA ( )f xx ( )0f xA Alim( )xf xA 类似可定义当 时以及 时，函数 的极限x x ( )f xlim( )xf xA lim( )xf xB lim( )lim( )xxf xf x 一般地lim( )xf x存存在在的的充充分分必必要要条条件件为为：lim( )lim( )xxf xf x和和都都存存在在并并且且相相等等第19页/共37页例3：求下列极限（常用要记住的！）1limxc （ ）12limxx （ ）(3)limsinxx(4)limcosxx 解：1limxcc （ ）12lim0 xx （ ）(3)limsinxx不不存存在在(4)limc

10、osxx不不存存在在例4：求下列极限（常用要记住的！）1limxxe （ ）2limxxe （ ）(3)lim01xxaa 其其中中解：1limxxe （ ）2lim0 xxe （ ）极限不存在或者无穷大量第20页/共37页(3)lim0,01xxaa 其其中中xya )1 , 0( (01)a oxy第21页/共37页三、三、 时，函数时，函数 的极限的极限0 xx( )f x定义：如果当 时，函数 与常数 的差 为无穷小量，即 ，则称 时，函数 以常数 为极限，记为：( )f xA0 xx( )f xA ( )f x0 xx( )0f xA A0lim( )xxf xA 000 xxxxx

11、所所谓谓，即即 趋趋于于但但不不等等于于000lim( )( )xxf xf xxx 那那么么，在在定定义义时时，只只要要求求函函数数在在左左右右两两侧侧有有定定义义，并并不不要要求求在在点点有有定定义义。00lim( )( )xxf xf xx即即是是否否存存在在与与函函数数在在处处是是否否有有定定义义无无关关！0 xx第22页/共37页-3-2-112342.557.51012.515xy11223yxx22(1)lim(23)11xxx -1-0.50.510.511.522.5xye 0(2)lim1xxe 2201sin(1)lim(23);(2)lim;(3)limln(9);(4

12、)limxxxxxxxxexx 例5：求下列极限211(5)lim1xxx 1第23页/共37页-11231234211xyx 2345-0.20.20.40.60.8sin xyx -2-11232.12.22.32.4ln(9)yx 1(3)limln(9)ln10 xx sin(4)lim0 xxx 211lim21xxx 21(5)111xxxx 时时，ln102以上几个都是有定义且有极限的情况此例是无定义而有极限的情况第24页/共37页-0.4-0.20.20.4-1-0.50.51xy(6)如果 ，求1cos0( )10 xxf xx 0lim( )xf x0lim( )xf x不

13、存在11cos010 xxyx 此例是有定义而无极限的情况第25页/共37页第二节 极限的运算法则一极限的四则运算法则定理定理lim( ),lim( ),(1)lim( )( );(2)lim( )( );( )(3)lim,0.( )f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设设则则其其中中推论推论1 1lim( ),lim( )lim( ).f xccf xcf x 如如果果存存在在 而而 为为常常数数 则则常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.lim( ),lim( )lim( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正

14、整整数数 则则推论推论2 2第26页/共37页lim( ),lim ( )f xg x该法则成立的前提是： 都存在23031023031 lim(23)2 lim(7sin4cos )3 lim4 lim(1)(5)lim(1)ln(10)xxxxxxxxxxxxex （）； （ ）；（ ）； （ ）； 例1:求下列极限解解:23lim(23)xxx2333limlim2lim3xxxxx2333(lim)2limlim3xxxxx 232 3318 第27页/共37页02 lim(7sin4cos )xxx （ ）007limsin4limcosxxxx 7 04 14 03lim1xxe

15、（ ）01limln(10)ln10 xxex 0limln(10)ln100 xx334lim(1)112xx （ ）3333lim(1)28xx2(5)lim(1)1xx10102lim(1)11xx2(lim0)xx 定理：初等函数在其定理：初等函数在其定义区间内任一点的定义区间内任一点的极限值等于函数值。极限值等于函数值。第28页/共37页二、计算有理分式极限的运算法则 （1）计算有理分式在 极限的运算0 xx2222222122(1)lim;(2)lim;(3)lim322xxxxxxxxxxxx例2：求下列极限22(1)lim(21)11xxx解解: :2lim(3)10 xx 2

16、22111lim1131xxxx 222(2)lim2xxxx 因为分母的极限为0，而分子极限为8( )( )( ),( )P xP xQ xQ x设设、都都是是多多项项式式 则则称称为为有有理理分分式式第29页/共37页222(3)lim2xxxx 222lim(2)0,lim(2)0 xxxxx所以极限的四则运算法则不能用22(2)(1)xxxx但但是是2222(2)(1)limlim22xxxxxxxx2lim(1)xx3 从而可以总结出下列规律：0( )( ),P xQ xx设设、都都是是多多项项式式为为有有限限数数，则则 当 时， （代入即可）0()0Q x 000()( )lim(

17、 )()xxP xP xQ xQ x= =00()0,()0P xQ x0( )lim( )xxP xQ x = = 当 时，00()0,()0P xQ x0( )lim( )xxP xQ x= = 当 时， 约去零因子0()xx 后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）第30页/共37页22221232252(1)lim;(2)lim54372xxxxxxxxxx例3：利用上面的规律求下列极限解解: :22132lim54xxxxx 22(1)(1)13 126,(1)15 140PQ 22(2)(2)2 25 220,(2)3 27220PQ 分子分母分解因式22252(21)(2),3

18、72(31)(2)xxxxxxxx2222252(21)(2)limlim372(31)(2)xxxxxxxxxx2(21)lim(31)xxx 35 第31页/共37页（2）计算有理分式在 极限的运算x 222222142(1)lim;(2)lim;(3)lim5424xxxxxxxxxxx例4：求下列极限解解: :由于当 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在x 所以极限的四则运算法则不能用在分子分母中同时除以 的最高次幂，可化为极限存在的情况x2222212221(1)limlim54541xxxxxxxxxx 2002100222414(2)limlim122xxxxxxx 222122(3)limlim441xxxxxxx 0 第32页/共37页从而可以总结出下列规律：0,0,nmabmn 当当和和 为为非非负负整整数数时时有有110110,lim0,nmnnnnmmxmmanmba xaxanmb xbxbnm 当当当当当当( )( )P xQ x设设、分分别别是是n n次次和和m m次次多多项项式式，则则4345236221(1) (12 )(1)lim;(2)lim54(13 ) (12 )xxxxxxxxxx例5：利用以上规律求下列极限223(3)lim32xxxx 第33页/共37页432221(1)lim54xxxxx 解解: :4536(1) (12 )