大学高数公式

1、高等数学公式考前必备平方关系：sin2( a )+cosA2( a )=1 tanA2( a )+ 仁secA2( a )C0tA2( a )+仁CSCA2(a )积的关系：sina=ta na*cosacosa=cota*sinatana=si na*secacota=cosa*cscaseca=ta na*cscacsca=seca*cota倒数关系:tanacota=1sinacsca=1cosaseca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角 A的对边比斜边 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，两角和与差的三角函数:C0S( a + 3 )=cosa -sincos 3 s

2、in 3cos( -a )=cos a - cos 3 +sin a - sin 3sin( a3 )=s inacos 3 士 cos asin 3tan( a + 3 )=(tana +tfean a )/(1ta n 3 )tan( -0 )=(tan-taa 3 )/(1+tan a - tan 3 )三角和的三角函数:sin( a + 3 + y )=sin a cos cos 丫 +cos a sincossiY +cos sin Bcos $n ysin 丫COS( a + 3 + Y )=cos acoscoB a CosiY-sisinaY， cos B -sisinay s

3、in $ cos 丫tan( a + 3 + y )=(tana +tdnn 3a+tartaY 3 tartaY (1 tatanB 3，tatany 丫 tan a )辅助角公式:As in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)s in(a +t)，其中si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2) cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tan t=B/AAs in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)cost), tan t=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos a =2/(tana +cot a )cos(2 a )=cosA2

4、si门人2() a )=2cosA2=1-a9i门人2(a )tan(2 a )=2tan -tanA2l(a )三倍角公式sin(3 a )=3s4sinA3( a ) cos(3 a )=4cosA33coa )半角公式:sin( a /2)= 土 vcosia )/2)cos( a /2)= V (1+cos a )/2)tan( a /2)= -c(osi a )/(1+cos a )=sina /(1-ccoss a )/s)=(1 a降幕公式sinA2( a -cos(2 a )/2=versin(2a )/2 cosA2( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2

5、a )/2 tanA2( a )=os(2 a )/(1+cos(2 a )万能公式:sin a =2tan( a /2)/1+ta门人2(a /2)cos a =tlanA2(a /2)/1+ta门人2(a /2)tan a =2tan( a /20/112(a /2)积化和差公式:sin a cos 3 =(1/2)sin(a 供)+sin(acos a sin 3 =(1/2)sin(-sin( -a+旳)cos a cos 3 =(1/2)cos(a-3)D+cos(asin a sin-(132)cos(-cos)和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin(a + 3 3/2

6、/os(asin -sin 3 =2cos( a + 3 )/28射2acos a +cos 3 =2cos(a + 3 -)/2)os (acos -cos 3 =sin( a + 3 )/2s3)/2 a推导公式tan a +cot a =2/sin2atan -cot a-2cot2 a1+cos2 a =2cosA2 a1-cos2 a =2sinA2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)A2三角函数的角度换算公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin( 2kn +a)=sinacos( 2kn +a)=cosatan( 2kn +a)=tan

7、acot( 2kn +a)=cota公式二:设a为任意角，n 三角函数值与 a的三角函数值之间的关系: sin (n + a)=sin acos (n + a)=cos atan (n + a)= tan acot (n + a)= cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin ( a)= sin aCOS (a)= COS atan ( a)= tan aCOt (a)=COt a公式四:利用公式二和公式三可以得到 sin(n a)= sin aCOS(n a)=COsatan(n a)=tanaCOt(n a)=COtan a与a的三角函数值之间的关系:公式五:利用公式一

8、和公式三可以得到 sin ( 2 n a)= sin aCOs ( 2 n a)= COs atan ( 2 n a)=tan aCOt ( 2 n a)=COt a2 na与a的三角函数值之间的关系:公式六:n /2 土及3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系:sin(n/2 +a)=cosacos(n/2 +a)= sin atan(n/2 +a)=COt aCOt(n/2 +a)= tan asin(n/2 a)=cosacos(n/2 a)=sinatan(n/2 a)=COtaCOt(n/2 a)=tanasin(3n /2 +a)=COs acos( 3n/2+a)= sin

9、atan( 3n/2+ a)=COtaCOt( 3n/2+ a)=tanasin( 3n/2a)=cosaCOS ( 3 n 12 a)= sin atan ( 3 n 12 a)= cot aCOt ( 3 n 12 a)= tan a (以上k Z)高等数学公式(arcsin x)(arccos x) (arctgx)(arcctgx)1厂x21Cx211 x11 x2(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex) cscx ctgx (ax) ax lna1(log ax)xl na导数公式：tgxdx In cosx C ctgxdx In

10、sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx1ax厂2 arctgCaxaa卓那么a Cxa2a|x adx22a x丄ln2a a xdxx2x arcsinadxse& xdx tgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin2 xsecxtgxdxsecx Ccscxctgxdxcscx Caxdxx aCshxdxIn achxCchxdxshxCdxln( xx2 a2)Cx22 a2I n sinn xdxo x2 a2dxa2 x2dx2cosn xdxInx - x22a2x a222M|n(x- x2 a2)

11、2a22一 In x V x a22axarcs in C2a根本积分表:三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1 u1 u2dx2du1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shx双曲余弦：chx双曲正切:thxxxe e2xxe e2shx exchx exsin x lim1x 0 xlim(1丄广x xx ex earshxarchx2ln(x x1)ln(xx2 1)arthx三角函数公式:诱导公式：函数角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 -acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ct

12、g 0-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180 + a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg o-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:和差化积公式:si n()sincoscossinsinsin2si n _ ecu22cos()cossinsincostg()tgtgsinsin2 cos-2-sin 一21 tgtgcoscos2cos-ctg()Ctgctg

13、12cos2ctgctgcoscos2 sin -sin -2 2弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg倍角公式:co平s均曲率:針2cos22cos| s 1 1 2sin-ctg21M点的曲率 lim2ctg:从M点到M点，cos1 1 ld 1y|I s|lds|；(Ty2)3tg3s 0切线斜率的倾角变 化量；s. MM弧长 sinsi n3e ecos3直线2 K3Sih 4sin4 cos33 cos3tgtg33tg2半径为a的圆：K-半角公式:1cossind22tg1cos1 cossintg2.1cossin1 cos-正弦定理:cos2;1coscos2ctg 1

14、 cos1 cossinsin1 cosa bsin A sin Bsin C2R2 2 2-余弦定理： cab 2abcosC-反三角函数性质:arcs in xarccosxarctgx arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹(Leib niz)公式:(uv)(n)nC：u(n k)v(k)(n)vnu(n 1)vn(n2!u(n 2)vn(n 1) (n k 1) k) (k) k!uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄包型丄aF(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率：定积分的

15、近似计算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ayn ib a.、(y。 yiynJnb a1(yo yn) yin 2b抛物线法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：F为引力系数f(x)dxr函数的平均值：y均方根：(b厂dt.b aa空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d皿1皿2住2 xjjkaxayaz C bxbybz (y2 y 1)2 (Z2 Zj2向量在轴上的投影：PrjuAB 卜片cos ,是AB与u轴的夹角。Pr j u(a1 a?)Pr ja1 Prja?a b a b CO

16、Sax bxay by az bz ,是- -个数量两向量之间的夹角：COSaxbxay byazbz2222ayazbxbybza b sin .例：线速度：v w r.向量的混合积:abc(a b) c代表平行六面体的体积。axayazbxbybzc c cxyzabc cos为锐角时,平面的方程:AxBy Cz0D1 点法式：Ax x0 Byy。Cz z。0,其中 n A B, C, Mx。，y。, z。2、一般方程：Ax By Cz D3、截距世方程：X y Z 1 a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d空间直线的方程:x Xmy ynzz0pt,其中sx m n, p;参数方程

17、：yzXy0z0mtntPt二次曲面:1、椭球面:x22y22z221abc222、抛物面：xyz,p,q同号2p2q3、双曲面：x2y 2z2单叶双曲面:xyz1a2b2c2x2y 2z2双叶双曲面:x: 2 ay b2z2 c1马鞍面多元函数微分法及应用全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)u z x当u u(x,y), v v(x, y)时， du dx dyx y隐函数的求导公式：dv隐函数F(x,y) 0,dydx隐函数 F(x,y,z) 0,隐函数方程组：(x，y，u，v)G(

18、x,y,u,v)1J1J(F,G)(x,v)(F,G)(y,v)y微分法在几何上的应用:du udx dy dzy zfy(x,y) yxfx(x, y) xuzvtvtz u z udxxdy yFx可FxFz1J1Jd2y dx2(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)fz(F,G)(u,v)dxF,GFvGvx空间曲线yz(t)(t)在点M (x0, y0, Zq )处的切线方程:(t)x Xq(ty yzzq(to)在点M处的法平面方程:(to)(x Xq)(to)(y yo)(to)(ZZq)0假设空间曲线方程为:F (x, y,z) 0g(x鳥0,那么切向量TFyGyIf Gx，G

19、xG z Gz G x GxFyGy曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(xo,yo,zo),那么: 1、 过此点的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, Zq), Fz(x, yo,z。)Zq)2、 过此点的切平面方程 :Fx(xo,yo,zo)(x Xq) Fy(xo,yo,zo)(y yo) Fz(Xq, yo ,Zq)(z3、过此点的法线方程:x Xqy yoZ ZqFx(xo,yo,zo) Fy(xo, yo,zo) Fz(xo, yo,zo)方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为： f cos sinl xy其中为x

20、轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x,y) e,其中e cos i sinj，为I方向上的单位向量f是gradf (x, y)在I上的投影设 fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0，令:fxx(xo, yo) A, fxy(xo, yo)ACB20时，AO,(xo,yo)为极大值AO,(xo,yo)为极小值那么：ACB20时，无极值ACB20时,不确定多元函数的极值及其求法：B,fyy(Xo,yo) C重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rd

21、rdDD曲面z f (x, y)的面积Adxdy平面薄片的重心：x匹Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量： 对于X轴I X平面薄片(位于xoy平面)y2 (x, y)d ,D对Z轴上质点M (0,0, a), (ay (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y0)的引力:(x,y)xdx3，222至(x y a )柱面坐标和球面坐标：Fy(x, y)yd2 2(x yFzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD / 2(x3a2)2x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F

22、(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐标：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv,2d0M转动惯量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f (x, y)在L上连续,L的参数方程为:(t)(t)f(x,y)ds f (t),L: 2 2(t)h (t) (t)dtr(,)F(r,0)r2 sin其中Mdrdvdv,Iz(x2y2) dv),那么:特殊情况:(t)P(x,y)dx

23、Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dtL两类曲线积分之间的关系：Pdx Qdy (PcosLLL上积分起止点处切向量 的方向角。Qcos)ds其中和分别为QP格林公式：()dxdy Pdx Qdy格林公式：Q(P)dxdy:Pdx Qdyd xylDxyL当P y,Q x,即：Q P 2时，得到D的面积:Adxdy -xdyydx高数 复习 公式 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设L的参数方程为，贝归y x yd 2l平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；Q p2、 P(x,y), Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，且一=

24、一。注意奇点，如(0,0)，应x y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在卫=时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x y 0(xo，yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)Rl z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x,

25、y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy 匚(P cos Qcosxyz高斯公式的物理意义通量与散度:的流体质量，假设Rcos )dsdiv0,那么为消失通量：A ndsAmds(PcosQ cosRcos)ds,因此，咼斯公式又可写成div Advo Ands斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：R QPRQ

26、P()dydz (-)dzdx()dxdy$ PdxQdyyzz xxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQ Fyzzxx y散度：divxyijkRdzR，即：单位体积内所产生z旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx QdyRdz : A tds常数项级数:n1 q1 q等差数列：11)n21是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：1时，级数收敛设：limnUn，那么1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： lim仏，那么1时，级数发散n U

27、n1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;lim sn存在，那么收敛；否那么发 散。n交错级数U1U2U3U4(或U1U2U3,Un0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足UnUn 1limun 0,那么级数收敛且其和s U1,其余项rn的绝对值口山1绝对收敛与条件收敛:(1) u1 U2 Un ，其中Un为任意实数；(2) 5U2 U3Un如果(2)收敛，那么(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而 收敛，那么称(1)为条件收敛级数。调和级数：1发散，而(1)收敛;nn级数：12收敛；np级数：np (:黑幕级数：1 x X2X 1时，收敛于1 X对于级数(3)a0a

28、ixa2X2anXn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，那么必存x R时收敛在R,使x R时发散，其中R称为收敛半径。X R时不定求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an， an 4是(3)的系数，那么0时，R 0时，R时，R 0X 1时，发散函数展开成幕级数：函数展开成泰勒级数：f (x)f(x0)(x x0) -x0)2(x x0 )n2!n!余项：Rn亠(x(n 1)!x)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：limnRnX00时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f(O)x 堺xn!些函数展开成幕级数:m(1 x)2!m(m 1) (m n 1) n

29、Xn!1)sinx x3X3!5 X5!1)n2n 11(2n 1)!欧拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix eixe2ixixe e2三角级数:a0 f(t) A0ApSin(n t n)(ancosnx bn sin nx)n 12 n 1其中， ao aAo，an An sin n， bn An cos n，t X。正交性:l,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在,上的积分=0。傅立叶级数：f(x)ao2(an cosnx bnsinnx), 周期n 11an f (x)cosnxdx (n 0,1,2)其中1bn f (x)sinnxdx(n 1,2,3 )丄丄丄2242622(相加)62一(相减)12正弦级数：an0, bn2f (x)