CG曲线和曲面PPT学习教案

1、会计学1CG曲线和曲面曲线和曲面2021-9-272第第2页页/共共100页页第1页/共100页2021-9-273第第3页页/共共100页页第2页/共100页2021-9-274 1 , 0 )(ttppdtdxndtdyndtdxmdtdymdxdy/第第4页页/共共100页页第3页/共100页2021-9-275第第5页页/共共100页页第4页/共100页2021-9-276第第6页页/共共100页页第5页/共100页2021-9-277图8-1 曲线的拟合第第7页页/共共100页页第6页/共100页2021-9-278图8-2 曲线的逼近第第8页页/共共100页页第7页/共100页20

2、21-9-279图8-2 曲线的逼近第第9页页/共共100页页第8页/共100页2021-9-2710t ,t t)(i1i0tppii参数连续性几何连续性第第10页页/共共100页页第9页/共100页2021-9-2711)()(0)1()1(1iiiitptp第第11页页/共共100页页第10页/共100页2021-9-2712)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且第第12页页/共共100页页第11页/共100页2021-9-2713(a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性第第13页页/共共100页页第12页/共100页2021-9-27

3、141阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。)()(0)1()1(1iiiitptp第第14页页/共共100页页第13页/共100页2021-9-27150,1 t)()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnn第第15页页/共共100页页第14页/共100页2021-9-27160,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn基矩阵基矩阵几何约束条件几何约束条件基函数基函数(ble

4、nging function)，或称混合函数混合函数。第第16页页/共共100页页第15页/共100页2021-9-27170,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx第第17页页/共共100页页第16页/共100页2021-9-2718第第18页页/共共100页页第17页/共100页2021-9-2719第第19页页/共共100页页第18页/共100页2021-9-272011) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp第第20页页/共共100页页第19页/共100页2021-9-2721CTdcbattt

5、dddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(2323第第21页页/共共100页页第20页/共100页2021-9-2722hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC1111100010100123311220123010011111000Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。第第22页页/共共100页页第21页/共100页2021-9-27230,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh第第23页页/共共100页页第22页/共100页2021-9-2724 )(2)(32)(132)(23323223123

6、0tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk第第24页页/共共100页页第23页/共100页2021-9-2725H(t)t0.60.81-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t)图8-4 Hermite基函数第第25页页/共共100页页第24页/共100页2021-9-2726第第26页页/共共100页页第25页/共100页2021-9-2727图8-5 Bezier曲线的例子第第27页页/共共100页页第26页/共100页2021-9-2728Bernstein基函数具有如下形式：注意：

7、当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。 nknkktBENPtp0,0,1 t)()(n,0,1,k 11!)(,knkknknknkttCttknkntBEN第第28页页/共共100页页第27页/共100页2021-9-27290,1 t )1 ()()(10101 ,kkktPPttBENPtp第第29页页/共共100页页第28页/共100页2021-9-2730001201222102202,)(2)2( 0,1 t )1 (2)1 ( )()(PtPPtPPPPtPttPttBENPtpkkk21020010221211)(PPPtttp第第30页页/共共100页页第29页/共100

8、页2021-9-273133 , 323 , 213 , 103 , 033221203303 ,)()()()( 0,1t )1 (3)1 (3)1 ( )()(PtBENPtBENPtBENPtBENPtPttPttPttBENPtpkkk33 , 323 , 223 , 133 , 0)()1 (3)()1 (3)()1 ()(ttBENtttBENtttBENttBEN第第31页页/共共100页页第30页/共100页2021-9-2732图8-6 三次Bezier曲线四个Bezier基函数0tB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)第第32页页/共共100页页第31页/

9、共100页2021-9-2733bebeGMTPPPPttttp 0,1 t 00010033036313311)(321023第第33页页/共共100页页第32页/共100页2021-9-27340, 11, 000, )0()0()0( )0()0(PBENPBENPBENPBENPpnnnnnnknkknnnnnnnknkkPBENPBENPBENPBENPp ) 1 () 1 () 1 ( ) 1 () 1 (, 11, 000,第第34页页/共共100页页第33页/共100页2021-9-2735)()()1 ()!) 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1)()

10、1 ()!( !)(1,1, 1)1()1()1(111,tBENtBENnttknknnttknknnttknttkknkntNBEnknkknkknkkknknknk第第35页页/共共100页页第34页/共100页2021-9-2736nknkkknnnnnnnknknkktBENPPntBENPPtBENPPtBENPPntBENtBENPntp11, 111, 111, 1121, 00101,1, 1)()()()()()()()()()()()()0(01PPnp)() 1 (1nnPPnp第第36页页/共共100页页第35页/共100页2021-9-2737)(3) 1 ()(3

11、)0(2301PPpPPp第第37页页/共共100页页第36页/共100页2021-9-2738)()(1() 1 ()()(1()0(1120112nnnnPPPPnnpPPPPnnp )2(6) 1 ()2(6)0(321210PPPpPPPp 第第38页页/共共100页页第37页/共100页2021-9-27390)1 ()!( !)(,knknkttknkntBEN1)1()1 ()!( !)(00,nknknknknkttttknkntBEN第第39页页/共共100页页第38页/共100页2021-9-2740knCnknknknCknkn 1)!( !1nknkknknkknknk

12、ktBENztztBENytytBENxtx0,0,0,)()(0,1 t )()()()(第第40页页/共共100页页第39页/共100页2021-9-2741为实现G1连续，则有：)(3)0()(3) 1 (012231QQpPPp) 1 ()0(12pp)(2301PPQQ亦即：第第41页页/共共100页页第40页/共100页2021-9-2742)2()2() 1 ()0(32121012PPPQQQpp 图8-7 两段三次Bezier曲线的连接P0P1P2P3(Q0)Q1Q2Q3第第42页页/共共100页页第41页/共100页2021-9-27430,10,1v)(u, )()(),

13、(00,minjnjmijivBENuBENPvupBENi,m(u)与BENj,n(v)是Bernstein基函数： jnjjnnjimiimmivvCvBENuuCuBEN)1 ()()1 ()(,第第43页页/共共100页页第42页/共100页2021-9-2744第第44页页/共共100页页第43页/共100页2021-9-27450,10,1v)(u, )()(),(10101 ,1 ,ijjijivBENuBENPvup1 , 10, 11 , 00, 0)1 ( )1 ()1)(1 (),(uvPPvuvPuPvuvup第第45页页/共共100页页第44页/共100页2021-9

14、-27460,10,1v)(u, )()(),(20202,2,ijjijivBENuBENPvup第第46页页/共共100页页第45页/共100页2021-9-27470,10,1v)(u, )()(),(30303 ,3 ,ijjijivBENuBENPvup第第47页页/共共100页页第46页/共100页2021-9-2748图8-9 双三次Bezier曲面及其控制网格P0,0P3,0P0,3P3,3P1,0P2,0P0,1P0,2P1,1P2,1P3,1P1,2P2,2P2,3P1,3P2,3第第48页页/共共100页页第47页/共100页2021-9-2749TTbebeVPMUMv

15、up),(123uuuU 123vvvV 0001003303631331beM3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0PPPpPPPPPPPPPPPPP第第49页页/共共100页页第48页/共100页2021-9-2750nmnmPpPpPpPp, 00,0, 0) 1 , 1 ( ;) 1 , 0(;)0 , 1 ( ;)0 , 0(2控制网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界，这四条边界均为Bezier曲线。第第50页页/共共100页页第49页/共100页2021-9-2751

16、第第51页页/共共100页页第50页/共100页2021-9-2752第第52页页/共共100页页第51页/共100页2021-9-2753图8-10 Beziet曲面片的拼接边界线P0,0Q3,0P3,3(Q0,3)P0,3Q3,3P3,1(Q0,1)P3,0(Q0,0)P3,2(Q0,2)第第53页页/共共100页页第52页/共100页2021-9-2754已知两张双三次Bezier曲面片：TTbebevPMUMvup),(1TTbebeVQMUMvup),(2)3 , 2 , 1 , 0,(,jiPPji)3 , 2 , 1 , 0,(,jiQQji第第54页页/共共100页页第53页/

17、共100页2021-9-2755第第55页页/共共100页页第54页/共100页2021-9-2756de Boor点、B样条控制多边形、B样条基函数 nkk,mk(t)BPp(t)0第第56页页/共共100页页第55页/共100页2021-9-2757 tBtttttBtttttBtttBmkkmkmkmkkmkkmkkk1, 111,1,1k1 ,)( 0t 1)(其它若第第57页页/共共100页页第56页/共100页2021-9-2758第第58页页/共共100页页第57页/共100页2021-9-2759)2()()(, 2, 1,ttBttBtBmkmkmk)()(, 0,tktBt

18、Bmmk第第59页页/共共100页页第58页/共100页2021-9-2760 tBmtmktBmkttBtBmkmkmkk1, 11,1 ,11)( 01iti 1)(其它第第60页页/共共100页页第59页/共100页2021-9-2761其它1t0 01)(1 , 0tB2t11t0 2 ) 1()2()( )()2()()(1 , 01 , 01 , 11 , 02, 0tttBtttBtBtttBtB第第61页页/共共100页页第60页/共100页2021-9-27623t2 )3(212t1 )3)(1(21)2(211t0 21 ) 1(23)(2 )(222, 01 , 03

19、, 0tttttt tBttBttB第第62页页/共共100页页第61页/共100页2021-9-27634t3 )4(213t2 )4)(2(21)3)(1(212t1 ) 1(21)(223 , 1tttttttB5t4 )5(214t3 )5)(3(21)4)(2(213t2 )2(21)(223 , 2tttttttB第第63页页/共共100页页第62页/共100页2021-9-27646t5 )6(215t4 )6)(4(21)5)(3(214t3 )3(21)(223 , 3tttttttBtBk,3(t)214351图8-11 四段二次(三阶)均匀B样条基函数B0,3(t)B1,

20、3(t) B2,3(t)B3,3(t)第第64页页/共共100页页第63页/共100页2021-9-2765均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：)(21)(),(21)(3210PPendpPPstartp2301)(,)(PPendpPPstartp图8-12 四个控制点的二次周期性B样条曲线P0P1P2P3第第65页页/共共100页页第64页/共100页2021-9-2766第第66页页/共共100页页第65页/共100页2021-9-27674t3 )4(613t2 )2()4(61) 1)(3)(4(61)3(612t1 ) 1)(4(61) 1)(3(61)2(611t0 61 )

21、 1(34)(3)( 3222233 , 03 , 04, 0tttttttttttttttttBttBttB第第67页页/共共100页页第66页/共100页2021-9-27680,1) t61)() 1333(61)()463(61)() 133(61)(34, 3234, 2234, 1234, 0ttBttttBtttBttttB第第68页页/共共100页页第67页/共100页0,1) t 0141030303631331611)(3210233210434241400,BB,nkmkkGMTPPPPtttPPPP(t)B(t)B(t)B(t)BBPtp第第69页页/共共100页页第6

22、8页/共100页2021-9-2770)(21) 1 ()(21)0()4(61) 1 ()4(61)0(1302321210PPpPPpPPPpPPPpP0P1P2P3图8-13 四个控制点的三次均匀B样条曲线第第70页页/共共100页页第69页/共100页2021-9-2771),.,LL ,.,L, ,.,(Tmm2212100mLimLimmi Lmiti0210第第71页页/共共100页页第70页/共100页2021-9-2772 2t1 211t0 )34(21)(1t0 )1 ()(223 , 123 , 0ttttBttB第第72页页/共共100页页第71页/共100页2021

23、-9-27733t2 )2()( 3t2 )3)(53(212t1 ) 1(21)(3t2 )3(212t1 )3)(1(21)2(21 1t0 21)(23 , 423 , 3223 , 2ttBttttBtttttttB第第73页页/共共100页页第72页/共100页2021-9-2774图8-14 开放均匀的二次B样条基函数Bk,3(t) tB0,3(t)B1,3(t)B3,3(t)B2,3(t)B4,3(t)1231第第74页页/共共100页页第73页/共100页2021-9-2775图8-15 非均匀B样条曲线的基函数Bk,m(t) t1231第第75页页/共共100页页第74页/共

24、100页2021-9-2776第第76页页/共共100页页第75页/共100页2021-9-2777n,1,i )4(6111iiiiPPPQ假定需求首末两点过Q1和Qn的非周期三次B样条曲线，则有P1=Q1,Pn=Qn，于是求解控制点Pj (i=2,3,.,n-1)的线性方程组为：第第77页页/共共100页页第76页/共100页2021-9-2778n1n2n3121n2n326Q6Q.6Q6QPP.PP41000000141000000.000000.000000.00000014100000014100000014QQ第第78页页/共共100页页第77页/共100页2021-9-2779

25、第第79页页/共共100页页第78页/共100页2021-9-2780图8-16 B样条曲线的局部支柱性P0P1P2P3P4P5P6P7P4P4第第80页页/共共100页页第79页/共100页2021-9-2781t ,t t 1)(1n1 -m0,nkmktB第第81页页/共共100页页第80页/共100页图8-17 B样条曲线与Bezier曲线的凸包性比较B样条曲线Bezier曲线Bezier曲线B样条曲线m=3m=4m=5(a) B样条曲线和Bezier曲线的凸包比较(b) B样条曲线和Bezier曲线的比较B样条凸包Bezier凸包B样条凸包B样条凸包Bezier凸包Bezier凸包第

26、第82页页/共共100页页第81页/共100页2021-9-2783图8-18 具有重节点的三次B样条t0t1t2t3t4第第83页页/共共100页页第82页/共100页2021-9-278411, 111,)()() 1()(kmkmkkmkmkmktttBtttBmtBnkmkkmkkktBttPPmtp11n1 -m1,11t ,t t)() 1()(5几何不变性6变差减少性第第84页页/共共100页页第83页/共100页2021-9-2785112222112100,)()(),(nknkmkmkkkvBuBPvup控制顶点、控制网格（特征网格）、B样条基函数。B样条曲面具有与B样条曲

27、线相同的局部支柱性、凸包性、连续性、几何变换不变性等性质。第第85页页/共共100页页第84页/共100页2021-9-2786TTBBVPMUMvup),(123uuuU 123vvvV 014103030363133161BM3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0PPPpPPPPPPPPPPPPP第第86页页/共共100页页第85页/共100页2021-9-2787nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,)()()(第第87页页/共共100页页第86页/共100页2021-9-27881r0 11120rrwww第第88页页/共共100页页第87页/共100页2021-9-2789)(3 , 2)(3 , 1)(3 , 0)(3 , 22)(3 , 11)(3 , 0011)(ttttttBBrrBBPBPrrBPtp第第89页页/共共100页页第88页/共1